3.3 Расчет неразветвленной электрической цепи синусоидального тока

Для расчета режима неразветвленной электрической цепи применим комплексный метод. Представим все синусоидальные величины их ком- плексами:

Е^&  Е ⋅ e^{ e} ;

R

I^&  I ⋅ e^{ i} ; U^&

^{ U} _R

⋅ e^{ uR} ;

L

^U& _L

 U ⋅ e^

^{uL ; U&} _C

 U ⋅ e^

uC _.

Порядок расчета такой же, как на постоянном токе. Во-первых, стрелками изображаем положительные направления тока, ЭДС и напряже- ний. Во-вторых, выбираем направление обхода контура по направлению

C

113

движения часовой стрелки и записываем уравнение по второму закону

_{Кирхгофа:}

U^& _L  U^& _R  U^& _C 

jLI^&  RI^& −

_j ¹ _I& _{ E}& _{. (3.45)}

^C

₁

Выражения

RI^& ,

jLI^& 

^jX _L ^{I& ,}

^{− j} _C ^{I&  − jX C I&}

отражают особенно-

сти проявления закона Ома для резистивного, индуктивного и емкостного элементов электрической цепи:

^U& _R

^{ RI& ; U&} _L ^

^jX _L ^{I& ; U&} _C

^{ − jX} _C ^{I& .}

Здесь умножение на  j

означает, что напряжение

^U& _L

опережает

по фазе ток

_I^& _на

90⁰ , умножение на − j

^{означает, что напряжение U&} _C

от-

_{стает по фазе от тока}

_I^& _{на 90}⁰ _.

_{Из (3.45) находим комплексный ток в цепи:}

I^& 

^E& _.

_{ 1 }

_(3.46)

_{или (так как}

_E^& _{ U}^& ₎

R  j_L −

_

^

_C ^

I^& 

^U& _.

_{ 1 }

_(3.47)

_

R  j_L −



_C ^

_{где U}^&

_{ U ⋅ e} ^jϕu

_{ E}^& _{ E ⋅ e} ^jϕe

_{– напряжение между выводами ав}

неразветвленной цепи (рисунок 3.7, а).

_{Величина, стоящая в знаменателе,}

_{Z  R }

_

_j^_{L −}

_{1 }

_{  R }

_{jX L − X C , (3.48)}

_ ^C _

называется комплексным сопротивлением (неразветвленной цепи).

Величина, обратная комплексному сопротивлению, называется ком-

_{плексной проводимостью:}

_{Y } ¹ _.

^Z

_{На рисунке 3.7,б построена векторная диаграмма тока и напряжений}

неразветвленной цепи для случая:

^X _L ^{ X} _C ^.

114

^U_L ^U_R

^a _+j

L

_{L R} ^U_C

_E=U

U

E

^{C I}

_C

U

U

^R

_e

I

^в _i ⁼ _e^- +1

а) б)

_+j

^-jX_C

_Z

^jX_L

^R +1

в)

_{а) схема электрической цепи;}

б) векторная диаграмма тока и напряжений;

в) изображение комплексных сопротивлений на комплексной плоскости.

Рисунок 3.7 – Расчет неразветвленной электрической цепи синусоидального тока

Обычно векторная диаграмма строится в конце расчета по получен- ным значениям тока и напряжений. При этом проверяется правильность расчета.

Поделив все составляющие векторной диаграммы на I^& , получаем значения комплексных сопротивлений и изображаем комплексные сопро-

тивления R ,

^jX _L ^,

^{− jX} _C ^,

Z на комплексной плоскости (рисунок 3.7, в)

получаем диаграмму, подобную диаграмме тока и напряжений.

Обратим внимание на “треугольник сопротивлений” (заштрихован-

_{ная площадь), стороны которого соответствуют сопротивлениям R ,}

^{X  X} _L ^{− X} _C

и Z . Треугольник сопротивлений подобен треугольнику на-

_{пряжений (рисунок 3.7, б).}

115

Анализ диаграммы сопротивлений позволяет перейти от алгебраиче- ской формы записи комплексного сопротивления к тригонометрической и показательной формам:

Z  z ⋅ cosϕ 

^{jz ⋅ sinϕ ;} _(3.49)

2

_{Z  z ⋅ e} ^jϕ _{, (3.50)}

где

z  Z 

R ²  X _L

− X _C 

– модуль комплексного сопротивления или полное сопротивление;

_{ϕ  arctg} ^{X L − X C}

_R

– аргумент комплексного сопротивления.

^{В зависимости от знака величины X} _L ^{− X} _C ^{ аргумент комплексного}

сопротивления может быть либо положительным (индуктивный характер),

либо отрицательным (емкостный характер).

Подставив (3.50) в (3.46) или в (3.47), получим закон Ома для нераз-

_{ветвленной цепи:}

_{I &   ⋅ e j  −ϕ  , (3.51)}

_или

_ ^E _ ^{ E  e}

^&

^{Z  z }

I^&  I ⋅ e

_{i  U&}

_{  U  e u}

^, (3.52)

_{то есть}

j _{  ⋅}

^{Z  z }

j 

−ϕ 

_{I } ^U _;

^z

 _i   _u

^{− ϕ .} (3.53)

При нескольких последовательно соединенных элементах комплекс-

_{ное сопротивление}

^{Z } _∑ ^{R }

^j_∑ ^X _L ⁻ _∑ ^X _C ^{  R }

^{jX ,} (3.54)

где

^{R } _∑ ^R

– активное сопротивление цепи;

^{X } _∑ ^X _L ⁻ _∑ ^X _C

– реактивное сопротивление цепи.

В активном сопротивлении происходит необратимое преобразова- ние электрической энергии в другие виды энергии, а в реактивном сопро- тивлении – не происходит.

Полное сопротивление и аргумент комплексного сопротивления можно рассчитывать по формулам:

_{Z  R} ² _{ X} ² _; ^(3.55)

_{ X }

_{ϕ  arctg }

_{ . (3.56)}

_ ^R _

116