Техническая механика / 4_Tekhnicheskaya_mekhanika_dlya_stroiteley

Для случаев, когда в пределах отдельного грузового участка вала эпюра M z постоянна, величина q численно равна углу закручивания стержня на единицу длины.

§5.7 ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ ПРИ КРУЧЕНИИ ВАЛА КРУГЛОГО ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ

Формулами (5.21) и (5.22) можно пользоваться как при ступенчатом изменении крутящих моментов, так и жесткости вала. В этом случае потенциальная энергия равна сумме потенциальных энергий, найденных по отдельным участкам.

§5.8 ГЛАВНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ И ГЛАВНЫЕ ПЛОЩАДКИ ПРИ КРУЧЕНИИ ВАЛА

перпендикулярных площадках, одна из которых лежит в плоскости поперечного сечения, а другая - в плоскости продольного диаметрального сечения, действуют только касательные напряжения. Такое напряженное состояние соответствует чистому сдвигу. Из свойств такого напряженного состояния следует, что по площадкам, наклоненным под углом 45° к оси стержня, действуют главные напряжения s1 =t и s 3 = -t .

Далее рассмотрим траектории главных напряжений. Так называ-

ется линия, в каждой точке которой касательная совпадает с направлением главного напряжения, возникающего в данной точке. При кручении вала круглого поперечного сечения траектории главных напряжений представляет собой винтовую линию, наклоненную под углом 45°

относительно образующей. Совокупность этих линий делитпо верхность вала на прямоугольные клетки(рис. 5.11). Эти элементы в одном направлении испытывают растяжение, а в другом – сжатие.

z

Mz

s3 s1

z

Рисунок 5.11

Этим объясняется различный характер разрушения материалов при кручении. Стержень, изготовленный из чугуна, разрушается по винтовой поверхности, так как предел прочности на растяжение sut для хрупких материалов значительно ниже предела прочности при его сжатии suc . Стальной вал разрушается по поперечному сечению от среза в виду того, что растягивающие напряжения для пластичного материала менее опасны, чем касательные. При разрушении деревянного стержня наблюдается раскалывание материала вдоль волокон, так как прочность древесины в этом направлении меньше, чем поперек волокон.

§5.9 РАСЧЕТ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ПРУЖИН С МАЛЫМ ШАГОМ ВИТКА

Различные виды пружин нашли широкое применение в технике. Рассмотрим принцип расчета винтовых цилиндрических пружин с малым шагом витка. У таких пружин угол наклона витка к плоскости,

131

Найдем деформацию пружины, учитывая, что витки пружины при ее деформации испытывают только кручение. Обозначая осадку пружины l , найдем работу А растягивающей силы F на перемещении l . Предполагая линейную зависимость l от силы F , можно записать A = Fl2 . Потенциальная энергия в пружине от кручения определяется в соответствии с выражением (5.22)

2GJ r

Общую длину проволоки, из которой изготовлена пружина при n витках, находим по формуле

l = 2pRn ,

ПРИМЕР 5.1

Исходные данные задачи.

К стальному валу приложены три известных моментаМ1, М2 и М3 (рис. 5.13). Расчетное сопротивление материала вала срезу Rs =45 МПа.

Требуется:

1)установить, при каком значении момента X угол поворота правого концевого сечения вала равен нулю;

2)для найденного значения момента X построить эпюру крутящих моментов;

3)при заданном значении Rs определить диаметр вала из расчета

на прочность и округлить его до ближайшего большего, равно-

го 30, 35, 40, 45, 50, 60, 70, 80, 90, 100 мм;

4)построить эпюру углов закручивания;

5)найти наибольший относительный угол закручивания.

Решение задачи.

Угол закручивания на каждом грузовом участке валаопре деляется по следующей формуле

133

ния.

Запишем выражения для крутящих моментов на каждом грузовом участке через величины М1, М2, М3, и X :

М кр 4 = Х ; М кр 3 = Х + М 3 ; М кр2 = Х + М 3 - М 2 ; М кр1 = Х + М 3 - М 2 + М1 .

Используя условие задачи и подставляя полученные величины в выражение для углов закручивания, получаем следующее значение неизвестного момента, приложенного к правому концу вала:

X (2a + b + c)+ M 3 (a + b + c)- M 2 (a + b)+ M1a = 0 ;

X = - M 3 (a + b + c)+ M 2 (a + b)- M1a = 2a + b + c

= -1300 ×(2,0 +1,6 +1,3)+ 600 ×(2,0 +1,6)- 2000 ×2,0 = -1189,86 Нм. 2 ×2,0 +1,6 +1,3

Находим значения крутящих моментов на границах участков:

М z 4 = Х = -1189,86 Нм; М z 3 = Х + М 3 = -1189,86 +1300 = 110,14 Нм;

Мz 2 = Х + М 3 - М 2 = -1189,86 +1300 - 600 = -489,86 Нм;

Мz1 = Х + М 3 + М 2 - М1 = -1189,86 +1300 - 600 + 2000 = 1510,14 Нм.

По полученным данным строим эпюру Мкр Запишем условие прочности вала при кручении:

t max = M z max £ Rs ,

Wr

где M z max - максимальное значение крутящего момента; Wr - полярный момент сопротивления сечения вала.

Полярный момент сопротивления круглого поперечного сечения определяется по формуле:

134

Окончательно принимаем диаметр вала d = 60 мм.

Находим значение полярного момента инерции поперечного -се чения вала по формуле

J r = pd 4 = 3,14 ×(6 ×10-2 )4 = 1,271×10-6 м4. 32 32

Используя ранее записанную формулу и принимая величину модуля сдвига стали равной G = 8 ×104 МПа, вычисляем значение углов закручивания на каждом грузовом участке

Определяем ординаты эпюры углов закручивания

jА-1 = j1 = 29,707 ×10-3 рад;

jА-2 = j1 +j2 = (29,707 - 7,708)×10-3 = 21,996 ×10-3 рад;

jА-3 = j1 +j2 +j3 = (29,707 - 7,708 +1,408)×10-3 = 23,404 ×10-3 рад;

jА-4 = j1 +j2 +j3 +j4 = (29,707 - 7,708 +1,408 - 23,404)×10-3 = 0 ,

что соответствует условию задачи.

По полученным значениям строим эпюру углов закручивания вала j . Исходя из построенной эпюры j , определяем наибольший отно-

сительный угол закручивания на 1 м его длины

135

10.Показать вид эпюры касательных напряжений вдоль радиуса круглого поперечного сечения.

11.Записать условие прочности при кручении по касательным напряжениям.

12.Как определить полный и относительный углы закручивания вала круглого сечения.

13.Каков характер разрушения при кручении валов из пластичного и хрупкого материалов?

14.Чему равна потенциальная энергия при кручении вала круглого сечения в зоне упругих деформаций?

15.Чему равна осадка цилиндрической винтовой пружины, загруженной растягивающей (сжимающей) силой?

137