Герасимова И.А. (ред.) - Мысль и искусство аргументации - 2003

«Только раз бывает в жизни маза!»?

Один из рекламных роликов справедливо провозглашает:

Иногда лучше думать головой. Правда, когда в рекламе пы­

таются демонстрировать интеллект, получается еще хуже.

«Параллельные прямые не пересекаются.Доказано Евкли­

дом», - говорит реклама. Авторам ее невдомек, что говорят они глупость. Евклид в отличие от них знал, что параллель­ ными называются лежащие в одной плоскости прямые, ко­

торые не пересекаются. И Цельсий не доказывал, что «вода

замерзает при нуле градусов». В своей шкале температур

за ноль он принял температуру замерзания воды.

Определенный оптимизм внушает то, что над рекламой

начинают остроумно издеваться:

Пришлите четыре крышечки от унитаза, и вы получи­ те бесплатный рулончик туалетной бумаги! Пришлите

шестьсот упаковок «Магги», и мы поможем вам выле­ чить язву желудка.

И вот парадокс, если приводимую ситуацию так воспри­ нимать, совсем современный. Когда компьютер, на кото­ ром я сейчас набираю этот текст, «зависает», то есть пере­

стает реагировать на какие-либо команды, его приходится

перезагружать (отключать и включать вновь). После этого

он делает пользователю, стало быть мне, выговор, что

с ним так поступать нельзя, что существует соответствую­

щий порядок его выключения, что он из-за нарушения

этого порядка может сломаться и что теперь должен пред­

варительно осуществить проверку своих систем. Парадок­

сально, но пока он эту проверку делает, я не могу удер­

жаться от мысли, что виноват-то во всем он сам, а выговор

делает мне. И это несправедливо и очень обидно. Видимо,

я не единственный, кто относится к компьютеру как суще­ ству в определенной мере одушевленному. Наш известный

философ Юлина Н.С. говорила мне, что иногда испытыва­

ет перед компьютером чувство настоящего стыда.

Парадоксы озадачивающие

Всвязи с теми парадоксами, о которых я скажу кратко

вэтом параграфе, нам из приведенного выше далевского

определения парадоксов более всего подошло бы слово оза­ дачливое. Озадачивающим оказывается некий неожидан-

ный своей странностью вывод, естественным образом вы­

текающий из предпосылок, которые сами никаких види­

мых странностей не содержат. Некоторые такие выводы

существуют уже тысячелетия, и все это время им пытают­

ся дать уместные объяснения, что достаточно красноречи­ во говорит о результативности этих объяснений. Другйе

парадоксы подобного рода появились сравнительно недав­

но в связи с появлением новых научных дисциплин, та­

ких, как теория множеств. Я их касаться здесь не буду. Одним из древнейших и известнейших парадоксов, в си­

лу ряда обстоятельств до сих пор беспокоящим современ­ ных математиков, является «парадокс лжеца». Пред­ ставьте, что некто утверждает, что он сейчас лжет. Тогда неизбежно придется признать, что это его утверждение

правдиво именно тогда, когда оно ложно, и, напротив, оно

ложно как раз тогда, когда оно истинно.

Основу этого парадокса составляют рассуждения об усло­ виях истинности предложения, утверждающего свою соб­ ственную ложность. Аналоги этого парадокса можно при­ думывать самые разнообразные. Вот возможный пример.

Предложение, напечатанное на данной странице, ко­

торое начинается со слов, «предложение, напечатанное на данной странице», является ложным.

Это единственное такое предложение на данной страни­

це. И оно говорит о своей собственной ложности. Чтобы быть истинным, оно должно соответствовать тому, что в нем утверждается и, следовательно, быть ложным. Но чтобы быть ложным, оно должно быть истинным, так как говорит о своей ложности.

Любопытно, кстати, с позиций самоотносимости оце­ нить условия истинности знаменитой тютчевской фразы:

Мысль изреченная есть ложь.

Я предлагаю студентам в аудитории (каждому из них,

кто пожелает) пари на любых условиях, хоть миллион

к одному, что они не смогут угадать, напишу ли я сейчас на доске истинное или ложное предложение. Принявший пари должен только заранее написать на листочке «Да>) или «Нет>). Когда вы играете с одним, вы, казалось бы,

имеете с ним равные возможности, как говорят, фифти­ фифти. Но два студента могут договориться, что один на­

пишет «Да>), адругой- «Нет>). Тогда приставке, скажем,

10 :к 1 я должен неизбежно суммарно проиграть сговорив­

шимся. Да и один студент может заготовить два разных от­

вета. Но на дос:ке появляется: Вы написали «Нem». И кто бы что ни написал, все они свое пари мне проигрывают. Легко понять, что и здесь торчат уши того же «парадокса

лжеца».

