Герасимова И.А. (ред.) - Мысль и искусство аргументации - 2003

1) ранняя статья А.Н. Колмогорова «0 принципе tertium non datur» (1925), в которой он усилил интуицио­ нистскую критику классической аксиоматики логики,

выразив сомнение в интуитивной ясности принципа ех

falso sequitur quodlibet;

2) сомнения Н.Н. Лузина в однозначности натурально­

го ряда, высказанные им в письме к К. Куратовскому (9,

с. 708];

3)явное указание А.А. Марковым на роль абстракции отождествления (помимо абстракции потенциальной осу­

ществимости) в конструктивном понимании математичес­

ких суждений (1951);

4)принятое в школе «математических формалистов»

априорное понимание тождества объектов формальной те­

ории, независимое от того, идет ли речь о фактически осу­

ществимых (построенных) объектах или о тех объектах, осуществимость (построение) которых предполагается

(считается) возможным на основе классических (традици­ онных) абстракций теории и независимо от тех предполо­ жений об отождествлениях, которыми фактически руко­ водствуются при построении формальных теорий.

Конечно, в принципе не так уж важно, действительно

ли повлияли перечисленные выше обстоятельства на фор­ мирование ультраинтуиционистской концепции. Важно, что сама эта концепция породила вопрос об изменении

классического взгляда на непротиворечивость. Она сдела­

ла существенным моментом каждого проводимого доказа­

тельства операцию отождествления объектов, входящих

в это доказательство, предложив, по существу, новую се­

мантику для формул, в которой смысл каждой формулы

связывается с ее вхождением в доказательство.

Согласно ультраинтуиционизму осмысленность форму­

лы (А &--, А) как факта, выражающего противоречие, предполагает (неявно) признание тождественности (отож­ дествления) А в обоих вхождениях. При этом речь идет

о вхождениях в фактически неосуществимую формулу,

коль скоро говорится о доказательствах непротиворечиво­

сти непротиворечивых теорий. Это несущественно с точки зрения формалистской концепции оснований математи­ ки, которая базируется на допущении однозначной опре­

деленности (единственности) натурального ряда. Но кри-

му, было бы опрометчиво его решать непременно отрица­

тельно, отвергая теории с кажущимися противоречиями

на том основании, на котором отвергаются обычно проти­ воречивые теории в смысле традиционной логики и мате­

матики*. К слову замечу, что Торальф Скулем был, види­

мо, первым, кто заявил о допустимости работы с противо­ речивой теорией при условии, что она лишена какой-либо неясности ее понятий.

В контексте сказанного нельзя не обратить особого вни­

мания на роль операции отождествления в ультраинтуи­

ционистской концепции. Многими из нас марковская аб­

страки,,ия отождествления воспринимается как под­

линно конструктивная операция, применимая к конст­

руктивным объектам различных видов [10]. Между тем

это отнюдь не самостоятельная абстракция; это способ об­

разования абстрактных объектов в рамках абстракции по­ тенциальной осуществимости, то есть далеко идущая опе­

рация, предполагающая в определенном смысле транс­

цендентную реальность и тождественность объектов в том же смысле, какой имеют в виду формалисты. Отождест­

вить два объекта в наличной реальности (в наличном опы­

те) сравнительно легко. Но кто поручится за возможность

отождествления в трансцендентной реальности? Этот во­

прос в равной мере относится как к неопределенно длин­ ным (фактически неосуществимым) доказательствам той или иной математической теории, так и к тождеству объ­

ектов в моделях этих теорий.

Ультраинтуиционистская критика указывает на это об­

стоятельство, замечая, что если тождество двух объектов (например, двух слов в алфавите), данных воочию, явля­

ется эмпирическим фактом и не вызывает сомнений, то

тождество объектов (формул), участвующих в бесконеч­

ном процессе (например, в случае применения в доказа­

тельстве бесконечной индукции), является, по существу,

гипотезой и вовсе не очевидно.

*Подробно со всеми этими интересными идеями и заложенной в них глу­

бокой философией анализа можно ознакомится также по ст.: Yesenin·

VolpinA.S. The Ultra-iнtuitionisttic Criticism and the Antitraditional Program

for Foundatioпs of Mathematics // Intuitioнism анd Proof Theory: Proceediпgs

of the Confereпce of Buffalo. North-Holland, 1968.

Таким образом, полный анализ доказательства требует

явного указания на возможность отождествления (или различения) объектов, участвующих в доказательстве. При этом не может быть вопроса об отождествлении объ­ ектов, пока они не представлены в наглядных (осуществи­

мых с некоторой квазиэмпирической точки зрения) шагах доказательства. И это столь же очевидно, как очевидна не­ возможность постройки дома, если отсутствует необходи­ мый строительный материал.

