Техническая механика / 4_Tekhnicheskaya_mekhanika_dlya_stroiteley

ГЛАВА 2.

ГЕОМЕТРИЧЕСКЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПЛОСКИХ СЕЧЕНИЙ

§ 2.1. МОМЕНТЫ ПЛОСКИХ СЕЧЕНИЙ

Величина перемещений и деформаций брусьев под действием внешних нагрузок зависит не только от физико-механических характеристик материала, но и от вида поперечного сечения. Рассмотрим два прямых бруса одинакового поперечного сечения. Длина обоих брусьев равна l. Они изготовлены из одинакового материала и нагружены одинаковыми внешними силами, различно ориентированными по отношению к сторонам поперечного сечения (рис. 2.1).

Рисунок 2.1

Из приведенного рисунка следует, что брус, изображенный на рис. 2.1, а является более гибким, чем брус, показанный на рис. 2.1, б. Вертикальное перемещение точки приложения силы будут существенно различны (v1 много больше, чем v2). Большая жесткость бруса во втором случае объясняется разницей в ориентации коротких и длинных сторон сечения по отношению к направлению действующей силыF. Следовательно, у этих брусьев различные геометрические характеристики поперечных сечений относительно осей х и у.

Рассмотрим произвольную область А, принадлежащую плоскости хОу ограниченную некоторой замкнутой кривой. Эту область в дальнейшем будем именовать плоским сечением. Пусть в системе прямоугольных декартовых координат хОу заданная точка K, принадлежащая поперечному сечению А. Координаты этой точки хK и уK. Полярные координаты этой точки определяются радиус-векторомrK и углом aK (рис. 2.2). Если в пределах области А задать некоторую функ-

22

моментов площади поперечного сечения:

-момент нулевого порядка( т = п = 0 ) является площадью заданного сечения. Размерность площади сечения [м2]:

-моменты первого порядка( т = 0 , п = 1 или т = 1, п = 0 ) назы-

ваются статическими моментами. Размерность моментов площади первого порядка [м3]:

-моменты второго порядка ( т = 0 , п = 2 или т = 2 , п = 0 ) назы-

ваются осевыми моментами инерции. Размерность моментов инерции [м4]:

-момент второго порядка, когда т =1 и п = 1 получаем центро-

бежный момент инерции:

Размерность центробежного момента инерции [м4].

Если в пределах рассматриваемой областиА функцию f всех ее точек задать в полярной системе координат, то получим полярный момент инерции (момент инерции второго порядка):

23

Если положение центра тяжести поперечного сечения определено, то координаты этой точки О (xo, yo) известны. Тогда из выражений (2.3) следует

где А - площадь поперечного сечения.

Таким образом, координаты центра тяжести поперечного сечения относительно выбранных координатных осей x и y могут быть найдены с помощью уравнений:

Когда заданное поперечное сечение можно разбить наn элементов, для каждого из которых известно положение центров тяжести и их площадь, то интегрирование в выражении (2.8) можно заменить суммированием

Уравнения (2.9) используются для вычисления координат центра тяжести составного поперечного сечения.

§2.2 ВЫЧИСЛЕНИЕ МОМЕНТОВ ИНЕРЦИИ ПРОСТЕЙШИХ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФИГУР

Вычисление моментов инерции некоторых простейших фигур может быть выполнено непосредственным интегрированием выражений (2.4). Рассмотрим несколько наиболее распространенных фигур.

Прямоугольник. Разобьем прямоугольник на элементарные площадки, параллельные оси Ох. Площадь каждого отдельного элемента определяется равенством dA = bdy (рис. 2.3). Найдем момент инерции относительно центральной оси Ох:

Аналогичным образом найдем момент инерции относительно центральной оси Оу. В этом случае площадь элемента равна dA = hdx :

24

Треугольник. Вычислим осевой момент инерции равнобедренного треугольника относительно центральной оси Ох. Ширина элементарной площадки определяется из подобия треугольников (рис. 2.4) и равна

Аналогичным образом найдем момент инерции относительно оси симметрии Оу. В этом случае высота элементарной площадки из подобия треугольников равна:

25

следовательно,

Jr = òòr2dA = òòr2 rdjdr = òdjòr3dr =

Учитывая, что полярный момент инерции равен сумме двух осевых моментов, имеем

Кольцо. Момент инерции кольца может быть найден как разность моментов инерции наружного и внутреннего круга. Тогда полярный момент и осевые моменты инерции соответственно равны:

Геометрические характеристики различных геометрических фигур приведены в приложении.

