Техническая механика / 4_Tekhnicheskaya_mekhanika_dlya_stroiteley

ПРИМЕР 9.2

Исходные данные задачи.

Чугунный короткий стержень, поперечное сечение которого изображено на рисунке 9.10, сжимается силой F , приложенной в точке А. Расчетные сопротивления материала: на сжатие Rc = 120 МПа, на растяжение Rt = 30 МПа. Для заданной стойки требуется:

1)определить положение главных центральных осей инерции и вычислить необходимые геометрические характеристики;

2)найти положение нейтральной линии при приложении силы в заданной точке поперечного сечения;

3)установить положение и определить координаты опасных -то чек сечения;

4)из условия прочности материала в опасных точках определить допускаемую величину продольной силы;

5)построить ядро сечения;

6)построить эпюры распределения нормальных напряжений по сечению при перемещении точки приложения нормальной силы вдоль прямой, соединяющей заданную точку ее приложения с центром тяжести поперечного сечения. Напряжения вычислять при следующих точках приложения силы: а) в заданной точке; б) в точке пересечения ранее указанной прямой с границей ядра сечения; в) в середине отрезка между точкой, лежащей на границе ядра сечения и центром тяжести; г) в центре тяжести сечения.

Решение задачи.

Определяем геометрические характеристики сечения. Сечение разбиваем на четыре элемента. Площади элементов сечения равны:

A1 = 2a × a = 12 × 6 = 72 см2; A2 = 2b ×b = 8 × 4 = 32 см2;

A3 = -b × b = -4 × 4 = -16 см2; A4 = p ×b2 / 2 = 3,14 × 42 / 2 = 25,12 см2.

Выбираем вспомогательную систему координат x и h , направляя эти оси, как показано на рисунке. Определяем координаты центров тяжести элементов сечения. Ввиду симметрии заданного сечения относительно горизонтальной оси, h1 =h2 = h3 = h4 = 0 см.

Находим координаты центра тяжести сечения в целом:

240

Через полученную точку центра тяжести сечения проводим центральные оси Х и Y. Координаты центров тяжести элементов в системе главных осей:

а1 = x1 - xс = 0 - 2,64 = -2,64 см; а2 = а3 = x2 -xс = 5 - 2,64 = 2,36 см; а4 = x4 -xс = 8,70 - 2,64 = 6,06 см.

Находим суммарную площадь поперечного сечения стойки:

А = å Аi = 72 + 32 -16 + 25,12 =113,12 см2.

Вычисляем осевые моменты инерции:

По чертежу определяем координаты приложения сжимающей силы F в системе главных центральных осей Х и Y.

X F = -5,64 см; YF = 6 см.

Определяем опасные точки поперечного сечения, для чего находим положение нейтральной линии. Вычисляем величину отрезков, отсекаемых этой линией от главных центральных осей инерции сечения:

Откладываем полученные отрезки на чертеже и проводим -ней тральную линию для заданного сечения. Опасными точками сечения будут точки А и В, как наиболее удаленные от нейтральной линии. По чертежу определяем координаты опасных точек:

Х А = -5,64 см; YА = 6 см; X В = 6,31 см; YВ = -3,52 см.

241

Рисунок 9.10

В точке А рассматриваемого сечения возникают максимальные сжимающие, а в точке В - максимальные растягивающие напряжения. Исходя из условия прочности в опасных точках поперечного сечения стойки, работающей на внецентренное растяжение или сжатие, определяем величину нормальных напряжений в точках А и В:

В качестве допускаемой сжимающей силы для заданной стойки следует принять наименьшее из двух полученных значений. Следова-

242

тельно, допускаемая нагрузка равна: [F ]= 99,61кН.

Для построения ядра сечения проводим все возможные касательные к внешнему контуру поперечного сечения внецентренно нагруженной стойки, предполагая, что эти касательные являются нейтральными линиями. Для каждой касательной можно определить отрезкиaх и aу ,

отсекаемые ими от главных центральных осей сечения стойки. Координаты граничных точек ядра сечения находим по формулам

Так как заданное сечение симметрично относительно горизонтальной оси, то и ядро сечения будет симметрично относительно осиХ. Поэтому координаты остальных граничных точек ядра сечения можно не вычислять, а для их определения воспользоваться указанной симметрией. Соединяя полученные точки, получаем искомое ядро сечения.

Строим эпюры распределения нормальных напряжений по поперечному сечению стойки при перемещении точки приложения нормальной силы вдоль прямойFC. Координаты заданной точки приложения сжимающей силы равны:

X F = -5,64 см; YF = 6 см.

Находим величину нормальных напряжений в опасных точках поперечного сечения стойки от действия допускаемой силы [F ]= 99,61кН:

243

Определяем по чертежу координаты точки пересечения прямой FC с границей ядра сечения:

X F1 = -1,28 см; YF1 =1,36 см.

Вычисляем нормальные напряжения в опасных точках сечения при новом положении сжимающей силы

244

Координаты точки, находящейся в середине отрезка между границей ядра сечения и центром тяжести поперечного сечения равны

X F 2 = -0,64 см; YF 2 = 0,68 см.

