Добавил:

prorok030490 chertegik.ru Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Кубанский государственный технологический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Техническая механика / 4_Tekhnicheskaya_mekhanika_dlya_stroiteley

.pdf

Скачиваний:

306

Добавлен:

07.11.2017

Размер:

15.58 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 3612 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

§ 4.8.1 КРИТЕРИЙ НАИБОЛЬШИХ НОРМАЛЬНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ

Согласно этой теории, основное влияние на прочность материала оказывает величина максимального нормального напряжения. В соответствии с этой гипотезой в случае плоского напряженного состояния должны выполняться следующие условия

- R £ s1 £ R ;

- R £ s 3 £ R ,

(4.20)

где R - расчетное сопротивление материала.

Таким образом, при плоском напряжен-

ном состоянии, область предельных напряже-

ний, построенная в осях главных напряжений,

представляет собой квадрат, каждая грань ко-

торого равно 2R .

Главные напряжения в точке тела можно

записать через нормальные и касательные на-

пряжения,

действующие на

произвольных

площадках,

соответствии

с уравнением

Рисунок 4.8

(4.11). Тогда получаем

s х + s y

х - s y ) +

4t хy £ R .

(4.21)

Для одноосного напряженного состояния условие прочности

сводится только к одному неравенству

- R £ s1

£ R .

(4.22)

Теорию наибольших нормальных напряжений еще называют первой теорией прочности. Экспериментальная проверка показала, что эта теория прочности не отражает условий перехода материала в пластическое состояние, следовательно, не может использоваться в качестве критерия пластичности. Первая теория прочности подтверждается опытами только при растяжении хрупких материалов.

§4.8.2 КРИТЕРИЙ НАИБОЛЬШИХ ОТНОСИТЕЛЬНЫХ УДЛИНЕНИЙ

Всоответствии с этой теорией, в качестве критерия прочности материала принимают максимальную по абсолютной величине относительную линейную деформацию. Предполагается, что разрушение материала наступает тогда, когда наибольшая линейная деформация достигает своего опасного значения. Тогда условие прочности материала запишется следующим образом

emax		£ [e ]=	eu	,	(4.23)


	110		k

где

R/m

eи - предельная (опасная) линейная деформация;

k - коэффициент запаса;

[e ] - допускаемая линейная деформация.

Для

случая

одноосного напря-

женного состояния допускаемая -де

R/m

формация может быть записана с по-

мощью закона Гука

[e ]= [s ] =

Для плоского напряженного со-

стояния получаем

R/m

;

или

s1 - ms3

£ R

R/m

íï

m(s1 + s3 )

£ R .

(4.24)

Рисунок 4.9

- ms1

£ R

Главные напряжения в точке тела можно записать через нормальные и касательные напряжения, действующие по произвольной площадке, в соответствие с уравнением(4.11). Тогда, в соответствии со вторым неравенством (4.24) получаем

(1 - m)(s х + s y )± (1 + m) (s х -s y )2 + 4t х2y

£ 2R .

(4.25)

Как следует из соотношений(4.24), область предельных напряжений для рассматриваемого критерия прочности, в осях главных напряжений представляет собой шестиугольник (рис. 4.9).

Теорию наибольших относительных деформаций еще называют второй теорией прочности. Экспериментальная проверка показала, что эта теория прочности подтверждается лишь для хрупкого состояния материала. Данная теория не может применяться для материалов, не следующих закону Гука или находящихся за пределами пропорциональности. Таким образом, эта теория не может быть использована

вкачестве критерия пластичности.

§4.8.3 КРИТЕРИЙ НАИБОЛЬШИХ КАСАТЕЛЬНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ

Вэтой теории в качестве критерия прочности материала принята величина максимального касательного напряжения. Предполагается, что разрушение материала наступает тогда, когда наибольшее каса-

111

тельное напряжение достигает своего опасного значения. Тогда условие прочности материала запишется следующим образом

tmax

£ [t ]=

(4.26)

где tи - предельное (опасное) касательное напряжение;

k - коэффициент запаса;

[t ] - допускаемое касательное напряжение.

Как известно из ранее рассмотрен-

ного материала, для

случая

одноосного

напряженного

состояния

учетом

s 2 = s3 = 0

допускаемое

касательное

на-

пряжение

может

быть

определено

-сле

дующим образом

[t ]= [s ]

= R .

