Устойчивые неминимально-фазовые звенья

В ряде устройств, например при дифференциальных или мо­стовых соединениях, встречаются звенья, описываемые диффе­ренциальными уравнениями, имеющими отрицательные коэффи­циенты в правой части уравнения и соответственно нули в правой полуплоскости. При этом фазовый сдвиг между входным и выходным сигналами может превышать .

Дифференциальное уравнение устойчивого неминимально-фазового зве­на первого порядка имеет вид

(1.7.60)

Комплексный коэффициент усиления такого звена

(1.7.61)

а передаточная функция

(1.7.62)

Примерами таких звеньев могут служить мостовые схемы, изображенные на рисунке 1.7.16. В случае (а) уравнение имеет вид

(1.7.63)

а в случае (б)

(1.7.64)

Здесь , а . В обоих случаях имеется в виду, что .

Для схемы (а) , , , .

Для схемы (б) , , , .

Рисунок 1.7.16 – Примеры неминимально-фазовых звеньев

На рисунке 1.7.17 построены частотные характеристики рассматривае­мого звена. Построение выполнено для нормированных характеристик и при и .

Как видно из построения, при и при частотные годографы лежат в третьем и четвертом квадрантах, имея вид полуокружностей. Соответственно инверсные характери­стики представляют собой полуокружности, лежащие в пер­вом и втором квадрантах.

Рисунок 1.7.17 – Характеристики устойчивого неминимально-фазового звена

При различном расположении годографов для инер­ционно-форсирующего (см. рисунок 1.7.12) и неминимально-фазового рассматриваемого звена их амплитудно-частотные характери­стики аналогичны. Действительно, в рассматриваемом случае

(1.7.65)

что полностью совпадает с формулой (1.7.44).

Для фазочастотных характеристик

(1.7.66)

что существенно отличается от (1.7.45).

Таким образом, при совпадении амплитудно-частотных характеристик минимально-фазовых и неминимально-фазовых звеньев их фазочастотные характеристики не совпадают.

По передаточной функции (1.7.62) может быть найдена пере­ходная функция (рисунок 1.7.18, а)

(1.7.67)

и весовая функция (рисунок 1.7.18, б)

(1.7.68)

Из рисунка видно, что в зависимости от времени ме­няет знак, однако в отличие от аналогичных характеристик минимально-фазовых звеньев величина τ не оказывает столь существенного влияния на ход кривых и .

Рисунок 1.7.18 – Переходная (а) и весовая (б) функции устойчивого неминимально-фазового звена

Неустойчивые звенья

Наиболее общая форма уравнения неустойчивого звена пер­вого порядка может быть записана как

(1.7.69)

Передаточная функция

(1.7.70)

Уравнения (1.7.69) и (1.7.70) отличаются от (1.7.40) и (1.7.42) только знаком при Т. Все виды звеньев первого порядка мож­но описать одним и тем же уравнением (1.7.40), если считать, что при и звено — минимально-фазовое типовое; при и звено — неминимально-фазовое устойчи­вое; при вне зависимости от знака звено — неустой­чивое.

На рисунке 1.7.19 показаны примеры расположения нулей и полюсов передаточ­ных функций звеньев первого порядка при различных знаках Т и в уравнении (1.7.40).

Рисунок 1.7.19 – Расположение нулей и полюсов передаточной функции на комплексной плоскости

Наиболее распространенным примером неустойчивого звена является квазиинерционное звено, для которого . В этом случае, в зависимости от выбора положительных направлений х и у получаем

(1.7.71)

или

(1.7.72)

Комплексный коэффициент усиления неустойчивого квази­инерционного звена

(1.7.73)

а передаточная функция

(1.7.74)

Годографы амплитудно-фазовой характеристики неустойчи­вого квазиинерционного звена показаны на рисунке 1.7.20, а и б. Как видно из построения, прямой и инверсный годографы комплек­сного коэффициента усиления представляют собой зеркальные отображения относительно мнимой оси годографов, полученных для инерционного звена (см. рисунок 1.7.8).

Рисунок 1.7.20 – Характеристики неустойчивого звена

Амплитудно-частотная характеристика имеет то же выра­жение, что и для типового инерционного звена

(1.7.75)

Таким образом, график рассматриваемого неустойчивого звена ничем не отличаются от аналогичного гра­фика типового инерционного звена. Фазочастотная характеристика

(1.7.76)

Эта зависимость (рисунок 1.7.20, в) представляет собой зеркальное отображение фазочастотной характеристики инерционного звена относительно прямой , соответствующей мнимой оси.

Из рассмотрения полученных частотных характеристик можно сделать вывод, что неустойчивые звенья могут иметь точно такие же амплитудно-частотные характери­стики, как и устойчивые звенья, однако при этом фазочастотные характеристики существенно различаются.

По передаточной функции (1.7.74) может быть найдена пере­ходная функция (рисунок 1.7.20, г)

(1.7.77)

и весовая функция (рисунок 1.7.20, д)

(1.7.78)

Для линейных неустойчивых звеньев не существует устано­вившегося режима, и с течением времени при любой входной величине выходная величина стремится в бесконечность.