§2.3 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК ПРИ ПАРАЛЛЕЛЬНОМ ПЕРЕНОСЕ ОСЕЙ

Рассмотрим преобразование моментов плоских сечений при параллельном переносе координатных осей. Задано некоторое плоское сечение А, ограниченное внешним замкнутым контуром. Геометрические характеристики этого сечения относительно системы координат

26

x1O1y1 известны. Определим геометрические характеристики сечения относительно новой системы координат xOy (рис. 2.6). Связь между координатами точки K определяется выражениями

Статические моменты сечения относительно осейxOy в соответствии с выражениями (2.3) и с учетом соотношений (2.10) имеют вид

Sx = òò( yK1 + b1 )dA = Sx1 + b1 A;

§2.4 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК ПРИ ПОВОРОТЕ КООРДИНАТНЫХ ОСЕЙ

Рассмотрим преобразование моментов плоских сечений при -по вороте координатных осей. Задано некоторое плоское сечение А, ограниченное внешним замкнутым контуром. Геометрические характери-

27

стики сечения относительно системы координат xOy известны. Координаты точки K, принадлежащей заданному сечению А соответственно равны хK и уK. Координаты этой точки в новой системе координатxОh (рис. 2.4) соответственно равны

x = x × cosa + y × sin a;

§ 2.5 ГЛАВНЫЕ ОСИ И ГЛАВНЫЕ МОМЕНТЫ ИНЕРЦИИ ПЛОСКОГО СЕЧЕНИЯ

Оси xОh называются главными центральными осями инерции, ес-

ли центробежный момент Dxh равен нулю. Главные центральные оси

всегда проходят через центр тяжести поперечного сечения. Моменты инерции относительно главных центральных осей называютсяглавными моментами инерции. При этом величины осевых моментов инерции Jx и Jh получают экстремальные значения из всех возможных при по-

вороте координатных осей относительно центра тяжести рассматриваемого сечения.

Определим положение главных центральных осей. Из выражения для центробежного момента (2.19) следует, что угол поворота между осью Ох и главной осью Оx будет равен:

28

Формулы (2.20) и (2.25) позволяют определить как положение главных осей так и величины главных центральных моментов инерции сечения. Если теперь вместо произвольной начальной системы координат xOy принять главные оси UOV ( DUV = 0 ), то формулы (2.18) преобразования геометрических характеристик при повороте координатных осей упрощаются

J x = JU cos2 a + JV sin 2 a;

(2.26)

J y = JV cos2 a + JU sin 2 a.

Центробежный момент инерции относительно повернутых осей

§2.6 РАДИУСЫ ИНЕРЦИИ И ЭЛЛИПС ИНЕРЦИИ. МОМЕНТЫ СОПРОТИВЛЕНИЯ ПЛОСКОГО СЕЧЕНИЯ

Момент инерции плоского сечения относительно какой-либо оси можно представить в виде произведения площади фигуры на квадрат некоторой величины:

J x = òò y 2dA = Aix2 .

A

Величины ix и iy , определяемые по формулам (2.28), называются

радиусами инерции относительно соответствующих осей. Главным центральным осям инерции соответствуют главные радиусы инерции.

Построим на главных центральных осях инерции сечения эллипс с полуосями, равными главным радиусам инерции. Вдоль оси U будем откладывать отрезки iV , а вдоль оси V - отрезки iU (рис. 2.8). Такой эллипс называется эллипсом инерции. С помощью эллипса инерции можно графически определить радиус инерции относительно любой цен-

30