Нормальные напряжения в опасных точках сечения при этом положении точки сжимающей силы

Когда сила приложена в центре тяжести сечения, получаем

По полученным значениям строим эпюры распределения - нор мальных напряжений по поперечному сечению внецентренно сжатой стойки (рис. 9.11). Необходимо отметить, что при всех положениях точ-

ки приложения силы F напряжения в центре тяжести сечения одинаково. Нулевая линия при построении эпюр нормальных напряжений перпендикулярна нейтральной линии N-N. Как следует из чертежа (рис. 9.11), проекция центра тяжести делит нулевую линию эпюр нормальных -на пряжений в пропорции 0,4327/0,5673. Тогда напряжения в центре тяжести поперечного сечения при различных точках приложения силыF равны:

245

-точка А: sС = 30 - (30 + 58,80)×0,4327 = -8,424 МПа;

-точка 1: sС1 = -20,36 × 0,4327 = -8,810 МПа;

-точка 2: sС 2 = -4,41 - (14,58 - 4,41)× 0,4327 = -8,811МПа;

-точка С: sС3 = -8,810 МПа.

14,58

20,36

8,81

8,81

Рисунок 9.11

§ 9.7 СОВМЕСТНОЕ ДЕЙСТВИЕ ИЗГИБА С КРУЧЕНИЕМ

Многие элементы строительных машин и механизмов работают как на изгиб, так и на кручение. Наиболее характерными деталями машин, работающими в таких условиях, являются валы. Подавляющее большинство валов имеют круглое или кольцевое поперечное сечение.

На вал действует система внешних сил(давление на зубья шестерен, натяжение ремней, собственный вес вала и шкивов и т.д.). Под действием внешних нагрузок в сечениях вала возникают крутящий момент M z и изгибающие моменты M x и M y . Таким образом, в произвольном

поперечном сечении вала одновременно возникают нормальныена пряжения от изгиба в двух плоскостях, а также касательные напряжения от кручения.

При расчете вала, прежде всего, необходимо установить положение опасных сечений. Для этого следует построить эпюры крутящих

246

ном сечении следует найти опасные точки. Круглое поперечное сечение обладает бесконечным множеством главных центральных осей, поэтому нормальные напряжения в произвольной точке K , возникающие от действия суммарного изгибающего момента M tot , равны

Понятно, что максимальные нормальные напряжения возникают в точках, принадлежащих внешнему контуру сечения когда у = r (здесь r - радиус поперечного сечения вала). Отсюда получаем

нии вала возникают касательные напряжения tK , изменяющиеся по линейному закону

247

где J r - полярный момент инерции поперечного сечения вала; rK - полярная координата рассматриваемой точки.

Максимальные касательные напряжения возникают в точках, принадлежащих внешнему контуру сечения вала, при r = r , следовательно,

где Wr - полярный момент сопротивления вала.

В окрестности наиболее опасной точки вала при совместном действии изгиба с кручением реализуется плоское напряженное состояние. Аналогичное напряженное состояние возникает и в случае поперечного изгиба бруса.

При совместном действии изгиба с кручением валы круглого поперечного сечения рассчитываются на прочность, как балки, работающие на изгиб, при действии на нее расчетного момента M calc :

Для проверки прочности элемента, выделенного в окрестности опасной точки, нужно выбрать соответствующую теорию прочности. Величина расчетных моментов по четырем классическим гипотезам прочности определяются по следующим формулам:

- гипотеза наибольших нормальных напряжений:

-гипотеза наибольших относительных удлинений(при коэффициенте Пуассона m = 0,3 ):

M calcII = 0,35М tot+0,65М tot2 + М z2 ;

- гипотеза наибольших касательных напряжений:

M calcIII = М tot2 + М z2 ;

- гипотеза потенциальной энергии формоизменения:

M calcIV = М tot2 + 0,75М z2 .

248

ПРИМЕР 9.3

Исходные данные задачи.

Шкив с диаметром D1 и с углом наклона ветвей ремня к горизонту a1 вращается с угловой скоростьюw (делает n оборотов в минуту) и передает мощность N кВт (рис. 9.13). Два других шкива имеют одинаковый диаметр D2 и одинаковые углы наклона ветвей ремня к горизонту a2 . Каждый из них передает мощность N / 2 .

Требуется:

1)определить моменты, приложенные к шкивам, по заданным величинам N и n ;

2)построить эпюру крутящих моментов Мz ;

3)определить окружные усилия t1 и t2 , действующие на шкивы по найденным моментам и диаметрам шкивов D1 и D2 ;

4)определить давления на вал;

5)определить силы, изгибающие вал в горизонтальной и вертикальной плоскостях (вес шкивов и вала не учитывать);

6)построить эпюры изгибающих моментов от горизонтальных сил Му и вертикальных сил Мх ;

7)построить эпюру суммарных изгибающих моментов, используя формулу;

8)найти опасное сечение и определить величину максимального расчетного момента (по третьей теории прочности);

9)подобрать необходимый диаметр вала d при расчетном сопротивлении материала R = 70 МПа.

Решение задачи.

Используя заданные значения мощности N и числа оборота вала в минуту n , находим крутящий момент M1, приложенный к ведущему шкиву

Крутящие моменты, приложенные к ведомым, шкивам равны

Определяем крутящие моменты, действующие на грузовых участках заданного вала:

M zI = M zII = M 2 = 0,325 кНм;

249