åy = 0 ; N2 cosa + N1 cosa + N3 - F = 0 ; 2N1 cosa + N3 = F .
2.Геометрическая сторона задачи.
Анализируя деформированное состояние заданной стержневой системы получаем, что
KK¢ = Dl3 ; Dl1 = Dl2 = KK ¢cosa = Dl3 cosa .
3.Физическая сторона задачи.
Используя закон Гука, записываем удлинения стержней
Dl = Dl |
2 |
= |
N1l1 |
= |
N1h |
; |
Dl |
3 |
= |
|
N3l3 |
= |
N3 h |
= |
2N3h |
. |
||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
1 |
|
EA1 |
|
EAcosa |
|
|
|
|
EA3 |
|
E × 0,5A EA |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Подставляя полученные выражения в уравнение совместности |
||||||||||||||||||
деформаций, имеем |
|
|
|
N1h |
|
|
|
2N3h cosa |
||||||||||
|
|
Dl1 = Dl3 cosa ; |
|
|
= |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
EA cosa |
|
EA |
|||||||||
После сокращения получаем
N1 = 2N3 cos2 a .
Используя уравнения статической стороны задачи, находим величину продольных усилий, возникающих в стержнях статически неопределимой системы
4N |
3 |
cos3 a + N |
3 |
= F ; N |
3 |
= |
F |
|
; N |
1 |
= N |
2 |
= |
2F cos2 a |
. |
4cos3 a +1 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
4 cos3 a +1 |
||||||||
Далее, при необходимости, можно подобрать требуемую площадь поперечного сечения стержней, найти численные значения удлинений стержней и вертикального перемещения точки K.
§3.14 РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ СИСТЕМ НА ТЕМПЕРАТУРНЫЕ ВОЗДЕЙСТВИЯ
Встатически неопределимых системах помимо усилий, возникающих от действия внешних сил, возникают дополнительные силы, как от неточности изготовления отдельных элементов конструкции, так и от перепада температур. Величина указанных усилий весьма значи-
тельна, что при неблагоприятном сочетании нагрузок может вызвать разрушение отдельных элементов или конструкции в целом.
Рассмотрим решение задачи, изображенной на рисунке 3.21, на действие температуры. Пусть задана величина температурного перепа-
да Dt = 30o и известен коэффициент линейного теплового расширения материала стержней at .
71
h
|
|
у |
|
у |
|
|
|
|
|
||
|
|
N3(t) |
N1(t) |
N3(t) |
|
|
|
|
|
||
N1(t) |
A3 |
|
N2(t) |
N2(t) |
|
|
3 |
|
|
||
|
a |
|
a a |
||
1 |
a |
2 |
|||
K |
|||||
|
|
|
t |
||
|
A1 |
A2 |
Dl3 |
х |
|
|
Dl2t |
||||
|
K |
|
K″ |
||
|
|
х |
Dl3(t) |
||
|
|
|
Dl2(t) K′ |
||
Рисунок 3.21
Деформированное состояние системы от температурных воздействий приведено на рисунке 3.21 (на схеме удлинения стержня 1 условно не показаны). Если бы отдельные стержни не были объединены систему, то их удлинения от действия температуры были соответственно равны
Dl t = Dl t |
= a l Dt = |
at hDt |
; |
Dl t |
= a l |
Dt = a |
hDt . |
|
|
||||||||
1 |
2 |
t 1 |
cosa |
|
3 |
t 3 |
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Когда система состоит только из двух стержней1 и 2, то она является статически неопределимой. В статически определимых системах стесненные деформации отсутствуют, поэтому точка K от температурных воздействий переместится в новое положениеK′. Однако, в структуре системы присутствует стержень 3, который препятствует свободной деформации указанных стержней. В результате точка K перемещается в положение K″. Как следует из рисунка 3.21, чтобы присоединить концы всех стержней к точкеK″, их необходимо дополнительно сжать на Dl1 (t ), Dl2 (t ) и Dl3 (t) соответственно. В результате в стержнях системы возникают сжимающие усилия, которые направляем к сечению.
Дальнейшее решение задачи связано с рассмотрением ее статической, геометрической и физической стороны.
1.Статическая сторона задачи.
åх = 0 ; - N2 (t )sin a + N1 (t )sin a = 0 ; N2 (t)= N1 (t).
åy = 0 ; - N2 (t )cosa - N1 (t )cosa - N3 (t )= 0 ; 2N1 (t )cosa = -N3 (t ).
