3.3. Теоремы об изменении количества движения и момента количества движения точки

Теорема об изменении количества движения. Изменение количества движения материальной точки за некоторый промежуток времени равно векторной сумме импульсов сил, приложенных к точке, за тот же промежуток:

где конечное и начальное значения количества движения соответственно; импульс сил за время движения

В проекции на ось Ох:

(3.6)

где S_ix – проекции импульсов,

Если проекция силы на ось постоянна , то

Пример 3.5. Твердое тело весом (рис.3.9) начинает двигаться из состояния покоя по горизонтальной плоскости под действием силы пропорциональной времени: F = at, где Какую скорость приобретет тело через время t после начала движения, если учесть силу трения скольжения о плоскость с коэффициентом трения f?

Решение. На тело действуют сила тяги сила трения, равная по модулю вес и нормальная реакция Равенство (3.6) для этого случая можно записать так:

,

где v₀ = 0; v₁ – величина искомой скорости; и проекции импульсов сил и на ось х.

Начальный момент движения находим из условия, что отсюда Проекции импульсов сил

;

Теперь найдем

откуда

Подставив сюда значение , получим окончательно

Задача 3.37. Груз спускается вниз по шероховатой наклонной плоскости (f – коэффициент трения о плоскость;  – угол ее наклона к горизонту). Скорость груза в начальный момент времени Через какой промежуток времени скорость его удвоится?

Ответ:

Задача 3.38. Пуля массой m = 20 г вылетает из ствола винтовки со скоростью  м/с, пролетая канал ствола за время  с. Найти среднее значение давления р пороховых газов в стволе за время выстрела, если площадь сечения канала ствола  мм².

Ответ:  Н/мм² = 91,2 МПа.

Задача 3.39. Человек весом 600 Н стоит на спортивных санях, вес которых 120 Н, и через каждые 3 с делает толчок с импульсом 100 Нс. Коэффициент трения саней о снег f = 0,01. Какой скорости достигнут сани через 15 с после начала движения?

Ответ:  м/с.

Задача 3.40. Для определения веса нагруженного железнодорожного состава между локомотивом и составом установили динамометр. За время разгона в течение 2 мин среднее показание динамометра оказалось равным 1,008 МН. За то же время состав набрал скорость v = 57,6 км/ч (вначале он стоял на месте). Коэффициент трения f = 0,02. Каков вес состава?

Ответ: Р = 30 МН.

Задача 3.41. Сколько времени понадобится постоянной горизонтальной силе F, чтобы, действуя на тело весом Р, увеличить в n раз его начальную скорость , если тело движется по гладкой горизонтальной плоскости?

Ответ: .

Задача 3.42. С какой силой надо затормозить автомобиль весом Р, для того чтобы в течение времени t снизить его скорость с  до v (t – в секундах, и v – в метрах в секунду)?

Ответ:

Задача 3.43. Свободная материальная точка прямолинейно движется под действием постоянной силы , равной по величине 20 Н. Начальная скорость точки  м/с, через 5 с после начала движения скорость точки стала  м/с. Найти массу точки.

Ответ:  кг.

Теорема об изменении момента количества движения точки. Моментом количества движения (кинетическим моментом) материальной точки М относительно центра О называется вектор , где радиус-вектор точки относительно неподвижного центра О (рис.3.10). Модуль где h – плечо количества движения относительно центра. Момент количества движения относительно оси равен проекции на эту ось вектора относительно любого центра на оси: .

Напомним теорему об изменении момента количества движения в векторном виде: производная по времени от вектора момента количества движения относительно неподвижного центра равна векторной сумме моментов всех сил, приложенных к материальной точке, относительно этого центра:

.

Та же закономерность, записанная в проекциях на любую ось z, проходящую через центр О, имеет вид

(3.7)

где моменты сил относительно оси Оz.

Если все силы проходят через центр О, то выполняется закон сохранения кинетического момента в векторной форме:

Если силы параллельны или пересекают ось Оz, то из (3.7) следует, что

Пример 3.6. Найти закон малых колебаний математического маятника длины (рис.3.11), если в начальный момент времени он занимал вертикальное положение и ему сообщили малую начальную угловую скорость

Решение. При движении с небольшими отклонениями от вертикали маятник будет совершать колебания около оси z, проходящей через точку подвеса перпендикулярно плоскости рисунка. Силы, действующие на него, – вес и сила натяжения нити , причем момент последней относительно оси z равен нулю, а момент веса отрицателен: (при Количество движения точки по величине (считаем, что ), а кинетический момент маятника относительно оси z . Запишем теорему о кинетическом моменте (3.7) в скалярном виде:

или

При малых колебаниях , поэтому принимаем приближенно , тогда уравнение колебаний примет вид Оно совпадает по виду с уравнением свободных колебаний груза под действием силы упругости. По аналогии с решением (3.5) получим

Отбрасывая слагаемое с (поскольку приняли ), увидим, что маятник совершает гармонические колебания по закону с круговой частотой k и периодом Отметим, что колебания будут в действительности малыми, как видно из найденного решения, когда выполнено условие

Задача 3.44. Материальная точка движется под действием центральной силы , линия действия которой постоянно проходит через центр О (рис.3.12). Найти скорость точки в положении М₂, если ее скорость в положении М₁ v₁ = 4 м/с, вектор перпендикулярен отрезку ОМ₁, отношение ОМ₁ / ОМ₂ = 1,5 и угол между скоростью  и силой  = 60. Весом точки пренебречь.

Ответ:  м/с.

Задача 3.45. Точка М движется вокруг неподвижного центра О под действием силы притяжения к этому центру. Найти скорость v₂ в точке М₂, наиболее удаленной от этого центра, если скорость в наиболее близком к нему положении ОМ₁ v₁ = 0,30 м/с и ОМ₂ = 5ОМ₁.

Ответ: v₂ = 0,06 м/с.

Задача 3.46. Два математических маятника, подвешенных на нитях длиной l₁ и l₂ (l₁ > l₂), совершают колебания одинаковой амплитуды. Оба маятника начали движение одновременно без начальной скорости из своих крайних отклоненных положений в одном направлении. Найти условие, которому должны удовлетворять длины l₁ и l₂ , чтобы маятники по истечении некоторого промежутка времени одновременно вернулись в исходное положение. Определить этот наименьший промежуток времени Т.

Ответ:, где k и n – целые простые числа;

З адача 3.47. Планета дви­жется по эллиптической орбите под действием силы притяжения к Солнцу (рис.3.13), которое находится в фокусе О₁ эллипса. Скорость планеты в перигелии (наиболее близкой к фокусу точке П) равна v₁. Найти ее скорость в афелии (наиболее удаленной от фокуса точке А), если расстояние между фокусом и центром эллипса О₁О = а, где  – эксцентриситет эллипса, а – его большая полуось.

Ответ: