- •Раздел 1. Основные понятия теории автоматического управления. Типовые звенья линейных систем автоматического управления. Соединение линейных звеньев
- •1.1 Основные принципы и понятия автоматического управления
- •1.2 Примеры систем автоматического управления
- •1.3 Основные понятия операционного исчисления. Преобразование Фурье и Лапласа
- •Связь преобразований Фурье и Лапласа
- •1.4 Прохождение регулярных сигналов через линейное звено
- •Регулярные сигналы
- •1.5 Характеристики линейного звена
- •1.6 Устойчивость линейных звеньев. Минимально-фазовые звенья. Преобразование произвольного сигнала линейным звеном
- •1.7 Типовые динамические звенья. Простейшие звенья. Звенья первого порядка
- •Простейшие звенья
- •Звенья первого порядка
- •1.8 Колебательные звенья. Особые звенья: неминимально-фазовые устойчивые звенья, неустойчивые звенья
- •Устойчивые неминимально-фазовые звенья
- •Неустойчивые звенья
- •1.9 Особые звенья: иррациональные и трансцендентные звенья Иррациональные звенья
- •Трансцендентные звенья
- •1.8 Соединение линейных звеньев. Преобразование структурных схем
- •Последовательное соединение звеньев
- •Параллельное согласное соединение звеньев
- •Параллельное встречное соединение звеньев
- •Преобразование структурных схем
- •Раздел 2. Исследование устойчивости линейных систем автоматического управления. Качество процессов управления
- •2.1 Постановка задачи исследования устойчивости линейных систем автоматического управления. Алгебраические критерии устойчивости. Критерий Рауса, критерий Гурвица
- •Алгебраические критерии устойчивости
- •2.2 Частотные критерии устойчивости. Критерий Михайлова. Критерий Найквиста
- •2.3 Влияние параметров системы на её устойчивость. Метод d-разбиения
- •Разбиение по одному (комплексному) параметру
- •2.4 Показатели качества процессов управления
- •2.5 Качество регулирования при стандартных воздействиях
- •2.6 Косвенные методы исследования качества процессов управления. Интегральные оценки качества переходных процессов
Трансцендентные звенья
Звено с распределенными параметрами, описываемое одномерным телеграфным уравнением Даламбера
(1.7.106)
где — величина, зависящая от пространственной координаты r и времени t, имеет трансцендентную передаточную функцию, которая зависит от граничных условий и места снятия выходного сигнала.
Рассматривая зависящий от пространственной координаты фазор
(1.7.107)
можно уравнение (1.7.106) привести к виду
(1.7.108)
Корни характеристического уравнения — мнимые
(1.7.109)
где .
Решение уравнения (1.7.108) можно записать как
(1.7.110)
где и — коэффициенты, зависящие от граничных условий. Первое слагаемое выражает волну, движущуюся в сторону возрастания r, второе — обратную волну, движущуюся в сторону убывания r.
Звено запаздывания. Ограничимся рассмотрением таких объектов, в которых имеется только одна волна, движущаяся в сторону возрастания r. Тогда и
(1.7.111)
Наиболее распространенным случаем является приложение входного воздействия при , т.е. , и снятие выходного сигнала при , т.е. . В таком случае , и
(1.7.112)
где — время запаздывания.
Если или , то или , т.е. выходная величина воспроизводит входной сигнал с отставанием во времени на время запаздывания τ.
Примеры звеньев запаздывания можно встретить в самых различных технологических конвейерных установках, в системах магнитной записи и воспроизведения, в гидравлических системах и в электрических цепях без потерь с распределенными индуктивностью и ёмкостью .
Некоторые примеры реальных звеньев запаздывания показаны на рисунке 1.7.24. При загрузке сыпучего материала на конвейер (а), движущийся со скоростью , толщина слоя , находящегося на расстоянии l, отстает от толщины слоя , находящегося в начале, на время . Напряжение на зажимах считывающей головки (б) магнитной системы воспроизводит напряжение записывающей системы с запаздыванием . Напряжение в конце линии без потерь (в) нагруженной на согласованное сопротивление , воспроизводит напряжение в начале, линии с запаздыванием .
Рисунок 1.7.24 – Примеры звена запаздывания
Частотные характеристики комплексного коэффициента усиления, рассчитанные по формуле (1.7.112), показаны на рисунке 1.7.25, а и б. Амплитудно-фазовая характеристика представляет собой окружность единичного радиуса с центром в начале координат (а). Окружность пересекает вещественную ось в точке при и в точке при .
Амплитудно-частотные и фазочастотные характеристики (б) определяются следующими соотношениями:
Передаточная функция звена запаздывания
(1.7.113)
Рисунок 1.7.25 – Характеристики звена запаздывания
Звено запаздывания является неминимально-фазовым устойчивым звеном. Оно имеет бесконечное множество полюсов, лежащих в левой полуплоскости, с модулем, стремящимся к бесконечности, и бесконечное множество нулей, лежащих в правой полуплоскости, с модулем, также стремящимся к бесконечности. Действительно, уравнение имеет решение , если и , а уравнение , если и (см. рисунок 1.7.26).
Рисунок 1.7.26 – Расположение нулей и полюсов звена запаздывания
Переходная и весовая функции (рисунок 1.7.25, в и г) имеют вид
(1.7.114)
(1.7.115)
Звено затухания (или полузапаздывания). Несколько более сложно выражаются характеристики иррационального звена, описываемого показательной передаточной функцией (1.7.95). Такое звено может быть условно названо звеном затухания, так как в отличие от звена запаздывания в нем сигнал на выходе всегда меньше сигнала на входе. Оно также не является минимально-фазовым, поскольку функция имеет нули в правой полуплоскости при .
Амплитудно-фазовая характеристики звена имеет вид:
(1.7.116)
На рисунке 1.7.27, а, б построены амплитудно-фазовая, амплитудно-частотная и фазочастотная характеристики. Комплексный коэффициент усиления при изменении аргумента на уменьшается по модулю в раз. Зависимость амплитуды и фазы от частоты получается непосредственно из (1.7.116)
(1.7.117)
(1.7.118)
Рисунок 1.7.27 – Характеристики звена затухания
Переходная и весовая функции имеют вид
(1.7.119)
(1.7.120)
Графики этих функций показаны на рисунке 1.7.27, в и г.