2.2 Частотные критерии устойчивости. Критерий Михайлова. Критерий Найквиста

Принцип аргумента. В основе частотных критериев устойчивости лежит известный в теории функций комплексного переменного принцип аргумента.

Пусть дано алгебраическое уравнение с действительными коэффициентами

(2.2.1)

Многочлен можно представить в виде

(2.2.2)

где — корни уравнения .

Положим , тогда

(2.2.3)

Рассмотрим геометрическое представление комплексного числа на комплексной плоскости р. Начало вектора, изображающего это комплексное число, лежит в точке p_i, а конец—на мнимой оси в точке (рисунок 2.2.1).

Рисунок 2.2.1  Геометрическое представление комплексного числа

Найдем аргумент комплексного чис­ла

(2.2.4)

При изменении аргумента с из­менением  в пределах от  до +

(2.2.5)

Согласно (2.2.4), для подсчета изменения аргумента необхо­димо подсчитать сумму изменений аргументов выражений вида . Это изменение аргумента зависит от того, в ка­кой (правой или в левой) полуплоскости лежит корень . Рассмотрим эти два случая.

Корень p_i лежит в левой полуплоскости (рисунок 2.2.2, а). При изменении  в пределах от  до + конец вектора скользит вдоль мнимой оси снизу вверх, поворачи­ваясь против часовой стрелки на 180°, и, следовательно, изме­нение аргумента при этом

(2.2.6)

Рисунок 2.2.2  Расположение корней характеристического уравнения

Корень p_i лежит в правой полуплоскости (рисунок 2.2.2, б). В этом случае получим

(2.2.7)

Допустим, что уравнение имеет m корней в пра­вой полуплоскости и l корней в левой полуплоскости. При этом . Тогда, на ос­новании (2.2.3), (2.2.6) и (2.2.7)

(2.2.8)

Уравнение (2.2.8) представляет собой выражение принципа ар­гумента, который формулиру­ется следующим образом. Из­менение аргумента при изменении  от  до + равно разности ме­жду числом корней l (урав­нения), лежащих в левой полуплоскости, и числом корней m, лежащих в правой полуплоскости, умноженной на .

Критерий Михайлова. Критерий устойчивости А.В. Михайлова является по существу геометрической интерпретацией прин­ципа аргумента. Пусть дано характеристическое уравнение системы (2.2.1)

Полином в этом случае называется характеристи­ческим полиномом. Для того чтобы система была устойчива, необходимо, чтобы все корни характеристического уравнения лежали в левой полуплоскости, т.е. чтобы . В этом случае согласно (2.2.8) должно удовлетворяться уравнение

(2.2.9)

Из условия (2.2.9) следует, что все корни уравнения лежат в левой полуплоскости.

Геометрическое место конца вектора при , называется годографом вектора , или годогра­фом Михайлова. Согласно (2.2.1), уравнение годографа Михайлова

(2.2.10)

где действительная и мнимая части комплекса соответ­ственно будут:

(2.2.11)

(2.2.12)

Из (2.2.11) и (2.2.12) следует, что действительная часть является чётной функцией от 

а мнимая часть является нечетной функцией 

Следовательно,

(2.2.13)

т.е. и являются сопряженными комплексными величинами и, таким образом,

(2.2.13)

Учитывая (2.2.13), уравнение (2.2.9) можно записать в виде

(2.2.14)

Из (2.2.14) следует формулировка критерия устойчивости Михайлова. Система автоматического ре­гулирования устойчива, если при изменении  от 0 до + вектор поворачивается на угол , где n — степень ха­рактеристического уравнения ; или, иначе, если годо­граф c ростом  от 0 до +, начинаясь на действительной оси, обходит последовательно в положительном направлении (против часовой, стрелки) n квадрантов.

На рисунке 2.2.3, а показаны годографы устойчивых систем для разных значений n. Все они охватывают соответствующее число квадрантов в положительном направлении.

Рисунок 2.2.3  Годографы устойчивых (а) и неустойчивых (б) по критерию Михайлова систем

На рисунке 2.2.3, б показаны годографы неустойчивых систем. Все они не удовлетворяют условию обхода n квадрантов в положительном направлении.

Годограф можно построить по уравнениям (2.2.11) и (2.2.12), задаваясь значениями  и вычисляя U и V.

Критерий Найквиста. Для исследования устойчи­вости усилителей с обратной связью Найквист в 1932 г. пред­ложил критерий устойчивости, основанный на исследовании частотных характеристик системы. Этот критерий был по-новому обоснован, обобщен и применен в теории автоматиче­ского регулирования А.В. Михайловым в 1938 г. Для исследо­вания устойчивости замкнутой системы регулирования согласно этому критерию необходимо знать частотный годограф разомк­нутой системы. Эту характеристику можно получить как аналитически, так и экспериментально. Последнее обстоятельство выгодно отличает рассматриваемый критерий устойчивости от ранее изложенных.

Критерий устойчивости, основанный на пост­роении частотного годографа разомкнутой си­стемы. Пусть передаточная функция разомкнутой системы регулирования . Образуем функцию

(2.2.15)

Числитель этой функции представляет собой характеристи­ческий полином замкнутой системы, знаменатель — характери­стический полином разомкнутой системы. Пусть степень равна п и степень равна r. Из физических соображений следует, что

(2.2.16)

В противном случае, при из передаточной функции можно выделить слагаемые с р выше нулевой сте­пени, что соответствует дифференцирующим звеньям, которые не могут быть реализованы на практике.