Рисунок 4.10

Величина максимальных касательных напряжений равна полуразности главных напряжений в точке тела. Тогда для плоского напряженного состояния, получаем три неравенства

£ R ;

s1 -s3

£ R .

(4.27)

Главные напряжения в точке тела можно записать через нормальные и касательные напряжения (4.11). Тогда, в соответствии с третьим неравенством критерия (4.27) получаем

(s х -s y )2 + 4t х2y

£ 2R .

(4.28)

Как следует из соотношений(4.27) область предельных напряжений в осях главных напряжений также представляет собой шестиуголь-

ник (рис. 4.10).

Теорию наибольших касательных напряжений еще называют третьей теорией прочности. Третья теория прочности хорошо подтверждается опытными данными для материалов, одинаково работающих на растяжение и сжатие. Отметим, что критерий наибольших касательных напряжений обычно рассматривается как условие образовании пластических деформаций. Таким образом, эта теория может быть использована в качестве критерия пластичности.

112

§ 4.5.3 ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ КРИТЕРИЙ ПРОЧНОСТИ

При построении данного критерия в качестве причины наступления предельного напряженного состояния первоначально принималась полная удельная потенциальная энергия деформации. Условие прочности записывалось в следующем виде

U £ U 0 .

(4.29)

здесь U - полная удельная энергия деформации, определяемая по фор-

муле

U =

[s 2

+ s 2 - 2ms s

];

2Е

В неравенстве (4.29) U 0 соответствует предельному значению энергии

деформации, определяемому экспериментально.

Для случая одноосного напряженного

состояния, когда

s 2 = s3 = 0 ,

предельное

значение энергии

деформации может быть

определено

в соответствии

известным

выражением

[s ]2

U 0

(4.30)

Однако,

данная

гипотеза

не

нашла

Рисунок 4.11

экспериментального

подтверждения, по-

этому энергетический критерий был

моди-

фицирован следующим образом. В качестве причины наступления предельного напряженного состояния было предложено рассматривать удельная потенциальная энергия формоизменения. Тогда условие прочности записывается в следующем виде

		U ф £ Uф0 .			(4.31)
где U ф - удельная энергия формоизменения, определяемая по формуле
	U ф =	1 + m	[(s1 -s	3 )2 + s12 + s3 2 ];

		6Е
U ф0 - предельное значение энергии формоизменения.
Для	случая	одноосного		напряженного	состояния, когда
s 2 = s3 = 0 ,	предельное	значение		энергии формоизменения может

быть записано следующим образом

113

U ф0	=	1 + m	× 2[s ]2 =	1 + m	R2 .
		6Е
				3Е

Тогда для плоского напряженного состояния, получаем следующее критериальное неравенство

s12 + (s1 -s3 )2 +s3 2 £ 2R2 . (4.32)

Как следует из соотношения (4.33) область предельных напряжений в осях главных напряжений также представляет собой эллипс, развернутый относительно указанных осей на 45° (рис. 4.11).

Главные напряжения в точке тела деформируемого тела можно записать через нормальные и касательные напряжения. Тогда, в соответствии с ранее полученным неравенством (4.32) имеем

æs		+ s	ö2	æs		-s	ö	2
ç	х		y ÷	+ 3ç	х		y ÷	+ 3t 2
ç		2	÷	ç		2	÷	хy
è		2	ø	è		2	ø

£ 2R .

(4.33)

Теорию максимальной энергии формоизменения еще называют четвертой теорией прочности. Четвертая теория прочности хорошо подтверждается экспериментальными данными для пластичных материалов и широко применяется на практике. Появление в материале пластических деформаций по четвертой гипотезе определяется более точно, чем по третьей. Четвертая гипотеза прочности может быть использована в качестве критерия пластичности.

Следует отметить, что третья и четвертая гипотезы прочности дают достаточно близкие результаты. Это становится понятным, при сравнении рисунков 4.11 и 4.10. Шестиугольник, полученный по третьей гипотезе, будет вписан в эллипс, полученный по четвертой гипотезе.

§ 4.8.5 ТЕОРИЯ ПРОЧНОСТИ МОРА

Во всех рассмотренных выше теориях в качестве гипотезы, устанавливающей причину разрушения материала, принималась величина какого-либо одного фактора (напряжения, деформации, энергии). В теории Мора на основе экспериментальных данных устанавливается

определенная зависимость прочностных свойств материала от вида напряженного состояния. Для получения такой зависимости используют предложенные Мором круги напряжений.

