Техническая механика / 4_Tekhnicheskaya_mekhanika_dlya_stroiteley

§ 8.9 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ. ИНТЕГРАЛ МОРА

здесь M, N, Q – моменты, нормальные и поперечные силы от суммарного действия сил первого и второго состояния, т.е.

220

где черточки показывают, что эти значения моментов, продольных и поперечных сил возникают от действия единичных сил.

Уравнение (8.31) можно записать в общем виде:

Выражение (8.32) применяется для определения перемещений в конкретном сечении стержневой системы и называетсяинтегралом Мора (формула Мора). При расчете конструкций работающих на изгиб (балок и рам) учитывают влияние только изгибающих моментовM, а влиянием N и Q пренебрегают.

§ 8.10 ПРАВИЛО ВЕРЕЩАГИНА

Правило Верещагина используют для численного вычисления интегралов типа (8.32). Оно формулируется следующим образом: инте-

Рассмотрим применение правила Верещагина при перемножении простейших эпюр. Пусть обе эпюры являются треугольниками, вершины которых направлены в одну сторону.

221

Полученные формулы называют

Запишем некоторые правила, которым необходимо следовать при определении перемещений по правилу Верещагина:

1. Ордината уС должна определяться на линейной эпюре. Если обе эпюры являются прямолинейными, то ординату уС можно находить по любой из эпюр.

2.Перемножаемые эпюры не должны иметь изломов. При их наличии эпюры необходимо перемножать по грузовым участкам.

3.Если ординаты двух перемножаемых эпюр расположены по разную сторону нулевых линий, то результат их перемножения будет отрицательным.

До сих пор мы рассматривали перемножение линейных эпюр. Если же одна из эпюр изменяется по квадратной параболе, то при определении перемещений удобно пользоваться способом разложения эпюр. Такую эпюру всегда можно представить как сумму или разность ее линейной части и параболического сегмента(рис. 8.18). При вычислении

222

Мора и правила Верещагина на следующих примерах.

ПРИМЕР 8.6

Исходные данные задачи.

Для двухопорной балки, загруженной равномерно распределенной нагрузкой (рис. 18.19), вычислить прогиб в середине ее пролета при условии, что EJ x = const .

223

Найденное значение перемещения DСР полностью соответствует результату, полученному в примере 8.2.

ПРИМЕР 8.7

Исходные данные задачи.

Определить горизонтальное смещение точкиС и угол поворота сечения в точке K плоской рамы, изображенной на рисунке 8.20 при заданном соотношении изгибных жесткостей ее стержней.

Решение задачи.

Построим грузовую эпюру изгибающих моментов от действия внешней нагрузки (МP). Далее выполняем построение единичных эпюр от действия силы Р = 1, приложенной в точке С по направлению искомого горизонтального смещения ( М гор ), и от действия момента М = 1,

приложенного в точке K по направлению искомого углового перемеще-

2а

Рисунок 8.20

Знак (+) в ответах означает, что горизонтальное смещение точки С направлено вправо(по направлению действия единичной силы), а угол поворота в сеченииK направлен против часовой стрелки(по направлению действия единичного момента).

В заключение следует отметить, что метод начальных параметров позволяет определить перемещения балки в любой ее точке. Графоаналитический метод позволяет найти прогибы и углы поворота сечения на границах грузовых участков балки. С помощью обоих методов можно получить эпюры перемещений в балках, но они не применимы к определению перемещений в рамах. Интеграл Мора обладает большей общностью и позволяет определить перемещение в заданном сечении раз-

224

личных стержневых систем. Однако, построение эпюр перемещений при его использовании является достаточно трудоемким, т.к. требует построения большого числа единичных эпюр и значительных объемов численных расчетов.

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ К ГЛАВЕ 8

1.Что называется прогибом балки и углом поворота сечения? Как они связаны между собой?

2.Чем отличаются точное и приближенное дифференциальные уравнения упругой линии балки?

3.Запишите приближенное дифференциальное уравнение упругой линии балки.

4.В какой последовательности определяются углы поворота сечения и прогибы при непосредственном интегрировании дифференциального уравнения упругой линии балки?

5.Чему равен прогиб свободного конца консольной балки, загруженной сосредоточенной силой?

6.Чему равен прогиб в середине пролета двухопорной балки, загруженной равномерно распределенной нагрузкой?

7.Что называется начальными параметрами?

8.По какой формуле определяются углы поворота сечения в методе начальных параметров?

9.По какой формуле вычисляют прогибы балки в методе начальных параметров?

10.Как определяют начальные параметры?

11.Как выбирается фиктивная нагрузка?

12.Чему соответствуют фиктивные изгибающие моменты и фиктивные поперечные силы?

13.Как выбираются схемы фиктивных балок?

14.По какой формуле определяют работу внутренних сил при растяжении или сжатии?

15.По какой формуле определяют работу внутренних сил при сдвиге?

16.По какой формуле определяют работу внутренних сил при чистом изгибе?

17.Как найти потенциальную энергию для плоской системы брусьев с прямыми осями?

18.От чего зависит коэффициент k в формуле работы внутренних сил при сдвиге?

225

19.Сформулируйте теорему Клапейрона о работе статически приложенных внешних сил. Записать ее аналитическое выражение.

20.Сформулируйте теорему Бетти о взаимности работ. Записать ее аналитическое выражение.

21.Сформулируйте теорему Максвелла о взаимности перемещений. Записать ее аналитическое выражение.

