Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Электротехника.doc
Скачиваний:
7
Добавлен:
28.10.2018
Размер:
3.33 Mб
Скачать

3.1.2 Действующее и среднее значения синусоидальных токов и напряжений.

Согласно закону Джоуля-Ленца тепловая энергия Q, выделяемая в резисторе с сопротивлением R при протекании по нему постоянного тока I0 в течение промежутка времени t равна:

0

Q I 2 R t . (3.7)

Для синусоидального тока формулу (3.7) можно применить лишь для определения тепловой энергии dQ, выделившейся в резисторе с сопротив- лением R за бесконечно малый промежуток времени dt, в течение которого силу тока i можно считать не изменяющейся:

dQ i 2 Rdt , (3.8)

За период времени Т выделившаяся энергия:

103

T

Q i 2 Rdt , (3.9)

0

Пусть i I m sin t , тогда:

T T I 2

m

Q I 2 sin 2

tRdt I 2 R sin 2 tdt m RT

2

0 0

m

Введем величину

I I m

2

, называемую действующим значением си-

нусоидального тока, и, подставив ее в последнее выражение, получим:

Q I 2 RT , (3.10)

Сопоставив формулу (3.10), полученную для синусоидального тока, с формулой (3.7), справедливой для постоянного тока, делаем вывод: Дей- ствующее значение синусоидального тока равно такому значению посто- янного тока, который за один период выделяет в том же резисторе та- кое же количество тепла, как и синусоидальный ток.

Аналогично

существуют понятия действующих значений

синусои-

дальных напряжений и ЭДС:

U U m и

2

E Em . (3.11)

2

Из формул (3.9) и (3.10) получаем:

T

1 2

I T i

0

dt . (3.12)

В силу (3.12) действующее значение синусоидального тока часто называют среднеквадратичным или эффективным значениями.

Действующие значения токов и напряжений показывают большинст-

во электроизмерительных приборов (амперметров, вольтметров).

В действующих значениях указываются номинальные токи и напря-

жения в паспортах различных электроприборов и устройств.

Под средним значением синусоидального тока понимают его среднее значение за полпериода:

T

1 2 2

I ср T

2

I m sintdt

0

I m , (3.13)

104

т.е. среднее значение синусоидального тока составляет

2 =0,638 от

амплитудного значения. Аналогично,

Eср

2Еm /

, U ср 2U m / .

3.1.3 Изображение синусоидальных токов, напряжений и эдс

комплексными числами и векторами.

Синусоидально изменяющийся ток i

числом:

изображается комплексным

i I m sint i

I m e

j t  i

. (3.14)

Принято изображение тока находить для момента времени t=0:

j i

i I m sin i I&m I m e

. (3.15)

Величину

I&m

называют комплексной амплитудой тока или ком-

плексом амплитуды тока.

Под комплексом действующего значения тока или под комплексом тока I& понимают частное от деления комплексной амплитуды тока на

2 :

I&

I&m

2

I m e j i

2

I e j i , (3.16)

ния

Под комплексами напряжения и ЭДС понимают подобные выраже-

U& U& m

2

U e j u ,

E& E& m

2

E e j e .

+j

I = I

e j i

Jm I = I sin i

i

Re I = I

+1

cos i

Рисунок 3.3 – Изображение синусоидального тока на комплексной плоскости вектором I&

Комплексы тока, напряжения и ЭДС изображаются также на ком-

плексной плоскости векторами. Например, на рисунке 3.3 изображен век-

тор

I& . При этом угол i

отсчитывается от оси +1 против часовой стрелки,

105

если  i >0. Из рисунка 3.3 следует, что комплекс тока I& (так же, как ком-

плекс напряжения и ЭДС) можно представить а) вектором I& ;

б) комплексным числом в показательной, алгебраической и тригоно-

метрической формах:

I& I e j i

Re I&

jJmI& I cos

jI sin , (3.17)

Пример 3.1 Ток

i 2 sint 300

А. Записать выражение для

комплексной амплитуды этого тока.

0

Решение. В данном случае

I m =2 А, =30 . Следовательно,

I&m

0

 2 ⋅ e j 30

2 cos 300

j 2 sin 300

3  j ⋅1 А.

Пример 3.2 Комплексная амплитуда тока

I&m

 25 ⋅ e

j 300

А. Записать

выражение для мгновенного значения этого тока.

Решение. Для перехода от комплексной амплитуды к мгновенному

значению надо умножить

I&m

на e jt

и взять коэффициент при мнимой

части от полученного произведения:

i Jm

0

25 e j 30 e jt

Jm

25 e j t 300

 25 sint − 300 .

Пример 3.3 Записать выражение комплекса действующего значения тока для примера 3.1.

Решение:

I&

I&m

2

2 ⋅ e

j 300

2

0

2 ⋅ e j 30 А.

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.