1.2 Примеры систем автоматического управления

Рассмотрим некоторые наиболее простые примеры объектов управления.

Гидравлический резервуар, пример простейшего объекта автоматического управления, показан на рисунке 1.2.1, а. Управляющим воздействием x является скорость притока воды в резервуар Q; управляемой величиной y — уровень воды в ре­зервуаре H, а внешним возмущением — расход воды из резер­вуара G.

Рисунок 1.2.1 – Схема гидравлического резервуара

Между величинами Q, H и G может быть написана следующая зависимость:

(1.2.1)

где S — площадь поперечного сечения резервуара.

Уравнение (1.2.1) представляет собой математическое описание рассматриваемого простейшего объекта. Легко заметить, что рассматриваемый объект нейтрален, так как при , и , кратковременное увеличение Q (после сни­жения Q до нуля) приведет к повышению уровня H и пере­ходу к новому состоянию , что соответствует гра­фику, показанному на рисунке 1.1.3, в. Так как возрастание Q приводит к увеличению , то характеристика объекта яв­ляется монотонной.

При наличии двух сообщающихся резервуаров (рисунок 1.2.1, б) объект будет описан системой уравнений:

(1.2.2)

где представляет собой некоторую в об­щем случае нелинейную монотонную функцию.

Уравнения (1.2.2) представляют собой математическое опи­сание объекта, в котором каждый из векторов управляемых величин и воздействий имеет по две компоненты

При этом каждый из уровней и зависит от величин , , и и, следовательно, объект многосвязный.

Печи (топливные и электрические). Более сложным объектом управления является печь, нагрев которой производится путем сжигания топлива (рисунок 1.2.2).

Рисунок 1.2.2 – Схема печи

Для печи регулируемой величиной является температура в определенных точках . Управляющими величинами служат положения вентилей и шиберов , , , , регулирующих подачу горючего, приток воздуха и вытяжку газов. Внешними воздействиями являются изменения в составе и расходе горючего, в давлении воздуха системы, изменения тепловых параметров, связанных с загрузкой и выгрузкой печи. Некоторые из этих величин могут контролироваться (например, расходы и темпе­ратура), однако большинство не поддается контролю.

Тепловой режим печи описывается сложной систе­мой дифференциальных уравнений в частных произ­водных, которые обычно дают приближенное представление о характере про­цессов в печи.

В приближенных расчётах систем, в которых уп­равление ведется только путем изменения скорости подачи горючего в пламен­ных печах или мощности электрических нагревателей в электрических печах, математическое описание объекта может быть сведено к дифференциальному уравнению первого порядка.

Если управляющая величина Q — количество тепла, выделяемого в печи за единицу времени, а — средняя температура печи (рисунок 1.2.3, а), то уравнение теплового баланса может быть при­ближенно записано как

(1.2.3)

где C — объемная теплоёмкость печи, g — коэффициент теплопроводности системы печь – окружающая среда, температура которой .

Рисунок 1.2.3 – Печь как объект управления (а) и статическая характеристика печи (б)

Распределенный характер системы печь – нагреваемая де­таль приближённо учитывается введением некоторого запазды­вания между средней температурой печи и температурой детали или некоторой точки печи , являющейся регулируемой величиной, измеряемой в процессе управления

(1.2.4)

где τ — некоторое эквивалентное время запаздывания.

В общем случае параметры печи g и C зависят от темпера­туры и только в приближенных расчётах могут быть приняты постоянными.

Неконтролируемыми воздействиями являются изменения окружающей внешней температуры , изменения теплоёмкости печи C и изменения условий теплообмена g.

Зависимость между установившейся температурой печи и количеством тепла, выделяемого в печи за еди­ницу времени Q, выра­жается монотонной стати­ческой характеристикой управления (рисунок 1.2.3, б).

Несколько сложнее опи­сать математически процесс в электрических печах ра­диационного нагрева по­верхности различных изде­лий. На рисунке 1.2.4 схемати­чески показана система радиационных нагревате­лей, излучающих тепло для нагрева поверхности мас­сивного тела. Мощность, излучаемая на единицу по­верхности изделия, в тепло­вых единицах

где U и I — соответственно напряжение и ток нагревателей; k — коэффициент пропорциональности, зависящий от излучателя и обратно пропорциональный поверх­ности облучения.

Рисунок 1.2.4 – Схема системы радиационных нагревателей

Управляющим воздействием служит напряжение питания излучателя U. Удельная мощность

нелинейно зависит от напряжения питания.

Управляемой величиной является температура нагрева по­верхности изделия.

Внешние, большей частью неконтролируемые воздействия — различие в параметрах нагреваемых изделий, изменения параметров излучателей, условий теплоотвода с поверхности изде­лия и т.п.

Тепловой режим нагрева поверхности материала приближённо описывается одномерным уравнением Фурье для полуограниченного тела

(1.2.5)

при начальных условиях

(1.2.6)

и граничных условиях, определяемых теплообменом на поверхности изделия,

(1.2.7)

В уравнениях (1.2.5–1.2.7) приняты следующие обозначе­ния: c и λ — соответственно удельная объемная теплоемкость и удельная теплопроводность нагреваемого материала; x — коор­дината точки материала, отсчитываемая от его поверхности; — температура воздуха, омывающего поверхность материала; — плотность теплового потока отвода тепла от поверхности тела в окружающее пространство, зависящая от температуры поверхности и окружающей температуры .

Решение этих уравнений дает возможность ориентировочно судить о переходных процессах нагрева деталей.

Рассмотренные примеры печей относятся к категории устой­чивых объектов с самовыравниванием.