2.Геометрическая сторона задачи.
Из деформированного состояния системы следует, что
t |
- Dl3 (t ) и KK ¢ |
|
Dl t |
- Dl |
(t ) |
|
Dl t |
- Dl |
(t ) |
|
|||||
KK ¢ = Dl3 |
= |
1 |
1 |
|
|
= |
2 |
2 |
|
|
, |
||||
cosa |
|
|
cosa |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
Dl t - Dl (t ) |
= Dl3t - Dl3 |
(t ). |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
cosa |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3. Физическая сторона задачи.
Используя закон Гука записываем удлинения стержней
72
Dl |
(t )= Dl |
(t )= |
N1 (t )l1 |
= |
|
N1 (t )h |
; |
Dl |
(t )= |
N3 (t )l3 |
= |
N3 (t )h |
= |
2N3 (t)h |
. |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
1 |
2 |
|
|
|
EA1 |
|
EAcosa |
3 |
|
|
|
EA3 |
|
E × 0,5A |
EA |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
Подставляя полученные выражения в уравнение совместности |
||||||||||||||||||||||||||||
деформаций, имеем |
|
|
N1 (t)h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
at hDt |
- |
|
|
|
|
|
2N3 (t )h |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
cosa |
EA cosa |
= at hDt - |
|
. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cosa |
|
|
|
EA |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
С учетом уравнений статической стороны задачи, |
получаем |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
at hDt |
|
N1 (t)h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
- |
|
|
|
|
|
|
4N1 (t )h cosa |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
cosa |
|
EA cosa |
= at hDt - |
. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
cosa |
|
|
|
EA |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
В данном выражении имеется только одно неизвестное N1 (t ). Раз- |
||||||||||||||||||||||||||||
решая уравнение относительно N1 (t ) |
и используя уравнения |
статиче- |
|||||||||||||||||||||||||||
ской стороны задачи, определяем величину продольных усилий, возникающих в остальных стержнях системы.
§ 3.15. РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМОЙ СИСТЕМЫ НА МОНТАЖНЫЕ УСИЛИЯ
Пусть стержень 3 заданной системы выполнен длиннее проектного размера на величину d . Рассмотрим решение статически неопреде-
|
|
|
|
у |
|
|
у |
лимой задачи |
на |
монтаж- |
||||
|
|
|
|
|
|
ные |
усилия (рис. |
3.22). |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
N3(d) |
|||||||
|
|
|
|
N3(d) |
|
|
Если бы стержень 3 не был |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
N2(d) |
|
включен в состав стержне- |
||||||||
|
N1(d) |
|
|
N2(d) |
||||||||||
|
A3 |
3 |
|
N1(d) |
вой |
системы, то |
точка K |
|||||||
h |
a |
|
|
a a |
переместилась |
бы |
в |
новое |
||||||
a |
2 |
|
||||||||||||
1 |
|
|||||||||||||
|
K |
положение K′. Но стержни |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
A1 |
|
A2 |
|
Dl2(d) |
х |
1 и 2 |
препятствуют |
ука- |
||||
|
|
|
|
|
|
|
K″ |
занному |
перемещению |
и, |
||||
|
|
|
K |
|
х |
d |
Dl3(d) |
следовательно, |
точка K за- |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
нимает |
новое |
положение |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
K′ |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
K″. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рисунок 3.22 |
|
Чтобы присоединить |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
концы всех стержней к точкеK″, стержни 1 и 2 необходимо дополни- |
||||||||||||||
тельно растянуть на Dl1 (d ) и Dl2 (d ), а стержень 3 сжать на величину Dl3 (d ). На рисунке 3.22 удлинения стержня 1 условно не показаны. В результате в стержнях системы возникают стесненные деформации.
73
Рассматриваем равновесие нижней части системы. Растягивающие усилия направляем от сечения, а сжимающие - к сечению.
Далее рассматриваемее статическую, геометрическую и физическую стороны решаемой задачи.
1.Статическая сторона задачи.
åх = 0 ; - N1 (d )sin a + N2 (d )sin a = 0 ; N2 (d )= N1 (d ).
åy = 0 ; N1 (d )cosa + N2 (d )cosa - N3 (d )= 0 ; 2N1 (d )cosa = N3 (d ).
2.Геометрическая сторона задачи.