И еще одно, не менее важное, обстоятельство стоит отме­ тить. Конструктивная абстракция отождествления слу­ жит способом построения абстрактных понятий. Это ее со­

держательный гносеологический аспект. Но у этой абст­ ракции есть и формальный аспект, который, собственно, и оправдывает ее применение. Этот формальный аспект вы­ ражается в трех свойствах (аксиомах) равенства - ре­ флексивности, транзитивности и симметрии. Этот фор­

мальный аспект (известный со времен Евклида) роднит аб­ стракцию отождествления с классическим принципом аб­

стракции.

Замечательно, что ультраинтуиционистская критика не выставляет этих формальных свойств тождества в каче­ стве обязательных свойств. Ни транзитивность, ни симме­ трия, вообще говоря, не предполагаются, хотя потреб­ ность в соответствующем анализе не исключается. В част­

ности, когда транзитивность тождества нарушается при

попытках отождествления А в его вхождениях в формулу А &--. А, можно обоснованно говорить, что смысл А - раз­

личен в обоих вхождениях.

Не моя задача выяснять, как все это сказывается на уль­ траинтуиционистской теории доказательств. Для меня са­ ма теория важна как философская попытка (более после­ довательная, чем интуиционизм или конструктивизм)

проанализировать основания математики, так сказать, ad hominem. Для меня существенна очевидная в ней тенден­

ция - с одной стороны, к ослаблению общих логических условий, налагаемых на отождествление объектов, а с дру­ гой, - к более жесткому требованию фактических усло­ вий на их отождествление. Думается, что при соответству­

ющих разъяснениях, ультраинтуиционистская програм­

ма вполне совместима с теми установками на практику

отождествлений, которые сложились в рамках философии интервального анализа'~.

В частности, когда речь идет об отождествлениях объек­ тов в тех или иных вхождениях в доказательство, абстрак­ цию отождествления, которая, вообще говоря, в этом слу­

чае не исключается, все же естественно отделять от абст­ ракции неразличимости. Последняя абстракция приня­

та в рамках интервального анализа с целью уточнения

понятий о тождестве и различии в ситуациях, когда от­ сутствует априорная информация об индивидуац,ии объ­ ектов универсума (предметной области), а процессы их

отождествления или различения определяются конечной

информацией об их наблюдаемых состояниях. Обычно это означает зависимость суждений о тождестве и различии от информационных условий познания, в частности - от разрешающей способности актов восприятия, свойствен­ ных наблюдателю или какой-либо иной информационной

системе. При этом, принимая во внимание неизбежную

«энтропию опыта>), тождество по неразличимости являет­

ся естественным обобщением классической идеи тождест­

ва неразличимых (принципа тождества неразличимых) на

эмпирические условия познания или, по крайней мере, на

субъективированные акты отождествлений, чем и оправ­ дывается необходимость введения специального термина

«абстракция неразличимости>)**.

С интервальной позиции претензии на (конструктив­ ную) математику как дисциплину в конечном счете

опытную (или теорию ad homiнem в позитивном значе­

нии этого аргумента), стоящую на экспериментальном фундаменте, выглядят, на мой взгляд, неубедительно. К примеру, эмпирический фактор наблюдаемости (соот­ ветственно, эмпирический смысл процессов сравнения (измерения) и их результатов) в конструктивной матема­

тике принимается лишь формально, поскольку вовсе не

·k См.: Новосёлов М.М. Тождество// БСЭ, т. 26. М., 1977 (а traslation:

Novosyolov М.М. ldeнtity // Great Soviet Eнcyclopedia, N.Y. - L., 1981, vol.

26); Новосёлов М.М. Категория тождества и ее модели// Кибернетика иди­ алектика. М., 1978; Novosyolov М.М. Ideнtity with а measure of traнsitivity //

LIMPS 87, Abstracts, vol. 4, part 2. Moscow, 1987. Р. 57-59.

**Об абстракции неразличимости подробно говорится в кн.: Новосё­

лов М.М. Логика абстракций. Ч. 1. М., 2000.

Тем не менее существенно, что универсумы моделей,

о которых идет речь в теории моделей и которые служат

для определения истинности формул логического языка,

сами-то, вообще говоря, лежат вне чистой логики. Это

именно та внешняя реальность, которая подразумевалась

в приведенном выше замечании Гейтинга. При этом есте­

ственно возникает вопрос, а есть ли у чистой логики «соб­ ственный универсум»? Является ли эта логика сама по се­ бе онтологической теорией или же это чисто гносеологиче­ ский (неонтологический) феномен?

