Оценка коэффициентов регрессии, проверка их значимости

Коэффициенты линейной регрессии определяют одинаково при проведении ПФЭ и ДФЭ умножением значений Y_u на X_iu с последующим делением суммы полученных произведений на общее число строк в плане-матрице, т.е. по формуле:

(7.14)

где b_i  коэффициенты регрессии с индексами i = 0, 1, 2, …, k;

Xiu  построчные значения фактора в I-том столбце плана-матрицы;

Y_u – среднее арифметическое из результатов m параллельных опытов в u–й строке плана-матрицы;

Коэффициенты b_ij рассчитывают по формуле:

i ≠ j. (7.15)

По результатам факторного эксперимента могут быть рассчитаны также коэффициенты b_ii по формуле:

(7.16)

Для проверки гипотезы о значимости коэффициентов регрессии для каждого коэффициента вычисляют значения t-критерия Стьюдента по формулам:

, , , (7.17)

где , ,  абсолютные величины рассчитанных коэффициентов регрессии;

 среднеквадратичные отклонения коэффициентов регрессии.

При числе параллельных опытов m во всех строках плана-матрицы вычисляют дисперсию коэффициентов регрессии по формуле:

(7.18)

а затем определяют среднеквадратичное отклонение по формуле:

(7.19)

Для проверки гипотезы о значимости каждого коэффициента следует задать уровень значимости α, определить число степеней свободы f = N (m  1) и найти в таблице критическое значение коэффициента Стьюдента . Если расчетное значение критерия t, определенное по формулам (7.17), окажется больше значения , то гипотеза принимается и коэффициент признается статистически значимым, в противном случае – незначимым.

Если какой-либо коэффициент окажется статистически незначимым, то он может быть отброшен без пересчета остальных коэффициентов.

В полиномиальную математическую модель включают только слагаемые со значимыми коэффициентами.

Статистическая незначимость коэффициентов регрессии b_i может быть обусловлена следующими причинами:

а) основной уровень фактора близок к точке частного экстремума;

b) интервал варьирования фактора х_i выбран малым;

c) данная переменная (или произведение переменных) не имеет статистической связи с параметром Y;

d) велика ошибка эксперимента вследствие наличия неуправляемых и неконтролируемых факторов.

Если имеет место причина, указанная в а), то значение i-го фактора следует стабилизировать на определенном уровне (не выходя за пределы варьирования). Если имеет место причина, указанная в b), то следует увеличить интервал варьирования на величину, равную 0,05 ÷ 0,30 от интервала варьирования фактора. Если имеет место причина, указанная в d), то следует принять меры к уменьшению ошибки эксперимента.