- •Раздел 1. Основные понятия теории автоматического управления. Типовые звенья линейных систем автоматического управления. Соединение линейных звеньев
- •1.1 Основные принципы и понятия автоматического управления
- •1.2 Примеры систем автоматического управления
- •1.3 Основные понятия операционного исчисления. Преобразование Фурье и Лапласа
- •Связь преобразований Фурье и Лапласа
- •1.4 Прохождение регулярных сигналов через линейное звено
- •Регулярные сигналы
- •1.5 Характеристики линейного звена
- •1.6 Устойчивость линейных звеньев. Минимально-фазовые звенья. Преобразование произвольного сигнала линейным звеном
- •1.7 Типовые динамические звенья. Простейшие звенья. Звенья первого порядка
- •Простейшие звенья
- •Звенья первого порядка
- •1.8 Колебательные звенья. Особые звенья: неминимально-фазовые устойчивые звенья, неустойчивые звенья
- •Устойчивые неминимально-фазовые звенья
- •Неустойчивые звенья
- •1.9 Особые звенья: иррациональные и трансцендентные звенья Иррациональные звенья
- •Трансцендентные звенья
- •1.8 Соединение линейных звеньев. Преобразование структурных схем
- •Последовательное соединение звеньев
- •Параллельное согласное соединение звеньев
- •Параллельное встречное соединение звеньев
- •Преобразование структурных схем
- •Раздел 2. Исследование устойчивости линейных систем автоматического управления. Качество процессов управления
- •2.1 Постановка задачи исследования устойчивости линейных систем автоматического управления. Алгебраические критерии устойчивости. Критерий Рауса, критерий Гурвица
- •Алгебраические критерии устойчивости
- •2.2 Частотные критерии устойчивости. Критерий Михайлова. Критерий Найквиста
- •2.3 Влияние параметров системы на её устойчивость. Метод d-разбиения
- •Разбиение по одному (комплексному) параметру
- •2.4 Показатели качества процессов управления
- •2.5 Качество регулирования при стандартных воздействиях
- •2.6 Косвенные методы исследования качества процессов управления. Интегральные оценки качества переходных процессов
2.3 Влияние параметров системы на её устойчивость. Метод d-разбиения
Все приведённые критерии устойчивости дают возможность при заданных параметрах системы делать заключение о том, устойчива она или нет. С помощью этих критериев возможно проследить влияние некоторых параметров на устойчивость системы, определить предельные значения коэффициента усиления системы и времени запаздывания.
Для исследования влияния различных параметров системы на ее устойчивость разработаны специальные методы, позволяющие облегчить исследование.
Рассмотрение влияния параметров на устойчивость системы может производиться путём анализа числа корней характеристического уравнения, лежащих в правой полуплоскости, в пространстве параметров системы.
Этот метод получил название метода D-разбиения пространства параметров.
Пусть дано характеристическое уравнение n-й степени
При заданном значении коэффициентов уравнения в общем случае оно имеет m корней в правой полуплоскости, и, следовательно, корней в левой полуплоскости. При изменении коэффициентов уравнения корни его перемещаются в плоскости корней, описывая корневые годографы. При некотором значении коэффициентов один из корней попадает в начало координат или пара корней попадет на мнимую ось и поэтому значение этих коэффициентов удовлетворяет уравнению
(2.3.1)
Уравнению (2.3.1) в -мерном пространстве коэффициентов, по осям которого отложены a0, a2, ..., an-1, соответствует точка при данном значении ω и гиперповерхность — при изменении ω в пределах от до .
Если перемещаться в пространстве коэффициентов, т.е. если менять коэффициенты уравнения, то при некотором их значении мы пересечем гиперповерхность и, следовательно, пара (или один корень) будет переходить из правой (левой) полуплоскости корней в левую (правую) полуплоскость корней.
Рассмотрим более подробно случай, когда и характеристическое уравнение имеет вид
Каждому значению коэффициентов a0, a1 и a2 в трёхмерном пространстве коэффициентов (рисунок 2.3.1) соответствует точка. Этому значению коэффициентов уравнения соответствует определенное расположение корней уравнения в плоскости корней (рисунок 2.3.1,б). Точке М соответствуют корни m1, m2 и m3, точке N — корни n1, n2 и n3. При некоторых значениях коэффициентов один или пара корней окажутся на мнимой оси, т.е. корни будут иметь вид 0 или и, следовательно, соответствующая точка в пространстве коэффициентов будет удовлетворять уравнению
Рисунок 2.3.1 – Расположение корней характеристического уравнения
Этому уравнению при соответствует поверхность S, часть которой показана на рисунке 2.3.1, а. При изменении коэффициентов корни характеристического уравнения тоже изменяются и попадают на мнимую ось только тогда, когда точка в пространстве коэффициентов попадает на поверхность S. При пересечении точкой поверхности корни переходят из одной полуплоскости корней в другую. Отсюда следует, что поверхность S разделяет пространство коэффициентов на области, каждой точке которых соответствует характеристическое уравнение 3-й степени, имеющее определенное число корней в правой и левой части плоскости корней. Обозначим эти области через , где m — число корней уравнения в правой полуплоскости. Для уравнения 3-й степени можно наметить в пространстве коэффициентов четыре области: , , , . Последняя область является областью устойчивости. Такое разбиение пространства на области с различным значением m называется D-разбиением.
Для уравнений более высокой степени вместо обычного трехмерного пространства приходится рассматривать многомерное пространство и гиперповерхности, разбивающие это пространство на области.
Это значительно усложняет задачу, и рассмотрение теряет наглядность. Если изменяются не все коэффициенты, а часть их, например, два a1 и a2, а , то вместо поверхности получаем кривую, которая является сечением поверхности S плоскостью .
Переход через границу D-разбиения соответствует, как указывалось, переходу корней уравнения через мнимую ось. Поэтому уравнение границы D-разбиения, в соответствии с ранее сказанным, имеет вид уравнения (2.3.1) и, следовательно, может быть получено из характеристического уравнения заменой р на jω. По полученным в параметрической форме уравнениям можно построить границу D-разбиения, задаваясь значениями ω от до .
Аналогичным способом можно построить D-разбиение в пространстве не коэффициентов уравнения, а параметров системы, от которых зависят коэффициенты характеристического уравнения, например, в координатах T1, T2, k и т.д.