- •Раздел 1. Основные понятия теории автоматического управления. Типовые звенья линейных систем автоматического управления. Соединение линейных звеньев
- •1.1 Основные принципы и понятия автоматического управления
- •1.2 Примеры систем автоматического управления
- •1.3 Основные понятия операционного исчисления. Преобразование Фурье и Лапласа
- •Связь преобразований Фурье и Лапласа
- •1.4 Прохождение регулярных сигналов через линейное звено
- •Регулярные сигналы
- •1.5 Характеристики линейного звена
- •1.6 Устойчивость линейных звеньев. Минимально-фазовые звенья. Преобразование произвольного сигнала линейным звеном
- •1.7 Типовые динамические звенья. Простейшие звенья. Звенья первого порядка
- •Простейшие звенья
- •Звенья первого порядка
- •1.8 Колебательные звенья. Особые звенья: неминимально-фазовые устойчивые звенья, неустойчивые звенья
- •Устойчивые неминимально-фазовые звенья
- •Неустойчивые звенья
- •1.9 Особые звенья: иррациональные и трансцендентные звенья Иррациональные звенья
- •Трансцендентные звенья
- •1.8 Соединение линейных звеньев. Преобразование структурных схем
- •Последовательное соединение звеньев
- •Параллельное согласное соединение звеньев
- •Параллельное встречное соединение звеньев
- •Преобразование структурных схем
- •Раздел 2. Исследование устойчивости линейных систем автоматического управления. Качество процессов управления
- •2.1 Постановка задачи исследования устойчивости линейных систем автоматического управления. Алгебраические критерии устойчивости. Критерий Рауса, критерий Гурвица
- •Алгебраические критерии устойчивости
- •2.2 Частотные критерии устойчивости. Критерий Михайлова. Критерий Найквиста
- •2.3 Влияние параметров системы на её устойчивость. Метод d-разбиения
- •Разбиение по одному (комплексному) параметру
- •2.4 Показатели качества процессов управления
- •2.5 Качество регулирования при стандартных воздействиях
- •2.6 Косвенные методы исследования качества процессов управления. Интегральные оценки качества переходных процессов
1.5 Характеристики линейного звена
Для количественного описания свойств линейного звена в зависимости от постановки задачи, пользуются следующими взаимно связанными его характеристиками: комплексным коэффициентом усиления; передаточной функцией; переходной функцией; весовой функцией.
Рассмотрим определение каждой из перечисленных характеристик.
Комплексным коэффициентом усиления звена называется отношение комплексной амплитуды сигнала на выходе к комплексной амплитуде сигнала на входе при подаче на вход синусоидального воздействия.
Из уравнения (1.4.9) комплексный коэффициент линейного звена определяется как
(1.5.1)
Полную характеристику звена дает изменение комплексного коэффициента звена при изменении частоты от нуля до бесконечности.
Геометрическое место конца вектора комплексного коэффициента усиления звена при изменении частоты от нуля до бесконечности называется частотным годографом коэффициента усиления или комплексной частотной характеристикой звена. Иногда его называют также амплитудно-фазовой характеристикой звена.
Комплексный коэффициент усиления звена может быть измерен экспериментально, если на вход звена подать синусоидальное напряжение определенной амплитуды и частоты, а на выходе измерить амплитуду и фазу сигнала. Так, например, если
то комплексная амплитуда входного сигнала , а комплексная амплитуда выходного сигнала . Таким образом,
(1.5.2)
Если на вход системы подать единичный импульс, частотный спектр которого равен единице, то частотный спектр выходного сигнала совпадает с зависимостью комплексного коэффициента усиления от частоты. Действительно, в этом случае по формуле (1.4.9)
и, следовательно, комплексную частотную характеристику звена можно определить как частотный спектр выходного сигнала при подаче на вход звена единичного импульса.
Такое определение носит чисто теоретический характер, так как в практических условиях реализация сигнала в виде единичного импульса невозможна.
Пример годографа комплексного коэффициента усиления звена (комплексной частотной характеристики) показан на рисунке 1.5.1, а. В реальных звеньях обычно для дифференциального уравнения и в выражении (1.5.1) порядок числителя меньше порядка знаменателя. На годографе это выражается тем, что при значение . Вместо частотного годографа часто задают частотные зависимости амплитуды и фазы (рисунок 1.5.1, б и в), понимая под амплитудой её значение на выходе при амплитуде синусоидального сигнала на входе, равном единице, или модуль коэффициента усиления.
Рисунок 1.5.1 – Амплитудно-фазовая (а), амплитудно-частотная (б) и фазочастотная (в) характеристики звена
Передаточной функцией звена называется отношение изображения сигнала на выходе к изображению сигнала на входе при нулевых начальных условиях.
Согласно (1.7), передаточная функция определяется как
(1.5.3)
Переход от передаточной функции к комплексному коэффициенту усиления осуществляется путем замены p на .
Если известны — полюсы и — нули функции , соответствующие корням уравнений и , то выражение (1.5.3) можно записать как
(1.5.4)
Предполагается, что многочлены и не имеют общих корней и дробь (1.5.4) не может быть сокращена.
С помощью разложения функции на элементарные дроби формула (1.5.4) может быть преобразована
(1.5.5)
Здесь предполагается, что функция не имеет кратных полюсов и что .
Переходной функцией звена называется сигнал на выходе звена при подаче на его вход единичного скачка . В этом случае изображение по Лапласу входного сигнала и, согласно (1.5.3), изображение выходного сигнала
(1.5.6)
Переходя от изображения к оригиналу, получаем
(1.5.7)
Переходная функция однозначно связана с передаточной функцией звена.
Выражая с помощью (1.5.5) и переходя от изображения к оригиналу, получаем
(1.5.8)
или
(1.5.9)
Установившаяся (вынужденная) составляющая переходной функции
(1.5.10)
характеризует статические свойства звена.
Переходная (свободная) составляющая определяется как разность
(1.5.11)
Весовой, или импульсной, переходной функцией называется сигнал на выходе звена при подаче на его вход единичного импульса . В этом случае изображение по Лапласу входного сигнала , а изображение выходного сигнала совпадает с передаточной функцией
(1.5.12)
Переходя от изображения к оригиналу, для весовой функции получаем
(1.5.13)
т.е. весовая функция является оригиналом передаточной функции. Так как изображение переходной функции отличается от передаточной функции только множителем р, то
(1.5.14)
Таким образом, зная переходную функцию, всегда можно найти весовую функцию звена. Для и , выражаемых формулами (1.5.3) и (1.5.8), получаем
(1.5.15)
Рассмотренные четыре вида характеристик линейных звеньев однозначно связаны друг с другом и, зная одну из них, всегда можно найти любую другую.