
- •1. Статика
- •1.1. Равновесие сходящихся сил
- •1.2. Равновесие плоской системы сил
- •1.3. Приведение произвольной системы сил к простейшему виду
- •1.4. Равновесие пространственной системы сил
- •1.5. Центр тяжести
- •2. Кинематика
- •2.1. Траектория и уравнение движения точки
- •2.2. Скорость и ускорение точки
- •2.3. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси
- •2.4. Скорость точек твердого тела в плоском движении. Мгновенный центр скоростей
- •2.5. Сложное движение точки
- •3. Динамика материальной точки
- •3.1. Дифференциальные уравнения движения. Две задачи динамики
- •3.1.1. Прямая задача
- •3.1.2. Обратная задача
- •3.2. Колебательное движение
- •3.2.1. Свободные колебания материальной точки
- •3.2.2. Вынужденные колебания
- •3.3. Теоремы об изменении количества движения и момента количества движения точки
- •3.4. Работа и мощность силы
- •3.5. Теорема об изменении кинетической энергии точки
- •3.6. Метод кинетостатики для материальной точки
- •4. Динамика системы материальных точек
- •4.1. Геометрия масс и теорема о движении центра масс
- •4.2. Теорема об изменении кинетического момента системы
- •4.3. Дифференциальное уравнение вращения тела вокруг неподвижной оси
- •4.4. Теорема об изменении кинетической энергии механической системы
- •4.5. Метод кинетостатики для системы (принцип Даламбера)
- •5. Аналитическая динамика
- •5.1. Принцип возможных перемещений
- •5.2. Основное уравнение аналитической динамики
- •5.3. Уравнения Лагранжа 2-го рода
- •Рекомендательный Библиографический список
- •Оглавление
1.5. Центр тяжести
Центр тяжести плоской однородной пластины, т.е. координаты точки С, определяется по формулам
;
,
где S – площадь всей пластины; Sk – площадь одной из частей пластины; xk и yk – координаты центров тяжести отдельных частей пластины; n – число частей.
Если плоская фигура имеет вырезы или отверстия, ее центр тяжести определяется методом отрицательных площадей. Сущность метода заключается в том, что из геометрических характеристик рассматриваемой площади вычитаются параметры вырезов (отверстий). Координаты центра тяжести в этом случае
;
,
где F1 – площадь всей фигуры; F2 – площадь выреза или отверстия; F1x1 и F1y1 – статические моменты площади фигуры относительно осей x и y соответственно; F2x2 и F2y2 – статические моменты выреза или отверстия относительно осей x и y.
Решение. Применим метод отрицательных площадей. Для этого разобьем фигуру на четыре части: 1 – треугольник AFH; 2 – прямоугольник OADB, который считаем сплошным; 3 – круг с отрицательной площадью; 4 – треугольник BDE, также имеющий отрицательную площадь (рис.1.50, б). Площадь каждой части фигуры вычислим общепринятым способом:
см2;
cм2;
см2;
cм2.
Теперь найдем координаты центров тяжести частей 1-4, на которые разбита фигура. Вычисления произведем по формулам
;
,
используя при этом данные табл.1.1.
Таблица 1.1
Номер фигуры i |
Si, см2 |
xi, см |
yi, см |
Si xi |
Si yi |
|
1 |
900 |
20 |
70 |
18000 |
63000 |
|
2 |
6000 |
50 |
30 |
300000 |
180000 |
|
3 |
–1250 |
30 |
30 |
–37500 |
–37500 |
|
4 |
–900 |
90 |
30 |
–81000 |
–27000 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4750 |
– |
– |
199500 |
178500 |
В результате вычислений получим xC = 42,0 cм и yC = 37,6 см, которые являются координатами центра тяжести фигуры.
Ответ: x = y = –7 см.
адача 1.49.
Определить положение центра тяжести С
однородного диска с круговым отверстием.
Радиус диска r1, радиус отверстия
r2 и центр этого отверстия
находится на расстоянии r1/2
от центра диска (рис.1.52).
Ответ:
.
Задача 1.50. В квадратной однородной пластине сделаны три выреза: полукруглый, прямоугольный и круглый (рис.1.53). Размеры указаны на чертеже. Определить положение центра тяжести пластины.
Ответ: x = 22,17 см; y = = –0,243 см.
адача 1.51.
Определить координаты центра тяжести
четверти кольца (рис.1.54).
Ответ: x = y = 1,38 см.
Задача 1.52. Найти координаты центра тяжести фигуры (рис.1.55).
Ответ: x = 0,61а, y = 0.