Из деформированного состояния системы следует, что
|
|
|
KK ¢ = d - Dl3 (d ) и KK ¢ = |
Dl1 (d ) |
|
= |
Dl2 (d ) |
. |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
cosa |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Dl1 (d ) |
|
|
|
|
|
|
|
cosa |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
= d - Dl3 (d ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
cosa |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
3. Физическая сторона задачи. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
Используя закон Гука записываем удлинения стержней |
|
|
||||||||||||||||||||||||
Dl |
(t )= Dl |
(t )= |
N1 (d )l1 |
= |
N1 (d )h |
|
; Dl |
(t )= |
N3 (d )l3 |
= |
N3 (d )h |
= |
2N3 (d )h |
. |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
1 |
2 |
|
EA1 |
|
|
EAcosa |
|
|
3 |
|
|
|
EA3 |
|
|
0,5EA |
EA |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
Подставляя полученные выражения в уравнение совместности |
||||||||||||||||||||||||||
деформаций, имеем |
|
|
N1 (d )h |
|
|
|
|
2N3 (d )h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
= d - |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
EA cos2 a |
|
|
EA |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
С учетом уравнений статической стороны задачи, |
|
получаем |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
N1 (d )h |
= d - |
4N1 (d )h cosa |
. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
EA cos2 a |
|
|
|
EA |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
В данном выражении |
имеется |
только |
одно неизвестноеN1 (d ). |
|||||||||||||||||||||||
Разрешая уравнение относительно N1 (d ) и используя уравнения статической стороны задачи, определяем величину продольных усилий, возникающих в остальных стержнях системы.
§3.16 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРЕДЕЛЬНОЙ НАГРУЗКИ ДЛЯ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМОЙ СИСТЕМЫ
Встатически неопределимых системах, выполненных из пластичных материалов, появление текучести только в одном элементе не приводит к исчерпанию несущей способности системы в целом. В этом
74
|
N3=sуА |
у |
|
|
N1=sуА1 |
|
N2=sуА2 |
|
A3 |
3 |
|
|
1 a |
|
|
h |
a |
2 |
A1 A2 K
Fu
х
Рисунок 3.23
случае происходит только перераспределение усилий и напряжений между остальными стержнями рассматриваемой системы.
Для полного исчерпания несущей способности необходимо, чтобы текучесть возникла во всех стержнях системы (рис. 3.23). Продольные усилия, возникающие в стержнях системы, равны s у Аi , а предельная
сила определяется из уравнений равновесия нижней части конструкции
åх = 0 ; N2 sin a - N1 sin a = 0 ; N2 = N1 .
åy = 0 ; 2N1 cosa + N3 - Fu = 0 .
После несложных преобразований окончательно получаем величину предельной силы
F = As |
|
æ |
|
1 |
ö |
|
ç |
2 cosa + |
|
÷. |
|
|
2 |
||||
u |
y |
è |
|
ø |
Допускаемая сила при расчете по разрушающим нагрузкам, определяется путем деления предельного усилия на заданный коэффициент запаса: F = Fu k .
ПРИМЕР 3.1
Исходные данные задачи.
Для заданного ступенчатого статически определимого стержня (рис. 3.24) требуется:
1.Построить эпюру продольных сил;
2.Записать в общем виде выражения для нормальных напряжений на каждом грузовом участке и из условия прочности при одноосном растяжении или сжатии подобрать необходимую площадь поперечного сечения;
3.Построить эпюру распределения нормальных напряжений по длине стержня;
4.Построить эпюру перемещений.
