Герасимова И.А. (ред.) - Мысль и искусство аргументации - 2003

кооперации и «разделения труда» именно это мышление,

кроме всего прочего, обеспечивает общее целостное пони­

мание смысла математических формализмов.

Как формальные системы математические теории не­ посредственно не приложимы к внешней действительнос­

ти, к «внемыслительноЙ>) реальности, и ничего о ней не го­ ворят. Но они применимы к этой действительности опосре­ дованно - через применение к когнитивной информации, извлекаемой нами из окружающей среды, через примене­

ние к нашим эмпирическим знаниям, теоретическим до­

пущениям и гипотезам. Математические формализмы

позволяют извлечь из концептуальных объектов эмпири­

ческих наук новые знания о природных и социальных яв­

лениях. Это дает некоторое основание в дальнейшем рас­

сматривать полученные знания как «описание природы•),

«описание социальных отношений>) и т.д. Исследуя функ­ ционирование механизмов, технических устройств и т.п. с помощью математических моделей, мы можем также

вычислить ранее неизвестную концептуальную информа­

цию, касающуюся их поведения в различных ситуациях,

сделать соответствующие расчеты, позволяющие улуч­

шить их конструкции, их производительность, эффектив­

ность, экономичность и т. д. Разумеется, научные и техни­ ческие знания, полученные благодаря применению мате­ матических формализмов, подлежат эмпирическим (экс­ периментальным) проверкам, которые могут их

подтвердить или опровергнуть. Но это не означает, что вместе с этими знаниями подобной эмпирической провер­

ке подвергаются математические формализмы, обеспечи­ вающие их выведение, - в силу своей независимости от эмпирического опыта, относящегося к внешней реальнос­ ти, они не могут быть с его помощью доказаны или опрове­

ргнуты.

В формальных аксиоматических теориях математики

значения исходных терминов с самого начала не определя­

ются, и они остаются неопределенными при выводе теорем

из аксиом. Мы поэтому можем произвольно выбирать зна­

чения этих исходных терминов при одном только условии,

что аксиомы останутся истинными. Но почему мы выби­

раем именно эти аксиомы, а не другие? Выбор диктуется

прежде всего тем, приложима ли данная система к любым

объектам, заданным извне, в качестве интерпретации ис­

ходных терминов. Во многих случаях в качестве интерп­ ретации какой-либо системы аксиом берется система объ­ ектов из какой-нибудь другой аксиоматической теории.

Тогда вопрос сводится к значению этой другой аксиомати­ ческой теории. Но когда мы утверждаем, что какое-то конкретное предложение данной формальной аксиомати­ ческой теории является теоремой и что оно истинно, то это

означает лишь, что это предложение вытекает из аксиом.

Однако вопрос о том, что этому предложению соответству­

ет в действительности и соответствует ли вообще, остается открытым, поскольку в формальной аксиоматике фор­ мальные выводы проводятся до какого бы то ни было при­ писывания значений исходным терминам. Неопределен­

ность исходных терминов и нефиксированность операций

составляют теоретическую основу универсальности мате­

матики, многообразия приложений математических фор­

мализмов в самых различных дисциплинах. Убедитель­ ным примером здесь может служить современная алгебра, в частности абстрактная теория групп, система аксиом ко­

торой допускает существенно различные интерпрета­ ции - она обеспечивает извлечение новой когнитивной информации из самых разнообразных концептуальных объектов, будь то античастицы (ядерная физика) или брачные отношения (социология). Таким образом, в силу

своей природы «ЯЗЫК» математики, язык формальных

математических структур знаково-символического мыш­

ления универсален.

