Добавил:
proza.ru http://www.proza.ru/avtor/lanaserova Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Герасимова И.А. (ред.) - Мысль и искусство аргументации - 2003

.pdf
Скачиваний:
84
Добавлен:
15.09.2017
Размер:
27.72 Mб
Скачать

Меркулов И.П. Когнитивные типы мышления

289

пирически подтвержденные основания для качественного

разграничения эмпирических наук (физика, химия, био­ логия и т. д.) и наук формальных (математика и логика).

Благодаря этому открытию стало ясно, что математика и

логика имеют непосредственное отношение к особой ре­

альности - к протекающим в нашем мозге процессам пе­

реработки информации, к аналитическим стратегиям на­

шего знаково-символического (логико-вербального) мыш­

ления (функционирующего, естественно, в кооперации с мышлением пространственно-образным), которыми мы в состоянии сознательно управлять (частично). С этой точ­

ки зрения, математика - это не наука о числе, простран­

стве и т. д., а наука об идеализированных математических

структурах, специальных формальных структурах наше­

го (неречевого) знаково-символического мышления, кото­

рые она описывает с помощью аксиоматических теорий.

Независимо от способов репрезентации концептуальных

объектов - будь то теоретико-множественные, алгебраи­ ческие и пр. символы либо визуально представляемые символические изображения в виде геометрических фи­

гур, графиков и т. д. - математика конструирует свои

формальные структуры на основе собственных гипотез и идеализированных аналитических стратегий (и формаль­

ных логических правил)*. Разумеется, это не означает, что

математическое познание не использует ресурсов простра­

нственно-образного мышления. В силу межполушарной

* Можно спорить с неоинтуиционизмом по вопросу о том, является ли гео­

метрия самостоятельной областью математики (если, конечно, не считать

самого понятия континиума, вытекающего из их представления о «свободно

становящихся последовательностях») и сводится ли она к анализу или нет. Но каким бы ни был итог этого спора, он не может изменить эпистемологи­

ческой природы положений математю<и. Использование наглядных сим­

вольных репрезентаций в математике не означает, что манипулирование

ими здесь подчинено только врожденным неартикулированным холисти­

ческим стратегиям пространственно-образного мышления. Необходимо

учитывать, что доминирующее знаково-символическое мышление порожда­

ет свою собственную «Модель» пространственно-образного мышления, т. е. своего рода «дополнительное» пространственно-образное мышление, где до­ минируют аналитические стратегии переработки визуально репрезентируе­ мой когнитивной информации. Переход от аналитических» к «геометричес­ ким» репрезентациям и обратно дает огромные когнитивные преимущества

в математике.

290

Раздел З. Аргументация в зеркале эпистемологии

кооперации и «разделения труда» именно это мышление,

кроме всего прочего, обеспечивает общее целостное пони­

мание смысла математических формализмов.

Как формальные системы математические теории не­ посредственно не приложимы к внешней действительнос­

ти, к «внемыслительноЙ>) реальности, и ничего о ней не го­ ворят. Но они применимы к этой действительности опосре­ дованно - через применение к когнитивной информации, извлекаемой нами из окружающей среды, через примене­

ние к нашим эмпирическим знаниям, теоретическим до­

пущениям и гипотезам. Математические формализмы

позволяют извлечь из концептуальных объектов эмпири­

ческих наук новые знания о природных и социальных яв­

лениях. Это дает некоторое основание в дальнейшем рас­

сматривать полученные знания как «описание природы•),

«описание социальных отношений>) и т.д. Исследуя функ­ ционирование механизмов, технических устройств и т.п. с помощью математических моделей, мы можем также

вычислить ранее неизвестную концептуальную информа­

цию, касающуюся их поведения в различных ситуациях,

сделать соответствующие расчеты, позволяющие улуч­

шить их конструкции, их производительность, эффектив­

ность, экономичность и т. д. Разумеется, научные и техни­ ческие знания, полученные благодаря применению мате­ матических формализмов, подлежат эмпирическим (экс­ периментальным) проверкам, которые могут их

подтвердить или опровергнуть. Но это не означает, что вместе с этими знаниями подобной эмпирической провер­

ке подвергаются математические формализмы, обеспечи­ вающие их выведение, - в силу своей независимости от эмпирического опыта, относящегося к внешней реальнос­ ти, они не могут быть с его помощью доказаны или опрове­

ргнуты.

