Раздел 2. Исследование устойчивости линейных систем автоматического управления. Качество процессов управления

2.1 Постановка задачи исследования устойчивости линейных систем автоматического управления. Алгебраические критерии устойчивости. Критерий Рауса, критерий Гурвица

При рассмотрении объектов управления указывалось, что их состояние равновесия может быть устойчивым, неустойчи­вым и нейтральным. То же можно сказать и о системах автоматического регулирования.

Неустойчивый объект может входить в устойчивую систему автоматического регулирования. В этом случае речь идет о системах с искусственной устойчивостью. Однако неустой­чивые линейные системы автоматического регулирования сами по себе без дополнительных устройств искусственной устой­чивости не могут быть применены на практике. Поэтому пер­вым условием работоспособности линейной системы автомати­ческого регулирования является ее устойчивость.

Необходимым и достаточным условием устойчивости линейного звена является отрицатель­ное значение вещественной части всех полюсов передаточной функции этого звена.

Для разомкнутой системы регулирования

(2.1.1)

где и — алгебраические полиномы от р. Усло­вием устойчивости разомкнутой системы является отрицатель­ный знак вещественной части корней характеристического уравнения

(2.1.2)

Рассмотрим в качестве передаточной функции замкнутой системы передаточную функцию по регулируемой величи­не

(2.1.3)

Подставив выражение из (2.1.1), получим

(2.1.4)

Вводя общее обозначение передаточной функции замкнутой системы

(2.1.5)

во всех случаях для знаменателя замкнутой системы получается

(2.1.6)

Условием устойчивости замкнутой системы является отри­цательный знак вещественной части всех корней характери­стического уравнения

(2.1.7)

Исследование устойчивости сводится, таким образом, к оп­ределению знаков вещественной части корней характеристиче­ского уравнения, т.е. к вопросу распределения корней относи­тельно мнимой оси в комплексной плоскости р.

Уравнения степени не выше 4-й могут быть решены, так как для них существуют аналитические выражения, определяющие их корни. Для уравнений более высокой степени (степени 5-й и выше) таких выражений нет. Но для суждения об устойчиво­сти нет необходимости знать значение корней, достаточно лишь иметь суждение о знаке их вещественной части.

Существенным является выяснение правил, которые позволили бы, минуя вычисление самих корней, ответить на вопрос: как распределены корни в комплексной плоскости от­носительно мнимой оси. Правила, позволяющие определить рас­положение корней относительно мнимой оси, называются крите­риями устойчивости.

Существует несколько критериев устойчивости. Все они ма­тематически эквивалентны, так как решают вопрос — лежат ли все корни характеристического уравнения в левой полу­плоскости или нет. Практическое использование того или иного критерия для конкретной задачи решается характером самой задачи.

В настоящее время при решении вопроса об устойчивости используются следующие критерии: алгебраические — а) Рауса, б) Гурвица; частотные —а) Михайлова, б) Найквиста.