3. Динамика материальной точки

3.1. Дифференциальные уравнения движения. Две задачи динамики

Основной закон динамики для точки массой m, находящейся под действием сил , в векторной форме имеет вид

,

где – вектор ускорения точки.

В проекциях на инерционные прямоугольные оси координат получим дифференциальные уравнения динамики в декартовых координатах:

,

где – проекции ускорения на оси координат.

Аналогично можно записать дифференциальные уравнения движения в проекциях на направление касательной  и главной нормали n к траектории точки

,

где v – скорость точки;  – радиус кривизны траектории.

3.1.1. Прямая задача

Различают две задачи динамики материальной точки – прямую и обратную. В прямой задаче по заданным закону движения точки и ее массе определяется равнодействующая сила или одна из сил, приложенных к точке. В обратной задаче по заданным силам и массе определяется закон движения точки либо ее скорость.

П ример 3.1. Груз М спускается по негладкой плоскости, составляющей угол  с горизонтом (рис.3.1), двигаясь ускоренно согласно уравнению , где g – ускорение свободного падения; а – некоторый постоянный коэффициент. Найти силу трения и коэффициент трения скольжения.

Решение. На вес груза действуют нормальная реакция плоскости и сила трения _. Поскольку в направлении, нормальном к плоскости, движения нет, сумма проекций сил на это направление равна нулю, отсюда . Дифференциальное уравнение движения груза в проекции на ось х имеет вид

Тогда , так как . Отметим, что, поскольку F_тр > 0, sin > 2a. Согласно закону трения Кулона, F_тр = fN, где f – коэффициент трения скольжения. Заменив здесь F_тр найденным значением, получим

.

Укажем, что при малом трении, когда , эта формула позволяет установить связь между углом  и параметром а: .

Задача 3.1. Шахтная клеть массой 8000 кг спускается вниз с ускорением , где g – ускорение свободного падения. Определить натяжение троса, поддерживающего клеть, если сила сопротивления движению составляет 0,2 от веса клети.

Ответ: 31,4 кН.

Задача 3.2. Определить силу сопротивления воды R при движении лодки по инерции, если эта сила является функцией лишь скорости лодки, а движение осуществляется согласно уравнению где m – масса лодки; v₀ – начальная скорость лодки; t – время движения; а – некоторый постоянный коэффициент, кг/с.

Ответ:

Задача 3.3. Автомобиль весом 12 кН движется по мосту со скоростью v = 36 км/ч. Определить давление автомобиля на мост в наивысшей точке, если радиус закругления моста в этой точке равен 50 м. Определить также скорость, с которой должен двигаться автомобиль, чтобы в наивысшей точке оторваться от моста. Считать автомобиль точечной массой. Силами сопротивления движению пренебречь.

Ответ: N = 9,55 кН; при отрыве автомобиля N = 0, v = 79,7 км/ч.

Задача 3.4. Груз М весом 2 Н подвешен на нити ОМ длиной 0,3 м в неподвижной точке О и совершает круговое движение в горизонтальной плоскости (рис.3.2). Нить отклонена от вертикали на угол 60. Найти силу Т натяжения нити и скорость груза.

Ответ: Т = 4 Н; v = 2,1 м/с.

Задача 3.5. Поршень в двигателе совершает горизонтальные прямолинейные колебания, определяемые уравнением , где r и l – длина соответственно кривошипа и шатуна;  – постоянная угловая скорость вала двигателя; t – время. Найти максимальную силу, действующую на поршень, если его масса равна m.

Ответ: .

Задача 3.6. Вес кузова вагона 200 кН, с помощью рессор вагон установлен на двух колесных тележках весом 20 кН каждая. При движении по прямолинейному горизонтальному участку пути вагон совершает вертикальные колебания по закону м. Определить наибольшее (N₁) и наименьшее (N₂) давление вагона на рельсы.

Ответ: N₁ = 322 кН; N₂ = 158 кН.

Задача 3.7. Вагонетка с грузом, имеющая полную массу 700 кг, опускается на канате в выработке с уклоном  = 15 , имея начальную скорость v = 1,6 м/с. Определить натяжение Т₁ каната при равнозамедленном спуске вагонетки, если время движения до остановки 4 с. Определить также натяжение Т₂ каната после остановки вагонетки.

Ответ: Т₁ = 1,43 кН; Т₂ = 1,72 кН.

Задача 3.8. Вес поезда без локомотива составляет 2 МН. Через 60 с после начала движения по горизонтальному прямолинейному участку пути, двигаясь равноускоренно, поезд достиг скорости 54 км/ч. Сила трения равна 0,005 веса поезда. Чему равна сила натяжения стяжки между локомотивом и поездом?

Ответ: 0,06 МН.

Задача 3.9. Груз весом 10 Н подвешен к тросу длиной 0,25 м и совершает колебания в вертикальной плоскости (рис.3.3), описываемые уравнением , где  – угол отклонения троса, рад; t – время, с. Определить силу натяжения троса в наинизшем и наивысшем положении груза (Т₁ и Т₂ соответственно).

Ответ: Т₁ = 12,76 Н; Т₂ = 8,66 Н.