Техническая механика / 4_Tekhnicheskaya_mekhanika_dlya_stroiteley

Как следует из уравнения (9.6), нулевая линия не перпендикулярна направлению действия результирующего изгибающего момента Mtot. Если главные моменты инерции поперечного сечения бруса J x = J y , что

справедливо для круга или правильного многоугольника, то tgj = -tga . В этом случае нейтральная линия и направление действия результирующего момента перпендикулярны друг другу и брус работает в условиях плоского изгиба.

§ 9.4 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ ПРИ КОСОМ ИЗГИБЕ

Рассмотрим перемещения, возникающие в консольной балке постоянного поперечного сечения от действия сосредоточенной силыF. Сила приложена под углом a относительно вертикальной оси Оу. Разложим внешнюю силу на две составляющие (рис. 9.3)

Fx = F sin a ; Fy = F cosa .

Воспользовавшись принципом независимости действия сил, определяем полный прогиб свободного конца балки

ftot = u2 + v2

230

где u - перемещение вдоль оси Ох;

v- перемещение вдоль оси Оу.

Действие сосредоточенной силы, приложенной к свободному кон-

цу консоли, вызывает осевые перемещения, определяемые по формулам

бруса лежит в плоскости, которая не совпадает с силовой плоскостью. В случаях действия пространственной системы внешних сил ось изогнутого стержня представляет собой пространственную кривую.

Заметим, что при равенстве осевых моментов инерции J x = J y (это

имеет место для круглого сечения и сечения в виде любого правильного многоугольника), направление суммарного прогиба всегда лежит в силовой плоскости и брус работает в условиях плоского изгиба.

ПРИМЕР 9.1

Исходные данные задачи.

Деревянная балка прямоугольного поперечного сечения с соотношением размеров h / b = 2 / 1 загружена системой внешних нагрузок, приложенных в вертикальной и горизонтальной плоскости(рис. 9.4). В

231

опорных устройствах балки возникают реактивные усилия, действующие как направлении оси х, так и оси у. Требуется:

1)показать схемы работы балки в вертикальной и горизонтальной плоскостях и построить эпюры изгибающих моментов Мх и Му;

2)установить положение опасного сечения;

3)из условия прочности при косом изгибе подобрать необходимые размеры поперечного сечения балки при расчетном сопротивлении материала R = 10 МПа;

4)определить положение нейтральной линии в опасном сечении балки и построить для указанного сечения эпюру распределения нормальных напряжений в аксонометрии.

Решение задачи.

Рассматриваем загружение балки в вертикальной плоскости. Воспользовавшись уравнениями статики, находим вертикальные опорные реакции

åmA = 0 ;

Используя полученные значения опорных реакций, строим эпюру моментов М х , вызывающих изгиб бруса в вертикальной плоскости.

Аналогичным образом рассматриваем работу балки в горизонтальной плоскости. Используя уравнения статики, определяем горизонтальные опорные реакции

åmA = 0 ;

Проверка

232

åx = 0 ; - H A + H B + F2 - q1 × c = -0,634 + 0,754 +1,0 -1,6 × 0,7 = 0 .

Используя найденные значения опорных реакций, строим эпюру моментов М у , изгибающих заданную балку в горизонтальной плоско-

сти. Анализируя построенные эпюры, приходим к выводу, что опасное сечение балки расположено в точкеС, где моменты М х и М у достига-

ют значительных величин.

q2=1,4 кН/м F1=2,0 кН

Запишем выражения для вычисления геометрических характеристик заданного прямоугольного сечения. Учитывая заданное соотноше-

233

Определяем положение нейтральной линии в опасном сечении

Полученный угол откладываем от осиОх. Направление действия результирующего момента Mtot в рассматриваемом сечении бруса -со ставляет угол a с вертикальной осью Оу, тогда,

Подбор размеров поперечного сечения выполняем из условия прочности по максимальным нормальным напряжениям

s max = M x + M y £ R .

Wx Wy

Подставляя в это условие ранее полученные выражения для моментов сопротивления поперечного сечения, получаем

Определяем значения нормальных напряжений в угловых точках поперечного сечения 1, 2, 3 и 4. В опасном сечении изгибающий момент

234

Рисунок 9.5

По найденным значениям строим эпюру распределения нормальных напряжений в опасном сечении в аксонометрии (рис. 9.5).

§9.4 ОПРЕДЕЛЕНИЕ НОРМАЛЬНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ В СЛУЧАЕ ВНЕЦЕНТРЕННОГО РАСТЯЖЕНИЯ ИЛИ СЖАТИЯ

Внецентренное растяжение или сжатие является частным случа-

ем сложного сопротивления прямого бруса. Загружение стержня осуществляется сосредоточенной силой, действующей параллельной его оси Оz, при этом точка ее приложения не совпадает с центром тяжести поперечного сечения С.

