3.1.2 Действующее и среднее значения синусоидальных токов и напряжений.

Согласно закону Джоуля-Ленца тепловая энергия Q, выделяемая в резисторе с сопротивлением R при протекании по нему постоянного тока I₀ в течение промежутка времени t равна:

0

Q  I ² ⋅ R ⋅ t . (3.7)

Для синусоидального тока формулу (3.7) можно применить лишь для определения тепловой энергии dQ, выделившейся в резисторе с сопротив- лением R за бесконечно малый промежуток времени dt, в течение которого силу тока i можно считать не изменяющейся:

dQ  i ² Rdt , (3.8)

За период времени Т выделившаяся энергия:

103

T

^{Q } _∫ ^{i 2 Rdt , (3.9)}

0

Пусть i  I _m sin t , тогда:

T T _{I 2}

m

^{Q } _∫ ^{I 2 sin 2}

_{tRdt  I} ² _{R sin} ² _{tdt } ^m _RT

₂

0 0

^m _∫

Введем величину

_{I } ^{I m}

2

, называемую действующим значением си-

нусоидального тока, и, подставив ее в последнее выражение, получим:

Q  I ² RT , (3.10)

Сопоставив формулу (3.10), полученную для синусоидального тока, с формулой (3.7), справедливой для постоянного тока, делаем вывод: Дей- ствующее значение синусоидального тока равно такому значению посто- янного тока, который за один период выделяет в том же резисторе та- кое же количество тепла, как и синусоидальный ток.

_{Аналогично}

_{существуют понятия действующих значений}

_{синусои-}

дальных напряжений и ЭДС:

_{U } ^{U m} _и

2

_{E } ^Em _{. (3.11)}

²

_{Из формул (3.9) и (3.10) получаем:}

T

_{1 2}

^{I } _T ^{∫ i}

⁰

dt . (3.12)

В силу (3.12) действующее значение синусоидального тока часто называют среднеквадратичным или эффективным значениями.

Действующие значения токов и напряжений показывают большинст-

во электроизмерительных приборов (амперметров, вольтметров).

В действующих значениях указываются номинальные токи и напря-

жения в паспортах различных электроприборов и устройств.

Под средним значением синусоидального тока понимают его среднее значение за полпериода:

_T

₁ ² ₂

^{I ср } _T

²

∫ ^{I m sintdt }

_

0

^I _m ^{, (3.13)}

104

т.е. среднее значение синусоидального тока составляет

² _{=0,638 от}



амплитудного значения. Аналогично,

^E_ср

^{ 2Е}_m ^{/ }

^{, U} _ср ^{ 2U} _m ^{/  .}

3.1.3 Изображение синусоидальных токов, напряжений и эдс

_{комплексными числами и векторами.}

Синусоидально изменяющийся ток i

_{числом:}

изображается комплексным

^{i  I} _m ^{sint  } _i ^

^{⇔ I} _m ^e

j t  _i 

. ^(3.14)

Принято изображение тока находить для момента времени t=0:

_{j i}

^{i  I} _m ^sin _i ^{ I&}_m ^{⇔ I} _m ^e

. ^(3.15)

Величину

^I&_m

называют комплексной амплитудой тока или ком-

плексом амплитуды тока.

Под комплексом действующего значения тока или под комплексом тока I^& понимают частное от деления комплексной амплитуды тока на

_{2 :}

I^& 

^I&m _

2

^{I m} _{⋅ e} ^{j i}

2

^{ I ⋅ e j i ,} (3.16)

_ния

Под комплексами напряжения и ЭДС понимают подобные выраже-

_U& _ ^{U& m}

2

 U ⋅ e ^{j u} ,

_{E& } ^{E& m}

2

 E ⋅ e ^{j e} .

_+j

I ⁼ I

e ^{j i}

Jm I ⁼ I sin _i

i

Re I ⁼ I

₊₁

^cos _i

Рисунок 3.3 – Изображение синусоидального тока на комплексной плоскости вектором I^&

Комплексы тока, напряжения и ЭДС изображаются также на ком-

_{плексной плоскости векторами. Например, на рисунке 3.3 изображен век-}

тор

^{I& . При этом угол } _i

отсчитывается от оси +1 против часовой стрелки,

105

если  _i >0. Из рисунка 3.3 следует, что комплекс тока I^& (так же, как ком-

плекс напряжения и ЭДС) можно представить а) вектором I^& ;

б) комплексным числом в показательной, алгебраической и тригоно-

_{метрической формах:}

_I^& _{ I ⋅ e} ^{j i}

_{ Re I}^& _

_jJmI^& _{ I cos }

_{jI sin ,} (3.17)

Пример 3.1 Ток

_{i  2 sint  30}⁰ _

А. Записать выражение для

_{комплексной амплитуды этого тока.}

₀

Решение. В данном случае

^I _m ^{=2 А,  =30 . Следовательно,}

^I&_m

0

 2 ⋅ e ^{j 30}

_{ 2 cos 30}⁰ _

_{j ⋅ 2 sin 30}⁰ _{ }

3  j ⋅1 А.

Пример 3.2 Комплексная амплитуда тока

^I&_m

 25 ⋅ e

− j 30⁰

А. Записать

выражение для мгновенного значения этого тока.

_{Решение. Для перехода от комплексной амплитуды к мгновенному}

значению надо умножить

^I&_m

_{на e} ^jt

и взять коэффициент при мнимой

_{части от полученного произведения:}

_{i  Jm}^

^

0

_{25 ⋅ e} ^{− j 30} _{⋅ e} ^jt _^

^

_{ Jm}^_

^

_{25 ⋅ e} ^{j t −300  }_

^

 25 sint − 30⁰ .

Пример 3.3 Записать выражение комплекса действующего значения тока для примера 3.1.

Решение:

I^& 

_I&_m

₂

_ 2 ⋅ e

j 30⁰

_

2

0

2 ⋅ e ^{j 30} А.