В формальных аксиоматических теориях математики

значения исходных терминов с самого начала не определя­

ются, и они остаются неопределенными при выводе теорем

из аксиом. Мы поэтому можем произвольно выбирать зна­

чения этих исходных терминов при одном только условии,

что аксиомы останутся истинными. Но почему мы выби­

раем именно эти аксиомы, а не другие? Выбор диктуется

прежде всего тем, приложима ли данная система к любым

Меркулов И.П. Когнитивные типы мышления

291

объектам, заданным извне, в качестве интерпретации ис­

ходных терминов. Во многих случаях в качестве интерп­ ретации какой-либо системы аксиом берется система объ­ ектов из какой-нибудь другой аксиоматической теории.

Тогда вопрос сводится к значению этой другой аксиомати­ ческой теории. Но когда мы утверждаем, что какое-то конкретное предложение данной формальной аксиомати­ ческой теории является теоремой и что оно истинно, то это

означает лишь, что это предложение вытекает из аксиом.

Однако вопрос о том, что этому предложению соответству­

ет в действительности и соответствует ли вообще, остается открытым, поскольку в формальной аксиоматике фор­ мальные выводы проводятся до какого бы то ни было при­ писывания значений исходным терминам. Неопределен­

ность исходных терминов и нефиксированность операций

составляют теоретическую основу универсальности мате­

матики, многообразия приложений математических фор­

мализмов в самых различных дисциплинах. Убедитель­ ным примером здесь может служить современная алгебра, в частности абстрактная теория групп, система аксиом ко­

торой допускает существенно различные интерпрета­ ции - она обеспечивает извлечение новой когнитивной информации из самых разнообразных концептуальных объектов, будь то античастицы (ядерная физика) или брачные отношения (социология). Таким образом, в силу

своей природы «ЯЗЫК» математики, язык формальных

математических структур знаково-символического мыш­

ления универсален.

Поскольку математические формализмы обеспечивают выведение новой информации, потенциально содержа­ щейся в концептуальных объектах эмпирических наук, то

в условиях архаического, преимущественно образного

мышления возникает когнитивная уверенность в том, что

эти формализмы каким-то образом согласуются со струк­

турами внешней реальности. Примером может служить

«числовая парадигма» древних пифагорейцев, сформули­

рованная в их известном тезисе: «Все есть число». Конеч­

но, мы можем превращать эти наши интеллектуальные

орудия в некое знание о внешнем мире только в силу того,

что действительно мыслим с их помощью. Отождествляя цель и эффективное средство ее достижения («магия це-

292

Раздел 3. Аргументация в зеркале эпистемологии

ЛИ»), архаическое мышление распространяет эту когни­

тивную установку и на ма'rематические формализмы, ори­

ентируя на поиск соответствующих коррелятов в структу­

рах внешней реальности. Аналогичным образом дело обс­

тояло и с логическими истинами, которым на протяжении

многих веков, начинал с Аристотеля, приписывалась он­ тологическая интерпретация. Постепенная эволюция ло­ гико-вербального мышления (в кооперации с мышлением пространственно-образным) создала предпосылки для разрушения атавизмов древней «магии цели» и способ­ ствовала формированию все более артикулированных

эпистемологических представлений о наших интеллекту­

альных инструментах познания.

По-видимому, некоторые элементарные математичес­

кие структуры врожденны в силу генетической детерми­

нированности встроенных в нашу когнитивную систему

аналитических стратегий знаково-символического мыш­ ления. В пользу этого также свидетельствуют результаты исследований интеллекта отдельных видов животных (в частности, птиц), обладающих зачатками неречевого зна­

ково-символического мышления, - как оказалось, они

способны считать предметы (естественно, в весьма ограни­ ченных пределах). История прикладной математики бе­ рет свое начало с простейших арифметических вычисле­ ний и геометрических построений, отвечавших сакраль­

ным и сугубо прозаическим, практическим целям. Изоб­ ретение языка символов и формул позволило (по крайней мере уже древневавилонским ма'rематикам) конструиро­ вать из простейших математических формализмов все бо­ лее сложные и абстрактные, не заботясь о том, имеют ли они какое-либо прикладное значение. Развитие устной культуры и искусства аргументации в Древней Греции

