- •Раздел 1. Основные понятия теории автоматического управления. Типовые звенья линейных систем автоматического управления. Соединение линейных звеньев
- •1.1 Основные принципы и понятия автоматического управления
- •1.2 Примеры систем автоматического управления
- •1.3 Основные понятия операционного исчисления. Преобразование Фурье и Лапласа
- •Связь преобразований Фурье и Лапласа
- •1.4 Прохождение регулярных сигналов через линейное звено
- •Регулярные сигналы
- •1.5 Характеристики линейного звена
- •1.6 Устойчивость линейных звеньев. Минимально-фазовые звенья. Преобразование произвольного сигнала линейным звеном
- •1.7 Типовые динамические звенья. Простейшие звенья. Звенья первого порядка
- •Простейшие звенья
- •Звенья первого порядка
- •1.8 Колебательные звенья. Особые звенья: неминимально-фазовые устойчивые звенья, неустойчивые звенья
- •Устойчивые неминимально-фазовые звенья
- •Неустойчивые звенья
- •1.9 Особые звенья: иррациональные и трансцендентные звенья Иррациональные звенья
- •Трансцендентные звенья
- •1.8 Соединение линейных звеньев. Преобразование структурных схем
- •Последовательное соединение звеньев
- •Параллельное согласное соединение звеньев
- •Параллельное встречное соединение звеньев
- •Преобразование структурных схем
- •Раздел 2. Исследование устойчивости линейных систем автоматического управления. Качество процессов управления
- •2.1 Постановка задачи исследования устойчивости линейных систем автоматического управления. Алгебраические критерии устойчивости. Критерий Рауса, критерий Гурвица
- •Алгебраические критерии устойчивости
- •2.2 Частотные критерии устойчивости. Критерий Михайлова. Критерий Найквиста
- •2.3 Влияние параметров системы на её устойчивость. Метод d-разбиения
- •Разбиение по одному (комплексному) параметру
- •2.4 Показатели качества процессов управления
- •2.5 Качество регулирования при стандартных воздействиях
- •2.6 Косвенные методы исследования качества процессов управления. Интегральные оценки качества переходных процессов
Алгебраические критерии устойчивости
Раусом и Гурвицем были получены решения задачи устойчивости в несколько различных видах.
Раус опубликовал свое решение в 1875 г. в виде получившей известность таблицы Рауса. Гурвицем был опубликован критерий устойчивости в 1895 г. в виде системы определителей. Оба эти критерия приводят к одним и тем же алгебраическим неравенствам и по существу отличаются только общей формой получения их. Поэтому эти критерии часто объединяют, называя критерием РаусаГурвица.
Критерий Рауса. Пусть дано характеристическое уравнение системы
(2.1.8)
Составим табл. …, называемую таблицей Рауса.
Таблица 1 Таблица Рауса
|
||||
|
||||
Любой коэффициент таблицы Рауса cki при (k обозначает номер столбца, а i — номер строки таблицы) можно найти по формуле
(2.1.9)
где
при
Число строк таблицы Рауса равно степени уравнения плюс единица, т.е. . Коэффициентам с отрицательными индексами соответствуют нули.
Критерий устойчивости Рауса формулируется следующим образом. Для того чтобы система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы коэффициенты первого столбца таблицы Рауса были положительны, т.е.
(2.1.10)
При составлении таблицы Рауса для численно заданных коэффициентов уравнения можно в целях упрощения вычислений умножать или делить строки таблицы на положительную величину. Это не меняет результат.
Если не все коэффициенты первого столбца положительны, т.е. система неустойчива, то число корней уравнения, лежащих в правой полуплоскости, равно числу перемен знаков в первом столбце таблицы.
Критерий Гурвица. Пусть дано характеристическое уравнение системы (2.1.7). Составим таблицу коэффициентов, называемую таблицей Гурвица.
Первая строка образуется из коэффициентов уравнения с индексами и т.д. Вторая строка — из коэффициентов уравнения с индексами п, и т.д. Каждая последующая строка образуется коэффициентами уравнения с индексами на единицу больше индексов коэффициентов предшествующей строки; при этом коэффициенты с индексами меньше нуля и больше п заменяются нулями. Таблица содержит п строк, где n — степень уравнения.
Из таблицы Гурвица составляются определители k-го порядка k отчёркиванием в таблице k строк и k столбцов
(2.1.11)
и т.д.
Эти определители называются определителями Гурвица.
Критерий устойчивости Гурвица формулируется следующим образом. Система устойчива, если и все определители Гурвица больше нуля, т.е. где
Рассмотрим более подробно случаи, когда :
1)
Условия устойчивости:
(2.1.12)
2)
Условия устойчивости:
(2.1.13)
Последнее условие, при наличии предшествующего, эквивалентно условию .
Таким образом, условия устойчивости для уравнения второй степени сводятся к требованиям:
(2.1.14)
3)
Условия устойчивости:
(2.1.15)
Последнее условие, при наличии предшествующего, эквивалентно условию .
Условие при возможно лишь при .
Таким образом, условия устойчивости для уравнения третьей степени сводятся к требованиям:
(2.1.16)
4)
Условия устойчивости:
Последнее условие, при наличии предшествующего, эквивалентно условию .
Условие при возможно только при и . Условие при , и возможно при .
Таким образом, условия устойчивости для уравнения четвертой степени сводятся к требованиям:
(2.1.17)
Из сказанного следует, что условия устойчивости для уравнений первой и второй степени сводятся к требованию положительности коэффициентов характеристического уравнения.
Для уравнений третьей и четвертой степени, помимо положительности коэффициентов характеристического уравнения, необходимо соблюдение неравенств (2.1.16) и (2.1.17).
При число подобных дополнительных неравенств возрастает, поэтому критерий устойчивости Гурвица рационально использовать при .
Из структуры построения определителей Гурвица следует; что
(2.1.18)
Согласно критерию устойчивости Гурвица, система устойчива, если все определители Гурвица больше нуля и, в частности, .
Система находится на границе устойчивости, когда
(2.1.19)
Это равенство возможно в двух случаях: 1) и 2) .
В первом случае говорят, что система находится на границе апериодической устойчивости (один из корней характеристического уравнения равен нулю).
Во втором случае говорят, что система находится на границе колебательной устойчивости (два сопряженных корня характеристического уравнения находятся на мнимой оси).
В большинстве случаев и, следовательно, если система находится на границе устойчивости, то это граница колебательной устойчивости.