114

В качестве примера рассмотрим круги Мора, построенные для плоского напряженного состояния (рис. 4.12). На этом рисунке пока-

заны

множество

кру-

Предельная огибающая

гов

Мора,

получен-

ные

эксперименталь-

Одноосное растяжение

ным

путем

при раз-

личных

видах дефор-

О6

мации

материала,

имеющего различные

О3 О4

О5

О2

пределы

прочности

О1

на растяжение и сжа-

тие.

Если

провести

Двухосное растяжение

огибающую

для

этих

кругов,

которую

на-

Кручение

Одноосное сжатие

зывают

предельной

Рисунок 4.12

огибающей, то она в

общем

случае

будет

кривой, которая пересечет ось s

в некоторой точке. Эта точка соот-

ветствует двухосному растяжению материала.

Построение предельной огибающей связано с проведением большого числа трудно реализуемых экспериментов. Поэтому на практике предельную огибающую заменяют касательными лишь к двум главным кругам Мора, которые строят по данным испытаний материала на одноосное растяжение и сжатие(рис. 10.6). Уравнение касательной к главным кругам Мора в принятой системе координат

t = -as + b ,

(4.34)

где a и b - некоторые коэффициенты, подлежащие определению.

Для случая плоского напряженного состояния нормальные и касательные напряжения на произвольной площадке, проведенной через заданную точку тела, могут быть выражены через главные напряжения

следующим образом
s =	s1 + s3	+	s1 -s3	cos 2a и	t =	s1 -s3	sin 2a .	(4.35)

2		2			2
После подстановки выражения (4.30) в уравнение (4.29) получаем
			s1 + ms3 = k ,					(4.36)

где m и k - новые коэффициенты.

Коэффициенты m и k определяются из следующих условий. Рассмотрим точку касания D, которая принадлежит кругу Мора, построен-

115

ному при одноосном растяжении. Тогда получаем s1 = sut ; s 3 = 0 . Используя условие прочности материала, получаем k = sut .

Точка касания В принадлежит кругу Мора, построенному при одноосном сжатии с центром О2, тогда s1 = 0 ; s3 = -s uc . Подставляя полученные выражения в условие (4.36), имеем

-ms uc = k .

Сучетом ранее найденного значения коэффициента k получаем

m = - sut .

suc

Таким образом, условие прочности Мора (4.36) принимает с вид


s	1	-	sut		s	3	= s	ut	.	(4.37)

		s		uc
Соответствующая расчетная формула запишется так:
s1 - Ks 3							£ Rt ,			(4.38)

где Rt - расчетное сопротивление материала при растяжении. Коэффициент K позволяет учитывать различные сопротивления

материала растяжению и сжатию. Если эти сопротивления одинаковы, то коэффициент K = 1, и условие (4.38) будет соответствовать третьей

Предельная

касательная

гипотезе

прочности.

Сле-

довательно,

критерий

прочности Мора

приме-

ним как для хрупких, так

и для пластичных мате-

риалов.

О3

Теория

Мора

дает

О2

О1

наиболее

достоверные ре-

зультаты

для

напряжен-

ных состояний, круги ко-

Одноосное

растяжение

торых

занимают положе-

Одноосное сжатие

ние в

промежутке

между

главными кругами (круг с

sut

центром О3). Иногда

тео-

Рисунок 4.13

рию прочности Мора на-

зывают

пятой

классиче-

ской теорией прочности.

В заключении следует отметить, что, несмотря на исключительную важность критериев прочности и пластичности для оптимального проектирования конструкции, в этой области имеется еще большое

116

количество нерешенных задач. Границы применения критериев прочности и пластичности даже для старых конструкционных материалов не исследованы исчерпывающим образом. Для новых конструкционных материалов вопрос о применимости к ним известных критериев прочности крайне мало исследован.

ПРИМЕР 4.1

Исходные данные задачи.


	y	sy		Для	плоского напряжённого -со
		sy	стояния в точке тела(рис. 4.14) заданы
		tyx	компоненты		напряжений s х ,		s у , t xy .
		tyx	Требуется найти:
			Требуется найти:
		txy	1)	главные	напряжения и направление
		x	главных площадок;
sx	txy	sx	2)	величину максимальных касательных
	txy		напряжений;
	tyx		3)	относительные		линейные	деформа-
		dz	ции объема eх , e у ,			ez ;
z	dx	sy	4)	относительное изменение объема;
	Рисунок 4.14		5)	удельную потенциальную			энергию
	Рисунок 4.14		деформаций.
			деформаций.