У Плутарха есть рассказ о том, как Александр Македон­

ский приказал убить нес:коль:ких чем-то не угодивших ему

мудрецов, причем начать велел с самого мудрого. Те же на вопрос, кто из них самый мудрый, ответили, что :каждый из них мудрее любого другого. Сознавая невозможность точно­

го исполнения своего приказа и отдавая отчет в мудрости

ответа этих людей, Александр благородно отс·гупился. Знакомый политолог Л. Поляков, выступая по радио,

привел замечательную фразу. «Президент Ельцин, - ска­ зал он, - пошел на компромисс со своими более ранними предложениями>). Эта фраза, пожалуй, тоже где-то сродни

«Парадоксу лжеца>).

Действительно, если президент пошел на :компромисс

с некоторыми предложениями, то, значит, стал разделять

их (уступать содержащимся там доводам, соглашаться с ними) в большей степени, чем раньше. Но так :ка:к это бы­ ли его собственные предложения, то это значит, что он стал следовать им еще более жестко, и речь, стало быть, скорее должна идти об отказе от компромисса с иными, не согласующимися с президентскими, подходами. Если же президент не идет на компромисс со своими более ранни­

ми предложениями, то, значит, отвергает их и идет тем са­

мым на :компромисс с теми, :кто такие подходы также не

приемлет. Получилось это у доктора философии случайно,

но здорово.

Я в свое время придумал парадокс, названный мною де­

мографическим. Не Бог весть что. Но все же.

Пусть есть семья, в которой мать и отец имеют двоих де­

тей. Очевидно, что родители осуществили в этом случае простое демографическое воспроизводство (воспроизвели себя). Представим теперь такую семью, где п женщин и один мужчина, :который имеет от :каждой из этих женщин только по одному ребенку. Каким бы большим ни было это п, взрослых в этой семье будет на одного больше, чем детей, а значит, такая семья не обеспечивает даже простого вое-

производства. Это распространяется на всех членов семьи,

включая мужчину. Так что, даже будучи, скажем, отцом

ста детей, этот мужчина должен характеризоваться как не обеспечивший своего простого воспроизводства. Парадокс

в том, что мужчине для простого воспроизводства доста­

точно иметь двоих детей от одной женщины и не достаточ­ но для того же иметь сто детей от ста разных женщин.

Как и обещал, я не стану специально анализировать

здесь всем известный парадокс об Ахиллесе и черепахе*.

И все же предлагаю читателю задуматься над тем, что бу­ дет, если быстроногий герой сразу же поставит задачу ока­ заться на метр впереди черепахи? И что будет, если чере­ пах будет две и Ахиллес погонится за более дальней? Дого­ нит ли он при этом ближнюю?

Завершу данный очерк цитатой из романа «Корни неба»

совершенно изумительного, хотя и мало известного у нас

французского писателя русского происхождения Ромена

Гари*~'. «Некоторые вещи, глубоко тобой прочувствован­

ные, - писал он, - меняют свой смысл, обрастая слова­ ми, до такой степени, что ты не только не можешь выра­

зить смысла, но и сам его теряешь».

Мудрость гласит: каким бы ты ни был умным, если го­

воришь слишком долго, рано или поздно скажешь глу­

пость. Сделал ли я уже это? Решать читателю. На этом

и закончу. О действительно вечном:

Кто опять забыл грабли? -

не стану даже упоминать.

*Это подробно сделано: Сидоренко ЕА. Логика. Парадш<сы. Возможные

миры. Размышления о мышлении в девяти очерках. М., 2002.