Учитывая неравенство (2.2.16), можно утверждать, что сте­пень полинома также равна п.

Рассмотрим три случая состояния разомкнутой системы: устойчива, неустойчива и нейтральна.

1-й случай — система в разомкнутом состоянии устойчива.

Тогда согласно критерию устойчивости Михайлова изме­нение аргумента характеристического полинома разомкнутой системы

Если потребовать, чтобы система в замкнутом состоянии была устойчива, то должно удовлетворяться равенство

Из (2.2.15) при этом следует, что

(2.2.17)

Таким образом, система автоматического регулирования устойчива, если изменение аргумента вектора при изме­нении  от 0 до , равно нулю.

На рисунке 2.2.4, а показаны два годографа ; I соответствует устойчивой системе: он не охватывает точ­ку (0, 0), II — неустойчивой: он охватывает точку (0, 0). Так как отличается от на +1, то сказанное можно сформулировать непосредственно для характеристики (см. рисунок 2.2.4, б).

Рисунок 2.2.4  Годографы и устойчивой и неустойчивой по Найквисту систем

Замкнутая система устойчива, если годограф разомк­нутой системы не охватывает точку .

2-й случай — система в разомкнутом состоянии неустойчива.

При рассмотрении многоконтурных и одноконтурных систему содержащих неустойчивые звенья, разомкнутая система может оказаться неустойчивой.

Пусть система в разомкнутом состоянии неустойчива, при этом характеристическое уравнение разомкнутой системы имеет т корней в правой полуплоскости. Тогда согласно прин­ципу аргумента (2.2.8)

или, учитывая симметрию характеристик для + и ,

Если потребовать, чтобы система в замкнутом состоянии была устойчива, то должно выполняться равенство

При этом согласно (2.2.15)

(2.2.18)

Таким образом, система автоматического регулиро­вания устойчива, если при изменении  от нуля до бес­конечности годограф разомкнутой системы охватывает раз точку в положительном направлении, где т — число корней характеристического уравнения разомкнутой системы, лежащих в правой полуплоскости.

Кратность охвата может быть наглядно определена числом оборо­тов, совершенных вектором, прове­денным из точки в теку­щую точку годографа.

На рисунке 2.2.5 показан годограф устойчивой системы в замкнутом состоянии, которая в разомкнутом состоянии неустойчива, а число кор­ней ее . Годограф охватывает в положительном направлении точку один раз и, следовательно, согласно (2.2.18) система в замкнутом состоянии устойчива.

Рисунок 2.2.5  Годограф устойчивой по Найквисту системы

3-й случай — система в разомкнутом состоянии нейтральна. В этом случае передаточная функция системы в разомк­нутом состоянии

(2.2.19)

где  — число интегрирующих звеньев в системе; и — полиномы от р, причем не имеет нулей в правой полуплоскости и на мнимой оси.

Из (2.2.19) следует, что при стремится к , и поэтому по виду годографа , имеющему разрыв при , трудно судить, охватывает ли он точку , и решать вопрос об устойчивости системы. В этом случае требуется специальное исследование годографа вблизи точки, соответствующей .

Путём предельного перехода этот случай можно получить из рассмотрения первого или второго случая. Решим задачу путем применения выводов, сделанных для системы, устойчивой в разомкнутом состоянии. Рассмотрим случай, когда .

Тогда

(2.2.20)

При значение W_р по (2.2.20) обращается в , поэтому для сохранения формулировки критерия, справедливой для устойчивых в разомкнутом состоянии систем, при построении годографа либо, обходя мнимую ось от  до +, огибают точку (0, 0) справа по полуокружности бесконечно малого радиуса (рисунок 2.2.6, а), либо рассматривают нулевой корень, как предел отрицательного вещественного корня (рисунок 2.2.6, б) при .

Воспользуемся вторым вариантом предельного перехода от устойчивой разомкнутой системы к нейтральной. В этом случае вместо функции воспользуемся функцией, которая переходит в при ,

(2.2.21)

При

(2.2.22)

где b₀ и d₀ — значения полиномов и при ; R  значение при .

При малых частотах годограф при отличается от годо­графа , принимая вид пунктирной кривой, показанной на рисунке 2.2.6, в. По мере стремления  к нулю и годо­граф отличается от годографа только четвертью окружности бесконечно большого радиуса, дополняемой при . Будем называть такую часть окружности "допол­нением в бесконечности".

Рисунок 2.2.6  Годографы нейтральной в разомкнутом состоянии системы

Для — это четверть окружности бесконечно большого радиуса, для — это уже половина окружности, а для произвольного значения  дополнение годографа в бесконеч­ности представляет собой дугу, состоящую из  четвертей окружности бесконечно большого радиуса, начинающуюся при частоте на действительной оси и с увеличением частоты описывающей угол в отрицательном направлении вокруг начала координат.

Таким образом, система с одним интегрирующим звеном, годограф которой с его дополнением в бесконечности показан на рисунке 2.2.6, в, не охватывает точку , является устой­чивой.

На рисунке 2.2.6, г показан годограф, соответствующий неустой­чивой системе, так как он охватывает точку .

Из сказанного следует, что система автоматического регулирования, нейтральная в разомкнутом состоянии, устойчива, если годограф разомкнутой системы с его дополнением в бесконечности не охватывает точку .