В первом случае значения факторов переводим в кодированную форму:
;
.
Подставив эти значения X1 и X2 в уравнение регрессии, получаем искомую величину:
,
т.е. выход продукта составляет 17,6% от массы исходного сырья.
Выполним расчеты, используя натуральные значения факторов. Обозначим выход продукта в процентах от массы исходного сырья буквой q.
,
т.е.
.
7.3.6 Принятие решений по результатам факторного экспериментирования
Если получена адекватная регрессионная модель, можно использовать ее для решения практических задач. При этом:
-
чем больше абсолютная величина коэффициента регрессии при i-м факторе, тем большее влияние оказывает i-й фактор на величину выходного параметра;
-
если коэффициент регрессии отрицателен, то для увеличения выходного параметра нужно уменьшить значение соответствующего фактора, если положителен – увеличить;
-
при минимизации показателя выходного параметра можно изменить знаки коэффициентов, кроме b0, на обратные и далее поступать так же, как указано выше;
-
если эффект взаимодействия факторов значим и имеет отрицательный знак, то для увеличения выходного параметра Y факторы (параметры) должны одновременно изменяться в разных направлениях.
Если гипотеза адекватности модели отвергается, то возможны следующие приемы получения адекватной модели:
-
увеличение интервалов варьирования факторов; этот прием может привести к цели, если решается задача оптимизации;
-
выделение (если возможно) фактора, порождающего неадекватность, и реализация для оставшихся k – 1 факторов новых планов; при этом выделенный фактор должен быть зафиксирован на определенном уровне;
-
преобразование контролируемых переменных (факторов), т.е. переход к новым факторам, статистически связанным со старыми.
7.4 Планы второго порядка
7.4.1 Принципы композиционного планирования
Перед исследователем может стоять задача – изучить поверхность отклика в области оптимума. Описать область оптимума линейным уравнением регрессии не удается, так как поверхность отклика вблизи области оптимума имеет значительную кривизну.
Область оптимума описывается полиномами более высоких порядков, например, уравнениями второго порядка:
.
Нужно провести эксперимент таким образом, чтобы каждый фактор варьировался хотя бы на 3-х уровнях. Реализация планов типа 3k требует выполнения очень большого числа опытов, если k 3.
Бокс и Уилсон в 1951 г. показали, что, дополнив двухуровневый план ПФЭ определенными точками факторного пространства, так называемыми “звёздными точками”, можно получать планы 2-го порядка с меньшим числом опытов, чем планы типа 3k.
Общее число опытов N при таком планировании
N = 2k + 2k + N0, (7.24)
где 2k – число опытов в ПФЭ,
2k – число звездных точек,
– число
нулевых точек, т.е. точек в центре плана.
Таким образом, планы ПФЭ используются в качестве ядра, на котором достраивается конструкция плана второго порядка.
Попав в область экстремума, реализуют ПФЭ, проверяют гипотезу линейной аппроксимации, убедившись в ее несостоятельности (линейная модель неадекватна), делают следующий шаг: достраивают план факторного эксперимента до плана 2-го порядка, реализуют его и проверяют гипотезу об адекватности уравнения 2-го порядка.
Планы, построенные таким образом, называются центральными и композиционными. Их построение соответствует шаговой процедуре. При построении плана 2-го порядка область эксперимента расширяется. На рисунке 7.4 приведена схема расположения точек факторного пространства в центральных композиционных планах второго порядка.
В инженерной практике широко применяют центральные композиционные ортогональные (ЦКОП) и ротатабельные (ЦКРП) планы второго порядка.
Выбор плеча
звёздных точек d
и числа нулевых точек
зависит от критерия оптимальности плана
эксперимента.
Плечо d можно выбирать таким образом, чтобы план оставался ортогональным, либо таким образом, чтобы план соответствовал критерию ротатабельности.
1 4 – опыты ядра плана, т.е. плана ПФЭ 22;
5 8 – звездные точки плана 2-го порядка;
– опыты
в центре плана.
Рис. 7.4 Расположение точек факторного пространства в композиционных планах второго порядка