Поскольку математические формализмы обеспечивают выведение новой информации, потенциально содержа­ щейся в концептуальных объектах эмпирических наук, то

в условиях архаического, преимущественно образного

мышления возникает когнитивная уверенность в том, что

эти формализмы каким-то образом согласуются со струк­

турами внешней реальности. Примером может служить

«числовая парадигма» древних пифагорейцев, сформули­

рованная в их известном тезисе: «Все есть число». Конеч­

но, мы можем превращать эти наши интеллектуальные

орудия в некое знание о внешнем мире только в силу того,

что действительно мыслим с их помощью. Отождествляя цель и эффективное средство ее достижения («магия це-

ЛИ»), архаическое мышление распространяет эту когни­

тивную установку и на ма'rематические формализмы, ори­

ентируя на поиск соответствующих коррелятов в структу­

рах внешней реальности. Аналогичным образом дело обс­

тояло и с логическими истинами, которым на протяжении

многих веков, начинал с Аристотеля, приписывалась он­ тологическая интерпретация. Постепенная эволюция ло­ гико-вербального мышления (в кооперации с мышлением пространственно-образным) создала предпосылки для разрушения атавизмов древней «магии цели» и способ­ ствовала формированию все более артикулированных

эпистемологических представлений о наших интеллекту­

альных инструментах познания.

По-видимому, некоторые элементарные математичес­

кие структуры врожденны в силу генетической детерми­

нированности встроенных в нашу когнитивную систему

аналитических стратегий знаково-символического мыш­ ления. В пользу этого также свидетельствуют результаты исследований интеллекта отдельных видов животных (в частности, птиц), обладающих зачатками неречевого зна­

ково-символического мышления, - как оказалось, они

способны считать предметы (естественно, в весьма ограни­ ченных пределах). История прикладной математики бе­ рет свое начало с простейших арифметических вычисле­ ний и геометрических построений, отвечавших сакраль­

ным и сугубо прозаическим, практическим целям. Изоб­ ретение языка символов и формул позволило (по крайней мере уже древневавилонским ма'rематикам) конструиро­ вать из простейших математических формализмов все бо­ лее сложные и абстрактные, не заботясь о том, имеют ли они какое-либо прикладное значение. Развитие устной культуры и искусства аргументации в Древней Греции

способствовало формированию теоретической математи­

ки, где впервые стали применяться неформальные доказа­

тельства (с помощью геометрических построений, силло­

гистического типа и др.). Критерии неформальных дока­

зательств эволюционировали на протяжении всей после­ дующей истории математики, оставаясь при этом достаточно неопределенными. Даже интуиционистской математике, вопреки первоначальным планам Брауэра, так и не удалось разработать критерии абсолютного поил-

тия конструктивного доказательства, а лишь его более слабые и более сильные версии. Только по отношению

к формальным доказательствам, отвечающим жесткому

набору требований, можно говорить о стандартах строгос­

ти, не зависящих от времени. Но ведь многие математи­

ческие теории, в том числе такие «Простые», как, напри­

мер, арифметика натуральных чисел, формально не акси­

оматизируемы. По-видимому, любой перечень методов

математического доказательства и принципов построения

математических объектов всегда остается и должен оста­

ваться неполным. К тому же эти методы и принципы под­

лежат пересмотру и уточнению, поскольку возможность

дальнейшего расширения и углубления конструктивных способностей человеческого мышления ничем не ограни­ чена (естественно, в пределах эволюции человека как био­ логического вида). Таким образом, элементы гипотетич­ ности, предположительности обязательно присущи мате­

ма'!·ическим формализмам как идеализированным,

абстрактным структурам знаково-символического мыш­

ления (за исключением, быть может, самых простейших).

Эпистемологический статус утверждений формальных

наук ничем принципиально не отличается от статуса гипо­

тез наук эмпирических, хотя они и имеют прямое отноше­

ние к аналитическим стратегиям переработки информа­

ции, которыми мы можем непосредственно сознательно управлять (хотя бы частично) и которые мы в состоянии

представить в идеализированном виде и конструктивно

оптимизировать. Конечно, появление современной вычис­ лительной техники, ее бурное развитие за последние деся­

тилетия постепенно нивелирует пропасть между искус­

ственным и ес•rественным интеллектами. Можно ли утве­ рждать в этой связи, что эпистемологический статус (сте­ пень достоверности) математических утверждений,

доказательс·rво которых проведено с использованием сов­

ременной вычислительной техники, не уступает утверж­

дениям, полученным традиционным способом?