Для решения задачи использовать следующие исходные данные: материал стержня - медь с расчетным сопротивлением на растяжение и сжатие R = 75 МПа и модулем упругости E =1,1×105 МПа (см. прило-
жения); m =1,8 ; k =1,5 ; n =1,1; l = 0,6 м; F = 200кН. 75
|
|
|
Решение задачи. |
|
|
|
|
Рассматриваемый |
|
стержень |
состоит |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
из шести грузовых участков, границами |
||||||||||||||||||||
|
|
|
ml/2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
nF |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
которых являются сечения, где приложены |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
внешние силы и места изменения размеров |
||||||||||||||||||||
|
|
|
ml/2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
nА |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
поперечного сечения. Проводя произволь- |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
kl/2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ные сечения в пределах каждого участка |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
kА |
|
стержня и рассматривая его нижнюю часть |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
kl/2 |
|
|
|
mF |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(отбрасывая часть с заделкой), находим |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
l/2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
продольные |
силы |
|
на |
каждом |
участке |
|||||||||||||||
|
|
|
|
kF |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А |
|
|
|
|
стержня, одновременно |
|
строя |
эпюру |
про- |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
l/2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
дольных сил N (рис. |
3.25). По |
построен- |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ной эпюре N можно |
определить |
продоль- |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ную силу, которая возникает в заделке |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
Рисунок 3.24 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
стержня. Ее величина равна 160 кН. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Для определении опасного сечения записываем в общем виде вы- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ражения для нормальных напряжений на каждом участке стержня: |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
s1 |
= |
|
|
N1 |
= 0; |
|
s2 = |
|
N2 |
= |
- 300 |
; |
|
s3 |
= |
N3 |
= |
- 300 |
= |
- 200 |
; |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A1 |
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
A3 1,5A |
A |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s4 |
= |
40 |
; |
|
s5 = |
54,55 |
; |
s |
6 = |
-145,45 |
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Из полученных выражений следует, что максимальное по модулю
нормальное напряжение возникает на втором грузовом участке. Записываем условие прочности для опасного участка при одноосном сжатии:
|
smax |
|
= |
|
s 2 |
|
= |
300 |
£ R = 75 МПа, |
|
|
|
|
|
|||||||
|
||||||||||
отсюда |
|
|
|
|
|
|
A |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
A = 300 = 300 ×103 = 4 ×10-3 м2 = 40 см2. 75 75 ×106
Используя заданные соотношения, можно определить площади поперечного сечения для каждого грузового участка стержня.
Далее выполняем построение эпюры распределения нормальных напряжений по длине стержня. Воспользовавшись ранее записанными выражениями, вычисляем:
s |
|
= 0; s |
|
|
= |
- 300 |
= |
- 300 |
= -75 МПа; |
s |
|
= |
- 200 |
= -50 МПа; |
||||||||||
|
2 |
|
|
3 |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
A |
4 ×10-3 |
|
|
|
|
|
|
|
4 ×10-3 |
|
|||||||
s |
|
|
= |
40 |
= |
40 ×103 |
=10 МПа; |
s |
|
= |
54,55 |
= |
54,55 ×103 |
= 13,64 МПа; |
||||||||||
4 |
|
|
5 |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
A 4 ×10-3 |
|
|
|
|
|
A |
|
|
4 ×10-3 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
76 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s |
|
= |
-145,45 |
== |
-145,45 ×103 |
= -36,36 МПа. |
|
6 |
|
4 ×10-3 |
||||
|
|
|
A |
|
|||
По |
полученным значениям строим эпюру распределения - нор |
||||||
мальных |
напряжений по длине стержня (рис. 3.25). |
||||||
0,30 0,30 0,45 0,45 0,54 0,54
0
220 кН
360 кН
300 кН
|
|
160 |
|
36,36 |
|
|
|
0 |
|
6 |
- |
60 |
- |
13,64 |
0,178 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
5 |
160 |
|
36,36 |
|
- |
||
1,1А |
|
+ |
|
|||||
|
+ |
|
0,111 |
|
|
|||
|
4 |
|
|
13,64 |
|
|
||
|
300 |
|
50 |
|
|
|
||
|
|
|
0,070 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||
1,5А |
3 |
|
60 |
|
10 |
|
|
|
|
75 |
|
|
|
||||
|
|
- |
|
0,275 |
|
|
||
|
|
|
50 - |
|
|
|||
|
2 |
|
|
- |
|
|
||
А |
|
|
|
0,480 |
|
|
||
1 |
300 |
|
75 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
||||
|
|
0,480 |
|
|
|
|||
z |
|
|
|
|
Эп. w×10 |
3 |
(м) |
|
|
Эп. N (кН) |
Эп. s (МПа) |
||||||
|
|
|
||||||
Рисунок 3.25
Для построения эпюры относительных перемещений используем закон Гука для абсолютных удлинений.
Dl = Nl = s l . EA E
Эпюру перемещений следует строить, начиная от точки, где эти перемещения известны. В рассматриваемом примере такой точкой является точка О, расположенная в защемлении стержня. Вертикальное перемещение сечения в этой точке равно нулю. Далее находим удлинения грузовых участков.
Dl = 0; |
|
Dl |
|
|
= s |
|
|
l2 |
= |
- 75×106 ×0,30 |
= -0,205×10-3 м = -0,205 мм; |
||||||||||||||||
|
2 |
2 |
|
E |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1,1×1011 |
|
|
|
|
||||||||
Dl |
|
|
= s |
|
|
|
l3 |
|
= |
|
- 50 ×106 × 0,45 |
|
= -0,205×10-3 м = -0,205 мм; |
||||||||||||||
3 |
|
3 E |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1,1×1011 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
Dl |
|
= s |
|
|
l4 |
|
= |
10 ×106 × 0,45 |
= 0,041×10-3 м = 0,041 мм; |
||||||||||||||||
|
|
4 |
4 |
|
E |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1,1×1011 |
|
|
|
|
|
||||||||
Dl |
|
= s |
|
|
|
l5 |
|
|
= |
13,64 ×106 × 0,54 |
|
= 0,067 ×10-3 м = 0,067 мм; |
|||||||||||||||
5 |
5 |
|
E |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1,1×1011 |
|
|
|
|
|
|||||||
Dl |
|
= s |
|
|
l6 |
|
= |
- 36,36 ×106 × 0,54 |
= -0,178 ×10-3 м = -0,178 мм. |
||||||||||||||||||
6 |
6 |
|
E |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1,1×1011 |
|
|
|
|
|
||||||||
Ординаты эпюры перемещений границ участков будут:
77
wО = 0 ;
w6 = wО + Dl6 = 0 - 0,178 = -0,178 мм;
w5 = w6 + Dl5 = -0,178 + 0,067 = -0,111мм; w4 = w5 + Dl4 = -0,111 + 0,041 = -0,070 мм; w3 = w4 + Dl3 = -0,070 - 0,205 = -0,275 мм; w2 = w3 + Dl2 = -0,275 - 0,205 = -0,480 мм;
w1 = w2 + Dl1 = -0,480 + 0 = -0,480 мм.
По полученным значениям перемещений поперечных сечений строим эпюру w (рис. 3.25).
ПРИМЕР 3.2
Исходные данные задачи.
Воспользуемся исходными примера 3.1. К нижнему сечению ступенчатого стержня подведем дополнительную заделку. В результате стержень становится однажды статически неопределим(рис. 3.26). Так как задача является статически неопределимой, то для вычисления опорных реакций необходимо рассмотреть три стороны задачи: статическую, геометрическую, физическую.
Решение задачи.
а) Статическая сторона задачи.
Запишем уравнение равновесия для заданного стержня ОВ.
å у = 0 ; VO +VB - 220 + 360 - 300 = 0 ; VO +VB =160 кН.
б) Геометрическая сторона задачи.
Запишем условие совместности деформаций. Оно основано на очевидном факте, что расстояние между точками О и В рассматриваемого стержня не изменяется, т.е. DlОB = 0 .
DlОB = Dl1 + Dl2 + Dl3 + Dl4 + Dl5 + Dl6 = 0 .
в) Физическая сторона задачи.
Предварительно запишем в общем виде выражения для продольных усилий, действующих в пределах каждого грузового участка -за данного стержня.
N1 = VB кН; N2 = VB - 300 кН; N3 = VB - 300 кН;
N4 = VB - 300 + 360 = VB + 60 кН; N5 = VB - 300 + 360 = VB + 60 кН;
N6 = VB - 300 + 360 - 220 = VB -160 кН.
Воспользовавшись законом Гука в форме(1.6), определим удлинения отдельных грузовых участков:
78
|
|
Dl = |
N1l1 |
= |
VB × 0,30 |
; Dl |
2 |
|
= |
N2l2 |
= |
(VB - 300) ×0,30 |
; |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
1 |
EA1 |
|
EA |
|
|
|
EA2 |
|
|
|
|
EA |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
Dl3 |
= |
|
N3l3 |
= |
|
(VB - 300) × 0,45 |
; Dl4 = |
N4l4 |
= |
(VB + 60) × 0,45 |
; |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
EA3 |
|
|
|
|
|
|
EA4 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E ×1,5A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E ×1,5A |
||||||||||||||||
Dl5 |
= |
N5l5 |
|
= |
(VB + 60) × 0,54 |
; |
|
Dl6 = |
N6l6 |
= |
(VB -160) ×0,54 |
. |
|
||||||||||||||||||||||||||
EA5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E ×1,1A |
|
|
|
|
|
|
EA6 |
|
|
|
|
E ×1,1A |
||||||||||||||||
Подставляя полученные выражения в ранее записанное уравнение |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
совместности деформаций, получим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
DlОB = |
VB ×0,30 |
+ |
|
(VB - 300) × 0,3 |
+ |
|
(VB - 300) × 0,45 |
+ |
(VB + 60) × 0,45 |
+ |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
EA |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
EA |
|
|
|
|
|
E ×1,5A |
|
|
|
|
|
E ×1,5A |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
+ |
(VB + 60) × 0,54 |
+ |
(VB -160) × 0,54 |
= 0 ; |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E ×1,1A |
|
|
|
|
|
E ×1,1A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2,182 ×VB |
= 211,196 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
VB = |
211,196 |
= 96,79 кН. |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2,182 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Тогда из уравнения статической стороны задачи следует
VO =160 -VB =160 - 96,79 = 63,21кН.