'''*Рамен Гари (Роман Касев, 1914-1980) - французский писатель русско­

го происхождения, во время Второй мировой войны - военный летчик, сра­

жался с фашистами в армии генерала де Голля. Единственный обладатель

двух Го1шуровских премий (1956, 1975). В этом ес·rь определенный пара­

докс, так 1<ак в соответствии с уставом премии дважды стать ее лауреатом

было нельзя. Вторую премию получил в результа1•е литературной мистифи­ кации за роман «Жизнь впереди», написанный под псевдонимом Эмиля Ажара. Описал эту ситуацию в, по сути, предсмертном эссе «Жизнь и смерть Эмиля Ажара». Покончил жизнь самоубийством. Оба получивших Гонку­ ровские премии романа и названное эссе опубликованы в книге: Рамен Гари. Избранное. М.: Полярис, 1994. Автобиографический роман Р. Гари «Обеща­

ние на рассвете» и роман «Воздушные змеи» опубликованы в журнале «Ино­

странная литература, 1993, No 2 и 1994, No 1-2.

ЛИТЕРАТУРА

1.Герасимова ИА. Человек в мире: эволюция сознания. М., 1998.

2.Сидоренко ЕА. О парадоксах и о том, как Ахиллу догнать черепа­ ху// Философские исследования. 1999. No 3.

РАЗДЕЛ 3

Аргументация

в зеркале

эпистемологии

И.П. Меркулов

КОГНИТИВНЫЕ ТИПЫ МЫШЛЕНИЯ: ЭПИСТЕМО­

ЛОГИЧЕСКИЙ СТАТУС МАТЕМАТИЧЕСКИХ

И ЛОГИЧЕСКИХ ИСТИН•

На рубеже XIX-ХХ вв. математика столкнулась с серь­ езным кризисом оснований. В конце XIX в. многим каза­ лось, что попытки Коши, Вейерштрасса и др. математиков

завершить арифметизацию математического анализа и те­

ории функций наконец-то увенчались полным успехом -

различные виды чисел удалось определить в терминах на­

туральных чисел и операций над ними. Большинство ма­

тематиков были удовлетворены этими достижениями и

весьма настороженно встретили появление новой дисцип­ лины - теории абстрактных множеств, над созданием ко­ торой на протяжении 70-х гг. XIX в. упорно трудился не­ мецкий математик Г. Кантор. Разработка этой теории оз­ начала бы завершение последнего этапа арифметизации

математики, предполагающего ее редукцию к целым чис­

лам, к конечным и бесконечным системам чисел, т.е. к те­ ории множеств. Теория Кантора имела дело с актуальной бесконечностью и представляла собой попытку математи-

* Исследование проведено при финансовой поддержке РФФИ, грант No 02- 06-80083.

ческой экспликации интуитивных представлений о мно­ жествах. Благодаря, главным образом, его усилиям клас­ сическая теория множеств в начале 90-х гг. XIX в. окон­

чательно сформировалась и стала широко применяться

в анализе и геометрии. Казалось, математика обрела пол­ ный и надежный фундамент. Однако уже в 1895 г. Кантор

впервые столкнулся с антиномией (внутренним противо­ речием), относящейся, правда, к довольно специальной области - теории вполне упорядоченных множеств. Хотя Кантор не смог предложить какого-либо удовлетворитель­ ного способа разрешения этой антиномии, ситуация тогда не казалась слишком серьезной. Но в 1899 г. он обнару­

жил еще одну антиномию, связанную с понятием мощнос­

ти множества всех множеств. Под влиянием этой антино­ мии Б. Рассел в 1902 г. построил свою собственную анти­

номию, относящуюся к самым началам теории множеств.

Эта антиномия затрагивала также и основания логики, поскольку ее можно было легко переформулировать в ло­

гических терминах.

1.1.Эпистемологические последствия

кризиса оснований математики

Первоначально обнаруженными аномалиями (их в дальнейшем классифицировали как логические и се­ мантические) были обеспокоены главным образом лишь немногие исследователи, занимавшиеся проблемами обос­ нования математики и логики. Для того чтобы избежать

их появления, они предложили построить теорию мно­

жеств в виде формальных аксиоматических систем

(Э. Цермело и др.), где видоизмененные аксиомы и прави­ ла преобразования позволили бы исключить образование

слишком обширных множеств. Однако ни для одной из та­

ких систем не удалось установить их непротиворечивость.

Поэтому в дальнейшем аномалии стали привлекать вни­

мание все более широкого круга исследователей, в том

числе логиков и философов. Оказалось, что использован­

ные Кантором «наивные» представления о бесконечных

множествах не могут служить удовлетворительной осно­ вой теории множеств, не говоря уже о математике в це­ лом. Открытие аномалии дало импульс исследованиям ло-

гичес:ких оснований математики и оказало громадное вли­ яние на современную математику. Оно привело :к выявле­ нию далеко идущих расхождений по вопросу об основных

математических понятиях (начиная с понятий множества

и числа), эпистемологическом статусе математических и

логических истин, :к формированию новых направлений

вматематике ХХ в. - логицизма, формализма (метамате­ матичес:кого подхода) и интуиционизма.

Сторонники логицизма исходили из предположения, что математические истины представляют собой подмно­ жества логических истин. Хотя тезис о редукции матема­ тики :к логике не отличался особой новизной - впервые попытки в этом направлении были предприняты еще Пла­ тоном и Г.В. Лейбницем, - его практическая реализация

в:конце XIX в. получила новые импульсы. К этому време­

ни математикам удалось в основном завершить арифмети­

зацию геометрии, алгебры и анализа. Пытаясь редуциро­

вать арифметику :к логике, немецкий математик и логик Г. Фреге заново перестроил формальную логику - разра- ботал первую полную аксиоматическую систему пропози­

ционального исчисления и значительно расширил функ­

циональное исчисление. После десятилетней напряжен­

ной работы он тем не менее не достиг полного успеха. Ока­ залось, что его система не свободна от антиномии, :которую обнаружил В. Рассел еще до выхода в свет второго тома фундаментального труда Фреге «Основные законы ариф­ метики». Разделяя программу логицизма, В. Рассел, со своей стороны, полагал, что за антиномии ответственна не столько сама математика, сколько логика. В отличие от Фреге свою главную задачу он видел в том, чтобы редуци­

ровать :к логике не арифметику, а :канторовс:кую теорию.

множеств. С его точки зрения, для элиминации возникаю­

щих антиномий необходимо было усовершенствовать пра­ вила образования идеального исчисления и заново пере­ формулировать логику в виде разветвленной теории ти­ пов, :которая предусматривала бы иерархическую страти­

фикацию переменных. Это позволило бы исключить

непреди:кабельные определения (т.е. разрешающие рас­ сматривать множества :как элементы самих себя), ответ­ ственные за появление аномалий. Такая теории была раз­

работана Расселом совместно с А.Н. Уайтхедом и опубли-

кована в их капитальном трехтомном труде «Principia Mathematica» (1910-1913). Она позволяла рассматривать

канторовскую теорию множеств как часть логики, отож­

дествляя ее с логической теорией классов. Однако при пе­

реходе к бесконечным множествам это приводило к появ­ лению серьезных проблем. В частности, оказывалось, что

в «Principia Mathematica» нельзя доказать логические аналоги аксиом бесконечности и выбора. Принятие же со­

ответствующих аксиом логики, позволявших получить такие логические аналоги, представлялось делом весьма сомнительным в силу их не логического, а экзистенциаль­

ного, эмпирического характера. К тому же логика, пре­

дусматривающая иерархию переменных по типам, не яв­

лялась функциональным исчислением первого порядка и,

соответственно, не обладала желательными свойствами. Уже в 1931 г. К. Гёделю удалось показать, что системы

типа Principia Mathematica неполны в том смысле, что их

средствами можно сформулировать неразрешимые, т. е.

недоказуемые и неопровержимые, предложения матема­

тики. По этим и некоторым иным причинам большинство

исследователей отвергли предложенную Расселом и Уайт­

хедом теорию типов в качестве фундамента математики

(теории множеств), а соответственно и логицистскую кон­

цепцию редукции математики к логике в целом.

Пытаясь усовершенствовать правила образования поня­ тий и устранить те из них, которые приводят к порочному

кругу, сторонники логицизма нуждались в доказательстве

непротиворечивости систем, получающихся в результате

применения разработанных ими достаточно жестких мер. Стандартный, традиционный метод проведения таких до­ казательств в начале ХХ в. сводился к указанию пригод­ ной для интерпретации модели теории, которая берется из другой теории, если непротиворечивость последней не вы­

зывает сомнений. С помощью такого метода Д. Гильберт в 1899 г. доказал относительную непротиворечивость евкли­ довой геометрии, построив для нее модель средствами арифметики действительных чисел. Он значительно усо­

вершенствовал формальную аксиоматику, но для доказа­

тельства непротиворечивости систем, построенных с целью

избежать появления известных аномалий, данный метод не

годился, так как из-за этой угрозы никакую формальную