Пусть на массивный стержень постоянного поперечного сечения действует сосредоточенная сжимающая сила F, приложенная к его торцу

вточке Р (рис. 9.6). Координаты точки приложения внецентренной силы

всистеме главных осей указанного сечения обозначим черезхР и уР. Эти координаты в дальнейшем будем называть эксцентриситетами точки приложения силы.

Все сечения являются равноопасными, поэтому нет необходимости в построении эпюр внутренних силовых факторов. При загружении стержня внецентренной силой в его произвольном поперечном сечении возникают три внутренних силовых фактора: продольная сила Nz и два изгибающих момента Mx и My. Величины внутренних усилий могут быть определены из уравнений статического равновесия:

235

åz = 0 ; N z = F ;

åmx = 0 ; M x = F × уP ;

åmy = 0 ; M y = F × xP .

z F

ОyР

x

x

Рисунок 9.6

Рассмотрим поперечное сечение стержня на расстоянииz от начала координат. Вычислим нормальные напряжения в некоторой точкеK,

принадлежащей этому сечению. Точка K в системе главных -цен тральных осей (рис. 9.3) имеет положительные координаты хK и уK. При действии заданной силы продольное волокно стержня, которому принадлежит точка K, будет испытывать сжатие, как от продольной силы

N z , так и от изгибающих моментов Mx и My. Используя принцип независимости действия сил, получаем

Полученная формула позволяет вычислять нормальные напряжения в любой точке внецентренно сжатого стержня. Следует заметить, что знак в уравнении(9.7) зависит от заданного направления внешней внецентренно действующей силы. Если эта сила направлена от сечения (внецентренное растяжение), то нужно использовать знак «плюс». Если же заданная сила, как в рассматриваемом случае, направлена к сечению (внецентренное сжатие), то необходимо использовать знак «минус».

236

§9.5 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОЛОЖЕНИЯ НЕЙТРАЛЬНОЙ ЛИНИИ ПРИ ВНЕЦЕНТРЕННОМ РАСТЯЖЕНИИ ИЛИ СЖАТИИ

При внецентренном растяжении или сжатии короткой стойки в ее поперечном сечении появляется нейтральная линия, разделяющая области растяжения и сжатия продольных волокон(рис. 9.7). Таким образом, при внецентренном растяжении или сжатии поперечное сечение стойки поворачивается вокруг нейтральной линии.

Условием существования нейтральной линии является равенство нулю выражения (9.7). Обозначим координаты любой точки, принадлежащей нейтральной линии, как хN и уN. Тогда положение нейтральной линии может быть определено из следующего уравнения:

на чертеже. В результате на главных осях поперечного сечения имеем две точки E и D соответственно. Соединяя эти точки прямой N-N, получаем искомое положение нейтральной линии (рис. 9.7).

сила, то в точке А возникают максимальные сжимающие напряжения, а в точке В - максимальные растягивающие. Следовательно, условия прочности в наиболее напряженных точках поперечного сечения будут иметь вид:

237

где Rc - расчетное сопротивление материала стержня сжатию;

Rt - расчетное сопротивление материала стержня растяжению.

§9.6 ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ О ЯДРЕ СЕЧЕНИЯ

Вбольшинстве случаев строительные конструкции изготавливаются из хрупких материалов(кирпич, бетон, железобетон). Эти материалы хорошо работают на сжатие, но имеют низкую прочность при растяжении, поэтому при их использовании необходимо определить положение ядра сечения.

Рассмотрим случай внецентренного сжатия стойки произвольного поперечного сечения (рис. 9.8). Предположим, что точка приложения внецентренной силы F перемещается по прямым, проходящим через

238

Таким образом, ядром сечения называется замкнутая выпуклая область, очерченная вблизи центра тяжести поперечного сечения, характеризующаяся тем, что внецентренная сосредоточенная сила, приложенная внутри этой области, создает во всех волокнах стойки один вид простой деформации – растяжение или сжатие.

Чтобы построить ядро сечения, необходимо провести все возможные касательные к внешнему контуру поперечного сечения внецентренно нагруженной стойки, предполагая, что эти касательные являются нейтральными линиями. Для каждой касательной можно определить отрезки aх и aу , отсекаемые ими от главных центральных осей поперечно-

го сечения стойки и определяемые в соответствии с выражениями(9.11) координаты граничных точек ядра сечения. Соединяя полученные точки, получаем искомое ядро сечения.

Рисунок 9.9

Необходимо отметить, что если внешний контур сечения стойки состоит из прямолинейных отрезков, то ядро сечения является многоугольником. Этот многоугольник имеет столько вершин, сколько касательных можно провести к контуру сечения. Если же если внешний контур сечения имеет криволинейные очертания, то и ядро сечения будет иметь криволинейную границу. Для сечения симметричного относительно какой-нибудь оси ядро сечения тоже будет симметричным относительно этой же оси. Примеры построения ядра сечения приведены на рисунке 9.9.

239