9.1.2 Классификация задач оптимизации

На рисунке 9.1 приведена классификация задач оптимизации, основанная на анализе четырёх признаков:

• числа критериев оптимизации;

• наличия граничных условий;

• числа экстремумов целевой функции;

• числа оптимизируемых параметров.

Рис. 9.1 Классификация задач оптимизации

В зависимости от размерности вектор-функции F различают однокритериальные и многокритериальные задачи.

В зависимости от того, лежит решение задачи внутри области допустимых значений факторов или на её границе, различают безусловные и условные задачи оптимизации.

В зависимости от числа экстремумов целевой функции различают локальные (одноэкстремальные) и глобальные (многоэкстремальные) задачи оптимизации.

В зависимости от числа k оптимизируемых параметров различают однопараметрические (k=1) и многопараметрические (k > 1) задачи оптимизации.

При решении многокритериальных задач оптимизации осуществляют поиск и использование дополнительной информации, с помощью которой многокритериальную задачу сводят к однокритериальной.

Условные задачи оптимизации преобразуют в безусловные (для преобразований используют различные методы: метод подстановки, метод проекций, метод штрафных функций и др.).

Поиск глобального (т.е. самого большого из имеющихся у целевой функции) экстремума – это самая сложная задача оптимизации. Для её решения привлекаются разнообразные алгоритмы случайного поиска.

Ниже рассматриваются методы решения одно- и многопараметрических задач, связанные с необходимостью выполнения экспериментального (машинного или эмпирического) поиска оптимума.

9.2 Методы поиска оптимальных условий работы технических систем

Разработке методов поиска оптимальных условий работы сложных систем, в том числе технических систем, посвящена специальная математическая дисциплина «Математическое программирование». В зависимости от свойств оптимизируемых систем, в частности, наличия и вида ограничений и других характеристик, применяют программирование – линейное, нелинейное, геометрическое, а также экспериментальное.

Известные методы поиска оптимальных условий работы технических систем можно условно разделить на три группы – аналитические, численные и экспериментальные.

Аналитические методы применяют, когда оптимизируемая функция задана аналитически, число ограничений невелико, можно продифференцировать целевую функцию и искать экстремум, исходя из условия равенства нулю производных.

Численные поисковые методы применяют, когда целевая функция вычисляема и известен алгоритм, по которому можно рассчитывать значения критерия оптимальности при заданных значениях факторов. Вычисляют ряд значений целевой функции при различных значениях аргументов. Сопоставление вычисленных значений целевой функции показывает, в каком направлении нужно двигаться в пространстве факторов, чтобы приближаться к оптимуму.

Если целевая функция невычисляема и не известен вид целевой функции, то единственный способ нахождения оптимума – экспериментальный.

Теория эксперимента включает методы поиска оптимума.

Ниже приведена краткая характеристика аналитических и численных методов поиска оптимума и более подробно рассмотрены методы организации экспериментального поиска оптимальных условий работы технических систем, т.е. соответствующих значений оптимизирующих факторов.