способствовало формированию теоретической математи­

ки, где впервые стали применяться неформальные доказа­

тельства (с помощью геометрических построений, силло­

гистического типа и др.). Критерии неформальных дока­

зательств эволюционировали на протяжении всей после­ дующей истории математики, оставаясь при этом достаточно неопределенными. Даже интуиционистской математике, вопреки первоначальным планам Брауэра, так и не удалось разработать критерии абсолютного поил-

Меркулов И.П. Когнитивные типы мышления

293

тия конструктивного доказательства, а лишь его более слабые и более сильные версии. Только по отношению

к формальным доказательствам, отвечающим жесткому

набору требований, можно говорить о стандартах строгос­

ти, не зависящих от времени. Но ведь многие математи­

ческие теории, в том числе такие «Простые», как, напри­

мер, арифметика натуральных чисел, формально не акси­

оматизируемы. По-видимому, любой перечень методов

математического доказательства и принципов построения

математических объектов всегда остается и должен оста­

ваться неполным. К тому же эти методы и принципы под­

лежат пересмотру и уточнению, поскольку возможность

дальнейшего расширения и углубления конструктивных способностей человеческого мышления ничем не ограни­ чена (естественно, в пределах эволюции человека как био­ логического вида). Таким образом, элементы гипотетич­ ности, предположительности обязательно присущи мате­

ма'!·ическим формализмам как идеализированным,

абстрактным структурам знаково-символического мыш­

ления (за исключением, быть может, самых простейших).

Эпистемологический статус утверждений формальных

наук ничем принципиально не отличается от статуса гипо­

тез наук эмпирических, хотя они и имеют прямое отноше­

ние к аналитическим стратегиям переработки информа­

ции, которыми мы можем непосредственно сознательно управлять (хотя бы частично) и которые мы в состоянии

представить в идеализированном виде и конструктивно

оптимизировать. Конечно, появление современной вычис­ лительной техники, ее бурное развитие за последние деся­

тилетия постепенно нивелирует пропасть между искус­

ственным и ес•rественным интеллектами. Можно ли утве­ рждать в этой связи, что эпистемологический статус (сте­ пень достоверности) математических утверждений,

доказательс·rво которых проведено с использованием сов­

ременной вычислительной техники, не уступает утверж­

дениям, полученным традиционным способом?

В качестве формальных систем математические теории не обязательно должны быть наглядными или «интуитив­

но истинными» - наглядность и интуитивная достовер­

ность не являются их критериями истинности. Достаточ­ но лишь, чтобы эти теории были бы формально правиль-

294

Раздел 3. Аргументация в зеркале эпистемологии

ными, свободными от внутренних противоречий. В рам­

ках формальной аксиоматики система аксиом может быть также исследована на предмет наличия таких свойств, как независимость какой-либо аксиомы от других, полно­

та, категоричность и т. д. Традиционным способом про­

верки истинности, формальной правильности математи­

ческих доказательств является их перепроверка другими

математиками, сообщество которых выступает в роли окончательных судей. Однако математики тоже люди, и они могут ошибаться - такие случаи широко известны из истории научного познания. Формализация доказа­

тельств автоматизировала вычисления и тем самым созда­

ла предпосылки для конструирования современной вы­ числительной техники. Создание такой техники, в свою

очередь, открыло новые возможности для проверки пра­

вильности математических доказательств и их поиска

компьютером. Первые попытки использовать ЭВМ для

проверки и получения логико-математических доказа­

тельств были предприняты еще в 50-х гг. ХХ в. (програм­

ма «Логический теоретик>)). К настоящему времени эта

область применения ЭВМ значительно расширилась, при­

чем перечень проблем, решаемых только компьютером,

постоянно пополняется.

