3.5. Теорема об изменении кинетической энергии точки

Изменение кинетической энергии материальной точки при ее перемещении равно сумме работ сил, приложенных к точке, на этом перемещении:

(3.8)

где, скорость точки соответственно в конечном и начальном положениях; m – ее масса.

Пример 3.8. Груз массой m = 20 кг поднимается по наклонной плоскости из начального положения М₀ посредством троса, расположенного под углом  = 30 к плоскости (рис.3.16). Наклонная плоскость составляет с горизонтом угол  =  = 30. Сила натяжения троса F постоянна и равна 150 Н. В начальном положении груз находился в покое. Найти величину перемещения груза в момент, когда его скорость станет равной 2 м/с. Коэффициент трения о наклонную плоскость f = 0,2.

Решение. К грузу приложены следующие силы: вес нормальная реакция наклонной плоскости, – сила трения скольжения, сила натяжения веревки. Нормальную реакцию N найдем из уравнения равновесия груза в проекции на нормаль к плоскости, так как в этом направлении движения не происходит:

Тогда

Сила трения

Сумма работ всех сил, приложенных к грузу, на перемещении S

Работа силы тяжести отрицательна, так как груз поднимается вверх:

Работа силы тяги , поскольку она имеет постоянную касательную составляющую , Для нормальной реакции плоскости работа , так как сила перпендикулярна перемещению. Работа силы трения отрицательна, так как эта сила противоположна перемещению:

Таким образом, сумма работ сил на перемещении

Вычислим кинетическую энергию груза в его конечном положении М₁: (в начальном положении , поскольку ). По выражению (3.8) искомое перемещение

Отметим, что это решение имеет смысл, если знаменатель в последнем равенстве положительный, что в данном случае выполняется. После подстановки численных значений получим  м.

Задача 3.56. Груз массой m совершает горизонтальные колебания на упругой пружине жесткостью с. В начальный момент грузу, находящемуся в положении статического равновесия, сообщена начальная скорость . Найти скорость груза в зависимости от его координаты х, а также амплитуду колебаний. Координата х отсчитывается от положения статического равновесия груза.

Ответ:

Задача 3.57. Вагон трамвая затормаживается на горизонтальном участке пути, причем коэффициент трения 0,05. Какое расстояние пройдет вагон до остановки, если его начальная скорость 25,2 км/ч?

Ответ: S = 100 м.

Задача 3.58. Санки, пущенные скользить по горизонтальному льду, останавливаются, пройдя 70 м. Коэффициент трения 0,07. Найти начальную скорость санок.

Ответ: v₀ = 9,8 м/с.

Задача 3.59. По наклонной плоскости, составляющей с горизонтом угол 30, спускается без начальной скорости тело. Коэффициент трения о плоскость Какое расстояние вдоль плоскости пройдет тело к тому моменту, когда его скорость станет равной 7 м/с?

Ответ: S = 10 м.

Задача 3.60. Тело, получив начальную скорость 7 м/с, остановилось, пройдя по горизонтальному полу 100 м. Найти коэффициент трения.

Ответ: f = 0,025.

Задача 3.61. На тело массой 10 кг, лежащее на гладкой горизонтальной плоскости, действует горизонтальная сила F = 10 Н. Какую скорость приобретет тело, пройдя путь 4 м, если его начальная скорость была 0,5 м/с?

Ответ: 2,87 м/с.

Задача 3.62. Поезд идет вниз под уклон со скоростью 36 км/ч, угол уклона к горизонту  = 0,01 рад. В некоторый момент машинист затормаживает поезд, причем суммарное сопротивление от торможения и от трения составляет 0,11 веса поезда. Определить расстояние, которое пройдет поезд от момента торможения до полной остановки. При вычислениях полагать sin = .

Ответ: 51,0 м.

Задача 3.63. При движении железнодорожной платформы весом 0,06 МН она встречает сопротивление 0,15 кН от трения качения и трения в осях. Рабочий начал двигать первоначально покоившуюся платформу и покатил ее по горизонтальному прямолинейному пути, оказывая давление в 0,25 кН. Пройдя 20 м, он отпустил платформу, предоставив ей двигаться свободно до остановки. Найти, пренебрегая сопротивлением воздуха, наибольшую скорость платформы во время движения v_max, а также весь путь S, пройденный до остановки.

Ответ: v_max = 0,81 м/с; S = 33,3 м.

Задача 3.64. Для испытания материалов ударом применяют ударный механизм, состоящий из тяжелой стальной отливки, прикрепленной к стержню, который может вращаться вокруг горизонтальной неподвижной оси. Пренебрегая массой стержня и трением в оси, будем рассматривать отливку как материальную точку. Определить ее скорость v в наинизшем положении, где происходит удар, если она падает вместе со стержнем из наивысшего положения практически без начальной скорости. Длина стержня 0,981 м.

Ответ: v = 6,2 м.

Задача 3.65. Пружина незаряженного горизонтального самострела имеет длину 0,20 м. Для изменения длины пружины на 0,01 м нужна сила 2 Н. С какой скоростью вылетит из самострела шарик весом 0,30 Н, если пружину сжали на 0,10 м?

Ответ: v = 8,1 м/с.

Задача 3.66. Шахтная клеть движется вертикально вниз со скоростью 12 м/с. Вес клети 0,06 МН. Какую силу трения между клетью и стенками шахты должен развить предохранительный парашют (аварийное тормозное устройство), чтобы остановить клеть на пути S = 10 м, если канат, удерживающий клеть, оборвался?

Ответ: F = 0,103 МН.

Задача 3.67. Горизонтальная пружина, на конце которой находится материальная точка, сжата силой и находится в покое. Внезапно сила изменяет направление на противоположное. Определить, пренебрегая массой пружины, во сколько раз получающееся при этом наибольшее растяжение больше первоначального сжатия .

Ответ: /= 3.

Задача 3.68. Вагон массой m, получивший начальную скорость v₀, испытывает при движении сопротивление воздуха, пропорциональное квадрату скорости (коэффициент пропорциональности k). Кроме того, на вагон действует постоянная сила трения с коэффициентом f. Определить путь, пройденный вагоном до остановки.

Ответ: