Техническая механика / 4_Tekhnicheskaya_mekhanika_dlya_stroiteley

Исходные данные задачи.

Для заданного прямоугольного сечения (рис. 2.9) вычислить осевые и центробежный моменты инерции относительно осей x1O1 y1 . Размеры поперечного сечения заданы в сантиметрах.

Решение задачи.

Вычисляем геометрические характеристики заданного сечения относительно главных центральных осей х0 и у0 .

31

Рассмотрим новую систему координат x О1h . Смещения осей x и h относительно главных центральных осей х0 и у0 соответственно равны a1 = -1,5 см и b1 = -2 см. Используя формулы (2.14) и (2.15) вычисляем геометрические характеристики заданного сечения относительно новых осей x и h .

Jz = J x0 + а12 A = 9 + (-1,5)2 ×12 = 36 см4;

Jh = J у0 + b12 A =16 + (- 2)2 ×12 = 64 см4;

Dxh = Dx0 y0 + a1b1 A = 0 + (-1,5)× (- 2)×12 = 36 см4.

Далее выполняем поворот координатной системы относительно точки О1 на угол a . Так как поворот осей осуществляется против часовой стрелки, то угол a положительный. Вычисляем тригонометрические функции углов a и 2a :

tga = h b = 3 4 = 0,75 ; a = arctg0,75 = 36,87o ; sin a = 0,6 ; sin a = 0,8 ; 2a = 73,74o ; sin 2a = 0,96 ; cos 2a = 0,28 .

Используя формулы (2.18) и (2.19) находим геометрические характеристики сечения относительно повернутых осей x1 и y1 .

J у1 = Jh cos2 a + Dxh sin 2a + Jx sin 2 a = = 64 × 0,82 + 36 × 0,96 + 36 × 0,62 = 88,48 см4;

J х1 = Jx cos2 a - Dxh sin 2a + Jh sin 2 a = = 36 × 0,82 - 36 × 0,96 + 64 × 0,62 = 11,52 см4;

=1 (36 - 64)× 0,98 + 36 ×0,28 = -3,36 см4. 2

Для проверки полученного решения воспользуемся ранее полученной формулой (2.22)

J у1 + J х1 = Jx + Jh ;

88,48 +11,52 = 36 + 64 ;

100 см4 =100 см4.

Следовательно, задача решена верно.

32

ПРИМЕР 2.2

Исходные данные задачи.

Для заданного поперечного сечения(рис. 2.10), состоящего из швеллера и равнобокого уголка, требуется:

1)определить положение центра тяжести;

2)найти осевые и центробежный моменты инерции относительно случайных осей, проходящих через центр тяжести сечения;

3)определить направление главных центральных осей;

4)найти моменты инерции заданного сечения относительно главных центральных осей.

Решение задачи.

Заданное сечение состоит из двух элементов. Рассмотрим первый элемент сечения швеллер № 16 (ГОСТ 8240). Площадь сечения элемента А1 = 18,1 см2. Смещение главных осей элемента от внешней грани полки равно х01 =1,80 см. Осевые моменты инерции элемента: Jх1 = 747 см4, Jу1 = 63,3 см4. Центробежный момент: Dy1x1 = 0.

Рассмотрим второй элемент - равнобокий уголок 90´90´6 (ГОСТ 8509). Площадь второго элемента А2=10,6 см2. Моменты инерции относительно центральных осей в соответствии с сортаментом прокатной стали равны: Jy2 = Jx2 = 82,1 см4 ; Jmax = 130 см4; Jmin = 34 см4. Смещение

Выбираем вспомогательную систему прямоугольных координат, проводя оси x и h через центр тяжести одного из элементов сечения таким образом, чтобы они были параллельны осям yi и xi. Определяем координаты центров тяжести всех элементов в новой системе координат x - h:

i=1

33

Через точку С, имеющую координаты xс = -1,56 см и hс = 2,80 см, проводим центральные оси Y и X составного сечения параллельно осям его элементов yi и xi .

Для проверки правильности определения положения центратяжести составного сечения воспользуемся свойством центральных осей, которое гласит, что статический момент относительно указанных осей равны нулю. Предварительно вычисляем координаты центров тяжести элементов сечения в системе центральных осей Y и X:

a1 =h1 -hc = 0 - 2,80 = -2,80 см; a2 =h2 -hc = 7,57 - 2,80 = 4,77 см; b1 = x1 - xc = 0 - (-1,56)=1,56 см;

b2 = x2 - xc = (- 4,23)- (-1,56)= -2,67 см.

Находим величины статических моментов относительно - цен тральных осей Y и X:

В обоих случаях погрешность не превышает5 % , следовательно, положение центра тяжести составного сечения найдено верно.

Осевые моменты инерции составного поперечного сечения определяются по формулам

n

JY = å(J yi + bi2 Ai ) = (J y1 + b12 A1 ) + (J y 2 + b22 A2 ) =

i =1

= 63,3 +1,562 ×18,1 + 82,1 + (- 2,67)2 ×10,6 = 265,01 см4;

n

J X = å(J xi + ai2 Ai ) = (J x1 + a12 A1 ) + (J x 2 + a22 A2 ) =

i=1

=747 + (- 2,8)2 ×18,1 + 82,1 + 4,772 ×10,6 =1212,18 см4.

34

Центробежный момент составного сечения относительно осейY и X с учетом смещения осей его элементов относительно центральных осей составного сечения равен

n

DYX = å(Dyixi + aibi Ai ) = (Dy1x1 + a1b1 A1 ) + (Dy 2 x 2 + a2b2 A2 ) =

i=1

=0 +1,56 × (- 2,8)×18,1 - 48 + (- 2,67)× 4,77 ×10,6 = -262,06 см4.

Находим положения главных центральных осей инерции сечения

Угол поворота имеет положительный знак, следовательно, поворот осей осуществляется против часовой стрелки.

у1

b2=26,7 b1=15,6

xc=15,6

Масштаб М 1:2 x2=42,3

Рисунок 2.10

35

Вычисляем главные центральные моменты инерции сечения

= 738,60 - 541,26 =197,34 см4.

Проверяем правильность вычисления главных моментов инерции. Первая проверка основана на свойстве инвариантности суммы осевых моментов инерции, которое гласит, что сумма осевых моментов инерции при повороте центральных осей не изменяется:

JY + J Х = JV + JU ;

265,01 +1212,18 = 1279,86 + 197,34;

1477,19 см4 » 1477,20 см4.

Вторая проверка основана на следующем свойстве главных центральных осей инерции сечения: центробежный момент инерции относительно главных центральных осей равен:

= 1212,18 - 265,01 ×sin 28,96o + (-262,06) × cos 28,96o = 2

= 229,31 - 229,29 = 0,02 см4 » 0,

следовательно, главные центральные моменты инерции составного сечения найдены верно.

ПРИМЕР 2.3

Исходные данные задачи.

Для заданного поперечного сечения, составленного из элементарных геометрических фигур (рис. 2.14), требуется:

1)определить положения центра тяжести заданного сечения;

2)найти положение главных центральных осей сечения;

3)вычислить главные центральные моменты инерции;

4)найти главные радиусы и моменты сопротивления сечения.

36

Решение задачи.

Заданное поперечное сечение (рис. 2.14) составлено из трех элементов: 1 - прямоугольника; 2 - полукруга и 3 - вырезанного треугольника. Используя формулы, приведенные в Приложении, вычисляем геометрические характеристики каждого из элементов в отдельности.

Центробежный момент второго элемента сечения Dx 2 y 2 = 0 . Сме-

щение центра тяжести полукруга относительно его основания равно

Третий элемент составного сечения- вырезанный треугольник (рис. 2.13). Площадь сечения треугольника

37

Центробежный момент инерции треугольника ввиду его симметрии относительно вертикальной оси равен Dx3 y3 = 0 .

Выбираем вспомогательную систему прямоугольных декартовых координат, проводя оси x и h через центр тяжести одного из элементов сечения таким образом, чтобы они были параллельны осям yi и xi (рис. 12.14). В рассматриваемом примере начало вспомогательной системы координат совпадает с центром тяжести первого элемента сечения- прямоугольника. Так как ось h является осью симметрии заданного сечения, то она является главной центральной осьюY . Находим положение другой главной осиХ. Определяем координаты центров тяжести элементов сечения в новой системе x Оh :

Координату центра тяжести заданного составного сечения вычисляем по формуле

n

i=1

=512 ×0 +100,5 ×19,4 + (-48) × 2,67 = 3,25 см. 512 +100,5 + (-48)

Через точку С, имеющую координаты xс = 0 см и hс= 3,25 см проводим центральные оси Y и X параллельно осям yi и xi (рис. 2.14).

Для проверки правильности определения положения центра -тя жести составного сечения воспользуемся свойством центральных осей,

38

которое гласит, что статический момент относительно указанных осей равны нулю. Предварительно находим координаты центров тяжести элементов сечения в системе центральных осей Y и X

1637,6

ность не превышает 5% , то положение центра тяжести составного сечения определено верно. Статический момент относительно оси Y тождественно равен нулю ввиду симметрии сечения относительно вертикальной оси.

Так как ось Y является осью симметрии сечения, следовательно, эта ось главная. Центральная ось X , перпендикулярная главной оси Y , также является главной осью составного сечения. Отсюда имеем

n

JY = å(J yi + bi2 Ai ) = J y1 + J y 2 + J y3 =10922,7 +1607,7 - 288 =12242,4 см4.

i =1

n

J X = å(J zi + ai2 Ai ) = (J x1 + a12 A1 ) + (J x 2 + a22 A2 ) + (J x3 + a32 A3 ) =

i=1

=40690,7 + 512 ×3,252 ++450,2 +100,5 ×16,152 -170,7 - 48 ×0,55 = 75576,4 см4.

Следовательно, главные моменты инерции заданного поперечного сечения равны:

JY = Jmin = 12242,4 см4; JX = Jmax = 75576,4 см4.

Положение главных центральных осей поперечного сечения показано на рисунок 2.14.

Находим величину главных радиусов инерции составного сечения, используя следующие формулы:

39

Рисунок 2.14

Для вычисления моментов сопротивления относительно главных осей X и Y необходимо спроецировать на главные оси наиболее удаленные точки сечения и определить отрезки Xmax и Ymax (рис. 2.14).

40