Одной из таких проблем, представляющей особый инте­

рес для эпистемологии, является доказательство матема­

тических гипотез и решение задач, относящихся к катего­

рии необозримых. В таких случаях традиционные методы вычислений и проверки полностью исключаются - ника­ кой исследователь не в состоянии ни провести требуемые

вычисления «вручную>), ни шаг за шагом повторить и пе­

репроверить весь процесс доказательств или решений. По­ иск необозримых доказательств и их верификация могует быть осуществлены исключительно «искусственным ин­

теллектом>), компьютером. Поскольку доказательство

в формальных дедуктивных системах является эффек­

тивным, т. е. существует некоторая механическая проце­

дура, задающая последовательнос'lъ выполнения тех или

иных действий (алгоритм), которая позволяет проверить, будет ли полученная последовательность формул пра­

вильно построенным выводом или нет, то задача проверки

правильности формального доказательства, представлен-

Меркулов И.П. Когнитивные типы мышления

295

ного в виде текста, оказывается алгоритмически разреши­

мой и может быть реализована на компьютере. Перепро­

верку формальных доказательств в принципе может вы­

полнить любой компьютер, обладающий нужными вычис­

лительными характеристиками. Таким образом, в случае

формального вывода полученные результаты оказывают­

ся независимыми от конкретного типа компьютера. Более

того, они также независимы и от программы, обеспечива­ ющей получение формального вывода, и даже от языка программирования, который был использован для напи­ сания исходной программы. Сложнее дело обстоит с про­ веркой правильности программ.

Компьютер представляет собой физическое устрой­

ство, состоящее из электронных микросхем, материаль­

ных накопителей информации, оборудования для ее ввода

и вывода и т.д., которое обеспечивает его функционирова­ ние как логического устройства, позволяющего предста­

вить доказательства в виде формальных выводов в некото­

рой дедуктивной системе и зафиксировать эти выводы на

материальных носителях информации. Работоспособ­ ность аппаратных средств, отсутствие у оборудования ошибок и сбоев в работе можно проверить с помощью соот­

ветствующих тестов, перепроверки результатов тестовых

вычислений на других компьютерах и т.д. Если работос­ пособность компьютера как физического и логического устройств сомнений не вызывает, то для проверки пра­

вильности необозримых доказательств и решений остает­

ся лишь убедиться в правильности соответствующих прог­ рамм. На практике правильность программы (алгоритма)

выявляется на этапе ее прогона и проверки с помощью спе­

циальных тестов, подбор которых во многих случаях представляет собой далеко не тривиальную задачу. Такое

тестирование, по-видимому, носит сугубо теоретический

характер, так как в ходе него соотносятся два теоретичес­

ких продукта - программа и полученные с ее помощью

результаты вычислений. Однако положительные тесты

все же не могут гарантировать отсутствие логических

ошибок в программе и служить доказательством ее пра­ вильности. Проблема сдвигается в плоскость традицион­

ных методов, поскольку удостовериться в формальном вы­ полнении алгоритма и тем самым доказать формальную

296

Раздел 3. Аргументация в зеркале эпистемологии

правильность программы может только человек. Рассмат­

ривая текст программы как статический математический объект, на который распространяются аксиомы и логико­ математические правила вывода, разработчик должен «вручную» воспроизвести действия, строго соответствую­

щие имеющемуся алгоритму. Если для создания програм­ мы был использован язык с обозримым алфавитом, то до­

казательство правильности программы оказывается обоз­

ри.мой процедурой и осуществить его не представляет осо­ бого труда. Обозримая программа в принципе способна совершить необозримое число шагов, проверить и вывести сколь угодно длинные формулы. Если же текст програм­ мы необозримый, то доказательство правильности такой программы оказывается задачей алгоритмически нераз­

решимой (так как вопрос о завершении, остановке произ­ вольного вычисления остается открытым), которая немо­

жет быть реализована на компьютере. Понятно, что толь­ ко в случае обозримости используемых программ, а также

при наличии формального вывода в некоторой формаль­ ной дедуктивной системе степень строгости и эпистемоло­ гический статус математических утверждений, доказа­

тельство которых проведено с использованием современ­

ной вычислительной техники, нисколько не уступает ре­ зультатам, полученным традиционным способом.

1.3. Эпистемологические особенности

логики как формальной науки

Хотя логицизму не удалось полностью выполнить

свою программу - свести математику к логике и решить

проблемы, связанные с появлением аномалий (парадок­

сов) в классической теории множеств, - попытки ее ре­ ализации послужили хорошим стимулом для дальней­ шего развития логических исследований. Во второй по­

ловине XIX в. благодаря усилиям Дж. Буля, О. Морга­ на, Э. Шредера и Г. Фреге в логике произошла своего