Решение задачи.

Определяем величины главных напряжений по формуле:

		s x + s y		1
					2		2
s1,3	=		±			(s x -s y )	+ 4t xy .
				2
	2

В соответствии с заданной схемой имеем:

	s x = 80 МПа,				s y = -100 МПа, t xу	= 60 МПа.
Тогда получаем
s1,3	=	80 -100	±	1	(80 +100)2 + 4 × 602	= -10 ±108,17 .

	2		2

s1 = -10 +108,17 = 98,17 МПа; s3 = -10 -108,17 = -118,17 МПа;

Сумма нормальных напряжений, действующих по двум взаимно перпендикулярным площадкам, есть величина инвариантная, т.е. не зависящая от поворота координатных осей относительно неподвижной точки. Воспользовавшись этим свойством, выполним проверку найденных значений главных напряжений:

117

s х +s у = s1 +s3 ;

80 -100 = 98,17 -118,17 ;

-20 МПа = -20 МПа.

Следовательно, величины главных напряжений вычислены верно. Вычисляем величину угла наклона главных площадок относи-

тельно заданных площадок

tg2a =	2t xy			=	2 ×60	= 0,6667	2a = arctg(0,6667)= 33,69	o
	(s х				(80 +100)
		-s	у )

a = 33,69o / 2 = 16,85o

Максимальные касательные напряжения вычисляем по формуле:

tmax	=	s1 -s3	=	98,17 +118,17	= 108,17 МПа.

	2		2

Площадки, по которым действуют максимальные касательные напряжения, направлены под углом45° относительно положения главных площадок.

Определяем относительные деформации в точке тела eх , e у и ez , воспользовавшись обобщенным законом Гука и учитывая, что s z = 0 :

(s х

)

ïeх

- ms у

ïe

- ms

(sх +s у

)

ïe

= -

где E - модуль упругости первого рода, для стали E = 2 ×105 МПа;

m - коэффициент Пуассона, для стали принимаем значение m = 0,3 .

eх	=	1	×(-100 - 0,3×40)×106 = -56 ×10-5 ;
		11
	2	×10
e у	=	1	×(40 - 0,3×(-100))×106 = 35×10-5 ;
		×1011
	2
ez	= -	0,3		×(-100 + 40)×106 = 9 ×10-5.
		11
		2 ×10

Определяем относительное изменение объема по формуле:

118

q = ex +e y +ez = (- 56 + 35 + 9)×10-5 = -12 ×10-5 .

Вычисляем удельную потенциальную энергию деформаций через главные напряжения

		U =	1	(s 2	+s 2	- 2ms s		)=
		U =		(s 2	+s 2	- 2ms s	2	)=
			2E	1	2	1	2
			2E
=	1	(62,22 + (-122,2)2 - 2 ×0,3×62,2 ×(-122,2))×106 = 58,41×10-3							Нм	.
=	×2 ×1011									.
2	×2 ×1011								м3

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ К ГЛАВЕ 4

1.Что такое напряженное состояние в точке тела?

2.Чем отличаются однородное и неоднородное напряженные состояния между собой?

3.Какие виды напряженных состояний Вы знаете?

4.В чем заключается закон парности касательных напряжений?

5.По каким формулам определяют нормальные и касательные напряжения на произвольно наклоненных площадках?

6.Изменяется ли сумма нормальных напряжений на двух взаимно перпендикулярных площадках при повороте площадок?

7.Какие площадки называют главными?

8.По какой формуле можно найти положение главных площадок?

9.Как вычислить величину главных напряжений?

10.Что называется тензором напряжений? Чему равны его компоненты?

11.Запишите формулы обобщенного закона Гука для плоского напряженного состояния.

12.Чему равно относительное изменение объема тела?

13.Что такое полная удельная потенциальная энергия деформации?

14.По какой формуле можно определить полную удельную потенциальную энергию деформации?

15.Что называется кругом Мора для плоского напряженного состояния?

16.Как с помощью круга Мора найти главные напряжения и установить их направления, если известны напряжения на двух взаимно перпендикулярных произвольных площадках?

119

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 3612 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>