Координаты симплекса 6-7-8

№ опыта	х1, об/мин	х2, мм/об	y, мин
6	6050	0,003	26,7
7	7050	0,004	62,0
8	8050	0,003	62,0

Поскольку есть ограничения по числу оборотов, то кантовку симплекса приходится прекратить. Полученные результаты имеют важное практическое значение.

Схема «скитаний» симплекса представлена на рисунке 9.9.

Рис. 9.9 Схема «скитаний» симплекса

9.7 Градиентные методы экспериментальной оптимизации

9.7.1 Метод градиента

Метод градиента и его модификации – распространенные и эффективные методы поиска оптимума.

Оптимум исследуемого объекта ищут в направлении наиболее быстрого возрастания (или убывания) выходной переменной, т. е. в направлении градиента.

Направление корректируют после каждого шага.

Графическая интерпретация градиентных методов поиска оптимума представлена на рисунке 9.10.

Рис. 9.10 Графическая интерпретация градиентных методов поиска оптимума

Одна из модификаций градиентного метода экспериментальной оптимизации – метод крутого восхождения (метод Бокса-Уилсона).

9.7.2 Метод крутого восхождения

Задача метода крутого восхождения заключается в том, чтобы в направлении наискорейшего возрастания (или убывания) выходной переменной Y осуществлять шаговое движение по градиенту.

Метод крутого восхождения объединяет в себе достоинства трёх методов:

• ПФЭ или ДФЭ как средства для получения линейной математической модели, используемой в качестве градиента;

• Гаусса-Зейделя;

• градиента.

Для определения направления движения используют адекватную линейную регрессионную модель, которую находят при ПФЭ или ДФЭ.

Направление движения при поиске оптимума корректируют не после каждого следующего шага, а при достижении в некоторой точке на данном направлении частного экстремума целевой функции (как в методе Гаусса-Зейделя).

В этой точке ставят новый ФЭ, вновь получают математическую модель и, при необходимости, т.е. если полученная линейная модель адекватна, вновь осуществляют крутое восхождение по её направлению.

Поиск прекращается, когда квадратичные эффекты в уравнении регрессии становятся значимыми. Это указывает на то, что достигнута область оптимума.

Начинать крутое восхождение следует от основных уровней значимых факторов, т.е. , , …, .

Факторы изменяют пропорционально величинам коэффициентов регрессии и с учетом их знаков «+» или «–».

Планирование движения по градиенту производят следующим образом. По каждому фактору вычисляют произведения , т.е. умножают коэффициент регрессии на интервал варьирования фактора.

Находят фактор, для которого произведение наибольшее по абсолютной величине. Будем называть этот фактор базовым; ()_max = . Выбирают сдвиг в направлении крутого восхождения по базовому фактору от основного уровня . Сдвиг может быть равен или части этого интервала, т.е. (0 < μ < 1). Строгих правил выбора величины нет. Её выбирает исследователь.

Определяют величину коэффициентов пропорциональности K_i по формуле (9.6):

, (9.6)

т.е. K_i имеет знаки, соответствующие знакам соответствующих коэффициентов регрессии.

Далее определяют величины шагов сдвига в направлении крутого восхождения для каждого i-того фактора K_i по формуле:

. (9.7)

При необходимости численные значения величин шагов округляют.

Вычисляют координаты первого шага крутого восхождения эксперимента. Для этого полученное значение необходимо алгебраически сложить с основным уровнем соответствующего i-го фактора:

. (9.8)

Далее последовательно прибавляют к предыдущей координате соответствующего фактора очередной шаг крутого восхождения .

На рисунке 9.11 изображена схема крутого восхождения в область экстремума (максимума) целевой функции.

Рис. 9.11 Схема крутого восхождения в область экстремума целевой функции

Если за пределами области варьирования факторов при ФЭ целевая функция имеет экстремум, то движение по градиенту, определяемому полученной при ФЭ адекватной линейной моделью, приводит ко всё большим отклонениям от истинных значений по мере удаления от нулевой точки.

Значения Y из опытов при значениях X_i в точках с₁, с₂ и т.д. будут меньше предсказанных линейной моделью значений , соответственно, в точках d₁ и d₂ и т.д. При этом c₁d₁ < c₂d₂ < c₃d₃. Но в точке с₃ результат опыта не только меньше рассчитанного по уравнению, но и меньше предыдущего значения в точке с₂. В этом случае вблизи точки с₂ ставят новую серию опытов по новому плану ФЭ, по результатам которой либо определяют новое направление движения в область оптимума, если вновь полученная линейная модель адекватна, либо прекращают движение.

Рассмотрим применение метода крутого восхождения на примере.

Выход продукта в процентах от исходного сырья зависит от трех факторов: конечной температуры процесса х₁, скорости нагрева х₂ и продолжительности изотермической выдержки х₃.

Сначала осуществляем первую серию опытов по плану ПФЭ типа 2³ для получения линейной модели. План-матрица ПФЭ и его результаты приведены в таблице 9.15.

Таблица 9.15