- •Раздел 1. Основные понятия теории автоматического управления. Типовые звенья линейных систем автоматического управления. Соединение линейных звеньев
- •1.1 Основные принципы и понятия автоматического управления
- •1.2 Примеры систем автоматического управления
- •1.3 Основные понятия операционного исчисления. Преобразование Фурье и Лапласа
- •Связь преобразований Фурье и Лапласа
- •1.4 Прохождение регулярных сигналов через линейное звено
- •Регулярные сигналы
- •1.5 Характеристики линейного звена
- •1.6 Устойчивость линейных звеньев. Минимально-фазовые звенья. Преобразование произвольного сигнала линейным звеном
- •1.7 Типовые динамические звенья. Простейшие звенья. Звенья первого порядка
- •Простейшие звенья
- •Звенья первого порядка
- •1.8 Колебательные звенья. Особые звенья: неминимально-фазовые устойчивые звенья, неустойчивые звенья
- •Устойчивые неминимально-фазовые звенья
- •Неустойчивые звенья
- •1.9 Особые звенья: иррациональные и трансцендентные звенья Иррациональные звенья
- •Трансцендентные звенья
- •1.8 Соединение линейных звеньев. Преобразование структурных схем
- •Последовательное соединение звеньев
- •Параллельное согласное соединение звеньев
- •Параллельное встречное соединение звеньев
- •Преобразование структурных схем
- •Раздел 2. Исследование устойчивости линейных систем автоматического управления. Качество процессов управления
- •2.1 Постановка задачи исследования устойчивости линейных систем автоматического управления. Алгебраические критерии устойчивости. Критерий Рауса, критерий Гурвица
- •Алгебраические критерии устойчивости
- •2.2 Частотные критерии устойчивости. Критерий Михайлова. Критерий Найквиста
- •2.3 Влияние параметров системы на её устойчивость. Метод d-разбиения
- •Разбиение по одному (комплексному) параметру
- •2.4 Показатели качества процессов управления
- •2.5 Качество регулирования при стандартных воздействиях
- •2.6 Косвенные методы исследования качества процессов управления. Интегральные оценки качества переходных процессов
1.3 Основные понятия операционного исчисления. Преобразование Фурье и Лапласа
Прямое и обратное преобразования Фурье. Совокупность операций, позволяющих по заданной функции находить ей соответствующую спектральную характеристику , называется преобразованием Фурье и описывается следующим выражением:
(1.3.1)
Интеграл в правой части равенства (1.3.1) понимается в смысле главного значения, т.е.
(1.3.2)
Равенство (1.3.1) устанавливает связь между функцией , аргументом которой служит время t, и ей соответствующей комплексной функцией , имеющей в качестве аргумента частоту ω.
Формула интеграла Фурье
(1.3.3)
позволяет по известной функции определить ей соответствующую функцию , и называется формулой обратного преобразования Фурье.
Интеграл в правой части равенства (1.3.3) также следует рассматривать в смысле главного значения, т.е.
(1.3.4)
В ряде задач автоматического регулирования функция характеризует процесс, имеющий место лишь начиная с некоторого времени t, который можно принять за нулевой. В этом случае при и формула (1.3.1) принимает вид
(1.3.5)
Преобразование, определяемое формулой (1.3.5), называется прямым односторонним преобразованием Фурье.
Обратное преобразование Фурье, соответствующее прямому одностороннему преобразованию, остается двусторонним по переменной ω и даётся равенством
(1.3.6)
где определяется формулой (1.3.5).
Одностороннему преобразованию Фурье могут быть подвергнуты те функции , которые в любом интервале, заключенном в пределах , удовлетворяют условиям Дирихле, и интеграл существует.
Прямое и обратное преобразование Лапласа. Рассмотрим функцию вещественной переменной t, при этом будем предполагать выполненными следующие условия:
-
Функция непрерывна для всех значений . Непрерывность может быть нарушена лишь в отдельных точках, являющихся точками разрыва непрерывности первого рода, причем число этих точек должно быть конечным на любом интервале ограниченной длины.
-
Функция для значений .
-
Функция имеет ограниченный порядок возрастания, т.е. можно указать такие постоянные числа и , при которых выполняется неравенство
Число является показателем роста функции . Функция , удовлетворяющая условиям 1–3, называется оригиналом. Многие функции, встречающиеся при описании процессов в автоматических системах, являются оригиналами. Например, оригиналами будут функции ; ; ; (); ; () и ряд других функций. Наличие в этих функциях множителя — единичной ступенчатой функции — обеспечивает выполнение второго условия, т.е. обращение функции в ноль при . С физической точки зрения это условие является вполне естественным. Действительно, в автоматических системах обычно представляют интерес процессы, начинающиеся с некоторого момента времени. Например, если функция характеризует отклонение регулируемой величины, происходящее при приложении к системе в момент возмущающего воздействия, то очевидно, что при , так как реакция на возмущение не может возникнуть ранее момента времени приложения, к системе самого возмущения. Этот момент времени может быть принят за нулевой момент, т.е. можно полагать, что ; тогда при получим . Условие 2 поэтому, естественно, учитывает начальные условия, в которых находится автоматическая система. Как правило, условия 1 и 3 также выполняются для большинства функций , характеризующих процессы в автоматических системах. Если хотя бы одно из условий 1–3 не выполняется, то функция не будет являться оригиналом. Согласно условию 1 оригинал не может обращаться в бесконечность при , поэтому не является оригиналами функция , . Не является оригиналом также функция , поскольку для этой функции не выполнено условие 3: функция при возрастает быстрее, чем возрастает функция .
Функция комплексного переменного , определяемая равенством
(1.3.7)
называется изображением функции по Лапласу. Интеграл в правой части равенства (1.3.7) называется интегралом Лапласа. Этот несобственный интеграл по определению равен
(1.3.8)
причем означает правый предельный переход.
С помощью интеграла Лапласа устанавливается соответствие между функцией и её изображением . Символически преобразование Лапласа записывается в виде
(1.3.9)
Интеграл Лапласа будет сходящимся, если существует предел в правой части равенства (1.3.8).
Для перехода от изображения к ему соответствующему оригиналу необходимо выполнить обратное преобразование Лапласа. Оригинал в точках непрерывности определяется равенством
(1.3.10)
где — изображение по Лапласу оригинала , а интеграл в правой части этого равенства понимается в смысле главного значения, т.е.
(1.3.11)
Формула (1.3.10) называется формулой обращения. С её помощью устанавливается связь между изображением и ему соответствующим оригиналом . Процесс получения оригинала по заданному изображению представляет собой обратное преобразование Лапласа. Символически обратное преобразование Лапласа записывают в виде
(1.3.12)
Условие учитывает то обстоятельство, что оригинал при .
Наиболее часто встречающиеся оригиналы и соответствующие им приложения приведены в Приложении 1.