рода научная революция - ее результатом оказалось

широкое использование математических методов, при­

сущего математике языка символов и формул. Класси­

ческая математическая логика послужила основным

инструментом для исследования проблем основания ма-

Меркулов И.П. Когнитивные типы мышления

297

тематики на рубеже XIX-XX вв. Однако открытие в на­

чале ХХ в. логико-математических парадоксов постави­ ло под сомнение абсолютную строгость и надежность классической логики как средства математического до­

казательства - именно на логику многие исследователи

возлагали ответственность за их появление. Попытки

устранить обнаруженные парадоксы путем реконструк­ ции классической логики повлекли за собой ее формали­ зацию, разработку теории типов, создание интуиционис­

тской логики и, наконец, формирование различных вет­

вей современной неклассической логики - модальной логики (рассматривающей понятия необходимости, воз­ можности, случайности и т. д.), релевантной логики

(описывающей отношения логического следования и ус­

ловной связи), многозначной логики (допускающей бо­ лее двух значений истинности), вероятностной логики (использующей теорию вероятности для анализа пробле­ матичных рассуждений), паранепротиворечивой логики (исключающей вывод всего что угодно из противоречия),

эпистемической логики (исследующей высказывания с модальностями «знаю, что», «верю, что» и т. д.) и др. В отличие от классической математической логики, ко­

торая ориентировалась главным образом на использова­ ние в математике, в область исследования современной

неклассической логики все в большей степени вовлека­

ются также естественные и социогуманитарные науки.

Несмотря на то что логика возникла еще в IV в. до Р.Х.

и ее методы на протяжении столь длительного историчес­

кого периода менялись, основная задача этой науки в об­ щем и целом существенно не претерпела изменений - она

всегда исследовала и продолжает исследовать то, как из

одних утверждений логически выводятся другие утверж­ дения. Логика исходит из предположения, что логичес­

кий вывод зависит только от «формы>}, т. е. от способа свя­

зи входящих в него утверждений и их структуры (строе­ ния), а не от конкретного содержания этих утверждений.

Современная неклассическая логика не внесла в этот под­

ход каких-либо принципиальных изменений - все ее раз­

делы и направления также игнорируют конкретное содер­

жание высказываний (умозаключений) и оперируют толь­

ко с их логической формой, структурой. Логика, как и ма-

298

Раздел З. Аргументация в зеркале эпистемологии

тематика, не является опытной, эмпирически верифици­ руемой наукой и в силу этого не может быть отображени­ ем каких-то «наиболее общих отношений реального ми­

ра» или «реального положения дел в физическом мире».

Аналогичным образом она имеет непосредственное отноше­

ние лишь к нашему знаково-символическому мышлению,

а точнее, к его разновидности - мышлению логико-вер­

бальному. Логика - это наука о формальных логических структурах вербального мышления, принудительная сила которых вытекает из их тавтологичности. Формулы, предс­ тавляющие любой логический закон, всегда истинны, неза­ висимо от каких-либо интерпретаций переменных. Все за­

коны логики являются логическими тавтологиями, кото­

рые нельзя подтвердить или опровергнуть никаким опы­

том. Конечно, логические тавтологии «пусты» в том

смысле, что не содержат когнитивной информации о внеш­ нем мире. Но эти формализмы содержат информацию об

идеализированном, «правильном» мышлении, о правилах

этого мышления, которые обеспечивают трансляцию ис­ тинностных значений от посылок к заключениям. Благода­

ря этому они позволяют выявить скрытую, потенциально

содержащуюся в концептуальных сущностях, когнитив­

ную информацию.

Мы начинаем пользоваться логикой практически с того момента, как начинаем говорить. Нетрудно заметить, что

многие люди способны мыслить и рассуждать логически правильно (по крайней мере в простых случаях) сугубо ин­ туитивно, не обладая какими-либо знаниями о законах ло­

гики. И это неудивительно, так как в популяциях с отно­

сительным доминированием знаково-символического

мышления имеется генетически врожденная предраспо­

ложенность к использованию преимущественно аналити­

ческих стратегий переработки когнитивной информации.

Такие логические правила, как modus ponens и modus tollens, по-видимому, входят в набор мыслительных схем,

посредством которых реализуются некоторые «встроен­

ные» в нашу когнитивную систему аналитические страте­

гии. Разумеется, эти мыслительные схемы (так же как и

достаточно развитый естественный язык) не возникают

в окончательном и готовом виде одновременно с появлени­

ем Homo sapiens и в этом смысле не являются нашим фи-