В качестве формальных систем математические теории не обязательно должны быть наглядными или «интуитив­

но истинными» - наглядность и интуитивная достовер­

ность не являются их критериями истинности. Достаточ­ но лишь, чтобы эти теории были бы формально правиль-

ного в виде текста, оказывается алгоритмически разреши­

мой и может быть реализована на компьютере. Перепро­

верку формальных доказательств в принципе может вы­

полнить любой компьютер, обладающий нужными вычис­

лительными характеристиками. Таким образом, в случае

формального вывода полученные результаты оказывают­

ся независимыми от конкретного типа компьютера. Более

того, они также независимы и от программы, обеспечива­ ющей получение формального вывода, и даже от языка программирования, который был использован для напи­ сания исходной программы. Сложнее дело обстоит с про­ веркой правильности программ.

Компьютер представляет собой физическое устрой­

ство, состоящее из электронных микросхем, материаль­

ных накопителей информации, оборудования для ее ввода

и вывода и т.д., которое обеспечивает его функционирова­ ние как логического устройства, позволяющего предста­

вить доказательства в виде формальных выводов в некото­

рой дедуктивной системе и зафиксировать эти выводы на

материальных носителях информации. Работоспособ­ ность аппаратных средств, отсутствие у оборудования ошибок и сбоев в работе можно проверить с помощью соот­

ветствующих тестов, перепроверки результатов тестовых

вычислений на других компьютерах и т.д. Если работос­ пособность компьютера как физического и логического устройств сомнений не вызывает, то для проверки пра­

вильности необозримых доказательств и решений остает­

ся лишь убедиться в правильности соответствующих прог­ рамм. На практике правильность программы (алгоритма)

выявляется на этапе ее прогона и проверки с помощью спе­

циальных тестов, подбор которых во многих случаях представляет собой далеко не тривиальную задачу. Такое

тестирование, по-видимому, носит сугубо теоретический

характер, так как в ходе него соотносятся два теоретичес­

ких продукта - программа и полученные с ее помощью

результаты вычислений. Однако положительные тесты

все же не могут гарантировать отсутствие логических

ошибок в программе и служить доказательством ее пра­ вильности. Проблема сдвигается в плоскость традицион­

ных методов, поскольку удостовериться в формальном вы­ полнении алгоритма и тем самым доказать формальную

тематики на рубеже XIX-XX вв. Однако открытие в на­

чале ХХ в. логико-математических парадоксов постави­ ло под сомнение абсолютную строгость и надежность классической логики как средства математического до­

казательства - именно на логику многие исследователи

возлагали ответственность за их появление. Попытки

устранить обнаруженные парадоксы путем реконструк­ ции классической логики повлекли за собой ее формали­ зацию, разработку теории типов, создание интуиционис­

тской логики и, наконец, формирование различных вет­

вей современной неклассической логики - модальной логики (рассматривающей понятия необходимости, воз­ можности, случайности и т. д.), релевантной логики

(описывающей отношения логического следования и ус­

ловной связи), многозначной логики (допускающей бо­ лее двух значений истинности), вероятностной логики (использующей теорию вероятности для анализа пробле­ матичных рассуждений), паранепротиворечивой логики (исключающей вывод всего что угодно из противоречия),

эпистемической логики (исследующей высказывания с модальностями «знаю, что», «верю, что» и т. д.) и др. В отличие от классической математической логики, ко­

торая ориентировалась главным образом на использова­ ние в математике, в область исследования современной

неклассической логики все в большей степени вовлека­

ются также естественные и социогуманитарные науки.

Несмотря на то что логика возникла еще в IV в. до Р.Х.

и ее методы на протяжении столь длительного историчес­

кого периода менялись, основная задача этой науки в об­ щем и целом существенно не претерпела изменений - она

всегда исследовала и продолжает исследовать то, как из

одних утверждений логически выводятся другие утверж­ дения. Логика исходит из предположения, что логичес­

кий вывод зависит только от «формы>}, т. е. от способа свя­

зи входящих в него утверждений и их структуры (строе­ ния), а не от конкретного содержания этих утверждений.

Современная неклассическая логика не внесла в этот под­

ход каких-либо принципиальных изменений - все ее раз­

делы и направления также игнорируют конкретное содер­

жание высказываний (умозаключений) и оперируют толь­

ко с их логической формой, структурой. Логика, как и ма-