4.5. Метод кинетостатики для системы (принцип Даламбера)

Согласно принципу Даламбера, если в любой момент времени к каждой из точек механической системы, наряду с фактически действующими на нее внешними и внутренними силами, приложить соответствующую силу инерции, то полученная система сил будет находиться в формальном равновесии и к ней можно применять уравнения статики.

Из статики известно, что геометрическая сумма сил, находящихся в равновесии, и сумма их моментов относительно любого центра О равны нулю. Тогда для i-й точки системы можно записать:

где и – равнодействующие соответственно внутренних и внешних сил, действующих на точку; – сила инерции;  – масса точки; – ускорение точки; – номер точки; – число точек.

Для всей системы в целом

или, учитывая, что геометрическая сумма внутренних сил и сумма их моментов относительно любого центра равны нулю,

где – главный вектор внешних сил; – главный вектор сил инерции; – масса системы; – ускорение центра масс системы; – главный момент внешних сил относительно некоторого центра О; – главный момент сил инерции относительно того же центра.

При поступательном движении силы инерции твердого тела приводятся к равнодействующей , проходящей через центр масс тела С.

Если твердое тело имеет плоскость симметрии Oxy и вращается вокруг оси Oz, перпендикулярной этой плоскости, то силы инерции тела приводятся к силе , приложенной в точке О, и к паре сил с моментом , лежащей в плоскости Oxy; – момент инерции тела относительно оси Oz;  – угловое ускорение тела при вращении вокруг той же оси. Если ось вращения проходит через центр масс тела, то силы инерции приводятся к одной паре сил с моментом

При плоском движении тела, имеющего плоскость симметрии и движущегося параллельно этой плоскости, силы инерции приводятся к лежащим в плоскости симметрии силе , приложенной в центре масс С тела, и паре сил с моментом где – момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс тела С.

Пример 4.5. Груз массой поднимается автокраном с ускорением w (рис.4.32). Масса крана без груза m_к; его центр тяжести находится в точке С; радиус барабана лебедки R, момент инерции его относительно оси вращения составляет J_O. Скорость навивки v_к каната связана со скоростью груза зависимостью v_к = iv, где  – постоянное передаточное отношение полиспастной системы. Размеры b, c, l известны. Определить давление колесных пар крана на грунт.

Решение. Так как v_к = iv, то при i = const будем иметь , где – ускорение на ободе барабана. Тогда угловое ускорение барабана , а вращающий момент на барабане

.

Проведем оси координат через центр тяжести С и составим уравнения равновесия с учетом силы инерции груза :

Из первого уравнения равновесия получим Подставив это значение во второе уравнение равновесия, запишем

и найдем

.

Теперь определим

З адача 4.36. На конце консольной тельферной балки (рис.4.33) длиной 2 м находится лебедка, с помощью которой поднимают груз массой m = 1000 кг с ускорением w = 1 м/с². Пренебрегая весом балки и лебедки, определить реакции в жесткой заделке А.

Ответ:  кН;  кНм.

Задача 4.37. Зубчатая рейка BD (рис.4.34) массой , отпущенная без начальной скорости, приводит во вращение вокруг неподвижной горизонтальной оси О шестерню А массой Определить ускорение w рейки, пренебрегая сопротивлениями и принимая шестерню за сплошной однородный диск.

Ответ: .

Задача 4.38. На гладком горизонтальном диске радиусом R пружинного регулятора (рис.4.35) с помощью шарнира B и пружины АО закреплен однородный тонкий прямолинейный стержень АВ массой m и длиной . Длина недеформированной пружины равна R/2, жесткость с. Диск равномерно вращается вокруг оси О, перпендикулярной плоскости диска. Определить, при какой угловой скорости  вращения диска деформация пружины  = R/2.

Ответ: .

Задача 4.39. Однородный прямоугольный брус из природного камня перемещают по камнеобрабатывающему цеху на тележке (рис.4.36), движущейся по рельсам прямолинейно и равноускоренно в горизонтальном направлении. Пренебрегая сопротивлениями, установить, при каких значениях ускорения w тележки камень опрокинется, если высота камня втрое больше его ширины: b = h/3. Определить также реакцию тележки в точке А в момент опрокидывания, если вес каменного бруса равен G.

Ответ:

Задача 4.40. Пружина жесткостью с = 14 Н/м с точечным грузом М массой m = 1 кг на свободном конце равномерно вращается в горизонтальной плоскости Oxy вокруг неподвижного центра О, с которым связан другой конец этой пружины (рис.4.37). Определить удлинение пружины l, если угловая скорость вращения  = 2 рад/с, а длина недеформированной пружины l₀ = 0,1 м. Массой пружины и сопротивлениями пренебречь.

Ответ: l = 0,04 м.

З адача 4.41. Определить опорные реакции подпятника А и подшипника В поворотного крана-перегру­жателя (рис.4.38) при подъеме груза Е весом 30 кН с ускорением м/с². Вес крана 20 кН и приложен в его центре тяжести С. Вес тележки D 5 кН. В момент подъема кран и тележка неподвижны. Конструктивные размеры: АВ = ВD = 5 м; а = 2 м.

Ответ: