- •Раздел 1. Основные понятия теории автоматического управления. Типовые звенья линейных систем автоматического управления. Соединение линейных звеньев
- •1.1 Основные принципы и понятия автоматического управления
- •1.2 Примеры систем автоматического управления
- •1.3 Основные понятия операционного исчисления. Преобразование Фурье и Лапласа
- •Связь преобразований Фурье и Лапласа
- •1.4 Прохождение регулярных сигналов через линейное звено
- •Регулярные сигналы
- •1.5 Характеристики линейного звена
- •1.6 Устойчивость линейных звеньев. Минимально-фазовые звенья. Преобразование произвольного сигнала линейным звеном
- •1.7 Типовые динамические звенья. Простейшие звенья. Звенья первого порядка
- •Простейшие звенья
- •Звенья первого порядка
- •1.8 Колебательные звенья. Особые звенья: неминимально-фазовые устойчивые звенья, неустойчивые звенья
- •Устойчивые неминимально-фазовые звенья
- •Неустойчивые звенья
- •1.9 Особые звенья: иррациональные и трансцендентные звенья Иррациональные звенья
- •Трансцендентные звенья
- •1.8 Соединение линейных звеньев. Преобразование структурных схем
- •Последовательное соединение звеньев
- •Параллельное согласное соединение звеньев
- •Параллельное встречное соединение звеньев
- •Преобразование структурных схем
- •Раздел 2. Исследование устойчивости линейных систем автоматического управления. Качество процессов управления
- •2.1 Постановка задачи исследования устойчивости линейных систем автоматического управления. Алгебраические критерии устойчивости. Критерий Рауса, критерий Гурвица
- •Алгебраические критерии устойчивости
- •2.2 Частотные критерии устойчивости. Критерий Михайлова. Критерий Найквиста
- •2.3 Влияние параметров системы на её устойчивость. Метод d-разбиения
- •Разбиение по одному (комплексному) параметру
- •2.4 Показатели качества процессов управления
- •2.5 Качество регулирования при стандартных воздействиях
- •2.6 Косвенные методы исследования качества процессов управления. Интегральные оценки качества переходных процессов
2.6 Косвенные методы исследования качества процессов управления. Интегральные оценки качества переходных процессов
Рассмотрим переходную составляющую процесса управления, определение которой иллюстрируется рисунке 2.6.1,
(2.6.1)
за весь теоретический интервал ее существования . Естественно, что вычисление интегральных оценок должно быть обеспечено заданием структуры и параметров системы (дифференциальное уравнение, структурная схема или передаточная функция), воздействия на входе (функция времени или ее изображение по Лапласу) и начальных условий. Решение дифференциального уравнения при этом не требуется.
Рисунок 2.6.1 – Кривая переходного процесса
Линейные интегральные оценки. Линейной интегральной оценкой переходной составляющей называется определенный интеграл вида
(2.6.2)
где заранее заданная функция времени — функция веса.
Практическое распространение получили линейные интегральные оценки
преимущественно вида
(2.6.3)
с функцией веса .
Простейшая из этих оценок
(2.6.4)
равна площади переходного процесса, заштрихованной на рисунке 2.6.2 с учетом знака . Для монотонных процессов (рисунок 2.6.2, а) эта оценка может служить характеристикой качества системы.
Оценка
(2.6.5)
равна моменту площади относительно начала координат. Отношение
определяет положение центра тяжести фигуры, заштрихованной на рисунке 2.6.2, и может служить характеристикой быстродействия системы при монотонных процессах управления (см. рисунок 2.6.2, а).
Старшие оценки (2.6.3) определяют моменты l-го порядка функции , где
Линейные интегральные оценки можно вычислить по формуле
(2.6.6)
Согласно (2.6.6), оценка
(2.6.7)
Применение линейных интегральных оценок практически ограничено, поскольку они приемлемы только для монотонных процессов. Из рисунка 2.6.2, б ясно, что для колебательного процесса значение и других линейных оценок может быть малым при плохом затухании и больших перерегулированиях. Установить заранее монотонность процессов в исследуемой системе довольно трудно, что еще более ограничивает непосредственное применение этих оценок. От этого недостатка свободны квадратичные интегральные оценки.
Рисунок 2.6.2 – Линейные интегральные оценки
Квадратичные интегральные оценки. Квадратичные интегральные оценки имеют вид
(2.6.8)
Простейшая квадратичная интегральная оценка
(2.6.9)
характеризует протекание переходного процесса так, как это представлено на рисунке 2.6.3. Её численное значение, равное площади, заштрихованной на этом рисунке, учитывает абсолютное значение отклонения , что позволяет применять оценку также и к колебательным системам.
Интеграл проще всего определяется с помощью теоремы Релея, из которой
(2.6.10)
где — амплитудный спектр переходной составляющей на выходе системы управления.
Рисунок 2.6.3 – Квадратичная интегральная оценка
В большинстве случаев изображение — дробно-рациональная функция
(2.6.11)
и формула (2.6.10) принимает вид
(2.6.12)
Интегралы вида (2.6.12) в функции коэффициентов и , вычисленные для и , представлены в Приложении 2.
Наименьшее, нулевое значение оценки согласно (2.6.9) достигается при во всех точках, кроме . Такой процесс не может быть принят в качестве эталона сравнения, поскольку чрезмерное быстродействие в линейной системе приводит к недопустимым и практически нереализуемым перенапряжениям и перегрузкам.
От перечисленных выше недостатков свободна квадратичная интегральная оценка
(2.6.13)
Увеличение точности расчётов обеспечивается применением одной из старших квадратичных интегральных оценок
Оценка может быть вычислена как сумма
(2.6.14)
компоненты которой
определяются по изображению точно так же, как оценка .