22.Как обозначают перемещения в единичном состоянии?

23.Записать формулу Мора для определения перемещений в плоской системе прямых стержней.

24.Каков порядок пользования формулой Мора?

25.Сформулировать правило Верещагина. Записать его аналитическое выражение.

226

ГЛАВА 9.

СЛОЖНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ

§9.1 ОБЩИЙ СЛУЧАЙ СЛОЖНОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ ПРЯМОГО БРУСА

При загружении прямого бруса разнообразными внешнимина грузками в его поперечных сечениях возникают шесть компонентов внутренних сил - продольная сила Nz, поперечные силы Qх и Qy, крутящий момент Мz и изгибающие моменты My и Mх. На практике одновременное действие всех перечисленных внутренних силовых факторов встречается крайне редко. Если при загружении бруса возникает такая комбинация внутренних усилий, что они будут действовать в различных главных плоскостях инерции, то мы имеем случай сложного сопротив-

ления. Под главной плоскостью инерции понимают плоскость, вклю-

чающую ось бруса z и одну из главных осей инерции поперечного сечения бруса (x или у). Плоскость, в которой действуют внешние нагрузки, принято называть силовой плоскостью. Если внешние нагрузки приложены в плоскости, не совпадающей ни с одной из главных плоскостей инерции, то возникает сложное сопротивление бруса.

Напряженное состояние, возникающее в случае сложного сопротивления бруса, можно получить суммированием напряженных состояний, вызванных действием каждого из внутренних силовых факторов в отдельности. Для этого используют принцип независимости действия сил. Принцип независимости действия сил применим во всех случаях, когда деформации материала бруса малы по сравнению с его размерами и подчиняются закону Гука.

Всоответствии с принципом независимости действия сил необходимо вычислить напряжения от каждого компонента внутренних усилий

вотдельности, а затем выполнить их суммирование. Зная нормальные и касательные напряжения в различных точках бруса, а также главные напряжения, можно выполнить проверку на прочность. Аналогичным образом могут быть найдены деформации или перемещения бруса.

Впоперечном сечении бруса, работающего в условиях сложного сопротивления, возникают как нормальные, так и касательные напряжения. Возникновение нормальных напряжений связано с действием продольной силы Nz и двух изгибающих моментовMy и Mх. При одновременном действии указанных внутренних силовых факторов нормальные напряжения в некоторой точке поперечного сечения бруса определяют по формуле

227

Касательные напряжения, возникающие в поперечном сечении бруса, связаны с действием крутящего моментаМz и двух поперечных сил Qх и Qy. В случае сложного сопротивления касательными напряжениями

от действия поперечных обычно пренебрегают из-за их малости по сравнению с другими компонентами напряженного состояния.

В дальнейшем мы будем рассматривать следующие частные случаи сложного сопротивления прямого бруса:

-косой изгиб (в поперечном сечении бруса действуют изгибающие моменты Mx и My);

-внецентренное растяжение или сжатие (в поперечном сечении бруса действуют изгибающие моментыMx и My, а также продольная сила Nz);

-совместное действие кручения и изгиба(в поперечном сечении бруса действуют изгибающие моменты Mx и My, а также крутящий момент Mz).

§9.2 КОСОЙ ИЗГИБ ПРЯМОГО БРУСА. ОПРЕДЕЛЕНИЕ НОРМАЛЬНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ

Косым называют изгиб, при котором направление действия суммарного изгибающего момента, возникающего в поперечном сечении бруса, не совпадает ни с одной из его главных осей(при этом направле-

ние действия суммарного момента обязательно должна проходить через центр тяжести сечения). Далее будем рассматривать только такие брусья, поперечные сечения которых обладают симметрией относительно их главных центральных осей.

228

где Мх и Му – изгибающие моменты;

Jx и Jy – главные моменты инерции поперечного сечения бруса; xK и уK – координаты точки K, где определяется напряжение.

Изгибающие моменты Мх и Му в формуле учитываются со знаком «+», если им соответствуют растягивающие нормальные напряжения, и со знаком «-», если они вызывают сжимающие напряжения.

В опасных точках поперечного сечения бруса(крайних точках поперечного сечения), работающего в условиях косого изгиба, возникают

где Wx и Wy – моменты сопротивления поперечного сечения бруса.

§9.3 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОЛОЖЕНИЯ НЕЙТРАЛЬНОЙ ЛИНИИ ПРИ КОСОМ ИЗГИБЕ

При косом изгибе в поперечном сечении бруса появляется -ней тральная (нулевая) линия, разделяющая области растяжения и сжатия его продольных волокон. Условием существования нейтральной линии N-N является равенство нулю выражения(9.2). Обозначим координаты любой точки, принадлежащей нейтральной линии, как хN и уN. Тогда положение нейтральной линии может быть определено из следующего уравнения:

Координаты хN и уN связаны линейно, следовательно, полученное уравнение является уравнением прямой. Если xN = 0 и yN = 0 , то равенство (1.3) выполняется, поэтому при косом изгибе нейтральная линия N-N всегда проходит через центр тяжести поперечного сечения бруса.

Для определения положения нейтральной линии рассмотрим -от

Пусть изгибающие моменты M x и M у в выбранной системе коор-

динат имеют одинаковый знак (рис. 9.2), тогда правая часть выражения (9.5) будет положительной. Следовательно, уравнение удовлетворяется,

229