Обе опорные реакции получились положительными, следовательно, их направления, показанные на рисунке 3.26, соответствуют загружению стержня.
Воспользовавшись ранее записанными выражениями для -про дольных усилий и численными значениями опорных реакций, строим эпюру продольных сил N (рис. 3.26).
Для определении опасного сечения находим нормальные напря-
жения на каждом участке стержня: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
s1 |
= |
N1 |
= |
96,79 |
; |
|
s2 = |
N2 |
= |
- 203,21 |
; |
s3 |
= |
N3 |
= |
-135,47 |
; |
||||||||||||
A1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
A |
|
A2 |
|
|
A |
|
|
|
A3 |
|
|
A |
||||||||||||
s4 |
= |
N4 |
|
= |
104,53 |
; |
s5 = |
N5 |
|
= |
142,54 |
; |
s6 |
= |
N6 |
= |
- 57,46 |
. |
|||||||||||
A4 |
|
|
A5 |
|
A6 |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
A |
||||||||||||
Из полученных выражений следует, что максимальное по модулю
нормальное напряжение возникает на втором грузовом участке. Записываем условие прочности для опасного участка:
|
smax |
|
= |
|
s 2 |
|
= |
203,21 |
£ R = 75 МПа, |
|
|
|
|
|
|||||||
|
||||||||||
отсюда |
|
|
|
|
|
|
A |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
A = 203,21×103 = 2,71×10-3 м2 = 27,1см2.
75 ×106
79
Далее выполняем построение эпюры нормальных напряжений s . Воспользовавшись ранее записанными выражениями, вычисляем:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s |
|
|
|
|
|
|
= |
96,79 |
= |
|
96,79 ×103 |
= 35,76МПа; |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
27,1×10-3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s |
|
|
|
|
= |
|
|
|
- 203,21 |
= |
- 203,21×103 |
|
|
= -75 МПа; |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
27,1×10-3 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
-135,47 |
= |
-135,47 ×103 |
|
|
= -50МПа; |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
27,1×10-3 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s |
|
|
|
= |
|
|
104,53 |
= |
|
104,53 ×103 |
|
|
= |
38,57 МПа; |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
27,1×10-3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s |
|
|
|
= |
|
142,54 |
= |
142,54 ×103 |
|
|
= |
52,60 МПа; |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
27,1×10-3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s |
|
|
|
|
= |
- 57,46 |
= |
- 57,46 ×103 |
|
|
= -21,20 МПа. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
27,1×10-3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Эпюра распределения нормальных напряжений по длине ступен- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
чатого стержня показана на рисунке 3.26. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Для построения эпюры перемещений находим удлинения грузо- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
вых участков. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Dl |
|
|
= s |
|
|
|
l |
|
|
|
= |
35,76 ×106 |
× 0,30 |
|
= 0,098 ×10 |
- |
3 м = 0,098 мм; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
E |
1,1×1011 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
Dl |
|
|
|
= s |
|
|
|
l2 |
|
= |
|
- 75 ×106 × 0,30 |
= -0,205 ×10-3 м = -0,205 мм; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
2 |
|
E |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1,1×1011 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
Dl |
|
|
|
= s |
|
|
|
l3 |
|
|
= |
- 50 ×106 × 0,45 |
= -0,205×10-3 м = -0,205 мм; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
|
|
3 |
|
E |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1,1×1011 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
Dl |
|
|
= s |
|
|
|
|
l4 |
= |
38,57 ×106 × 0,45 |
= 0,158 ×10-3 м = 0,158 мм; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
4 |
4 |
|
|
E |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1,1×1011 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
Dl |
|
|
|
= s |
|
|
|
l5 |
|
|
= |
52,60 ×106 |
×0,54 |
|
= 0,258×10-3 м = 0,258 мм; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5 |
|
5 |
|
E |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1,1×1011 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
Dl |
|
= s |
|
|
l6 |
|
= |
- 21,20 ×106 × 0,54 |
|
= -0,104 ×10-3 м = -0,104 мм. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6 |
6 |
|
E |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1,1×1011 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
80