Говоря о «чистой логике>), л имею в виду элементарную логику (то есть чистую первопорлдковую логику предика­ тов с равенством) не только потому, что она лежит в осно­ ве изучения всех основных математических теорий, кото­

рые формализуются в языках первой ступени, но прежде

всего потому, что с непротиворечивостью именно узкого

исчисления предикатов естественно связывается понятие

о собственном универсуме.

Если иметь в виду понятие об универсуме (о предметной

области) вообще, то необходимость в его точной характери­ зации возникает в связи с необходимостью введения поня­ тия модели при семантической интерпретации первопо­ рлдкового языка. А до этого момента считается вполне до­

статочным (чтобы оправдать dictum de omni) постулат о не­ пустоте универсума речи, который в этом случае мыслится

совершенно неопределенным. :Как замечает Дж. Шен­

филд, это, в сущности, только соглашение, которое лвллет­

сл чисто «техническим соглашением>) и «Не исключает ни

одного интересного случал>) [16, с. 25].

Вопрос об «интересных случаях» - это вопрос особый. Возможно, что логика с пустым универсумом тоже случай

интересный*. И случай с одноэлементным универсумом

для меня тоже случай интересный. Его-то л и собираюсь обсудить ниже.

Для начала замечу, что, ограничиваясь чистой логикой,

мы должны признать очевидный факт - реальная онтоло-

*Я изучал логику неразличимостей именно как (бескванторую) логику с

отношениями неразличимости, заданными «НИ на чем». А вопрос о прави­ лах для кванторов при пустом универсуме тоже интересный вопрос, который

обсуждался неоднократно.

гия вносится в процедуру интерпретации извне, а не явля­

ется частью самого первопорядкового языка, у которого,

по существу, нет «внутренней семантики» . Если же мы хо­

тим иметь нетривиальную онтологию самой логики как

проекцию логического языка, мы должны расширить

язык таким образом, чтобы он содержал индивидные сим­

волы и индивидуальные предикаты, определяющие и раз­

личающие элементы универсума, то есть характеризую­

щие самый этот универсум. Когда это делается, вместо чи­

стой логики мы получаем прикладную.

Все проблемы философской онтологии и логической се­

мантики, включая логические парадоксы и так называе­

мые проблемы «существования» и «онтологической отно­ сительности», ставятся и решаются в прикладной логике.

Это очень важное обстоятельство, о котором я еще скажу

ниже.

Казалось бы, что и проблему непротиворечивости перво­ порядковой логики тоже стоит отнести сюда, то есть поста­

вить непротиворечивость в зависимость от числа и харак­

тера индивидов универсума. С ультраинтуиционистской точки зрения это тоже, кажется, должно быть так. Но мы

знаем, что там речь идет не о чистой логике, а о приклад­

ной логике - о теории множеств. А об этом совсем другой разговор. В чистой первопорядковой логике проблема не­

противоречивости, к счастью, решается, так сказать, на

пропозициональном уровне.

Впрочем, как отмечают авторы этого решения, значе­

ние этого доказательства непротиворечивости не следует

переоценивать, поскольку оно «содержательно (курсив мой. - М.Н.) сводится к допущению, что положенная в основу область индивидов состоит только из одного един­ ственного элемента>) [3, с. 118].

А это означает, что редукция к семантическому вариан­

ту все же имеет место и здесь и вопрос только в том, на­

сколько общим (или убедительным) можно считать такое

доказательство.

Чтобы ответить на этот вопрос, как и на те, что были по­

ставлены выше, полезно вспомнить способ рассуждения,

.который применил А. Эйнштейн, привлекая на помощь двух наблюдателей: одного в вагоне поезда, другого - око­

ло полотна железной дороги [16, с. 171-172]. Тогда мы

поймем, что так же как не существует траектории самой

по себе, так, равным образом, не существует и универсума самого по себе, если мы хотим говорить об универсуме, со­ здаваемом языком какой-либо теории.

Все, до сих пор известные мне, разговоры о логической онтологии - это разговоры с позиции наблюдателя у по­

лотна железной дороги, с позиции «извне». Я же предла­ гаю встать на позицию наблюдателя, который находится

ввагоне поезда, на позицию «внутри». Применительно

кнашей ситуации такой наблюдатель располагает только тавтологиями логического языка. Эти формулы чистой ло­ гики сами по себе ничего не говорят о числе (а следователь­ но, и о различии) объектов универсума, они безразличны

ккакому-либо разнообразию. Но если их использовать как

дискриминирующие признаки в актах отождествления

(например, согласно обычному определению тождества), то при условии непустоты «на входе» они дадут одноэле­

ментный универсум «На выходе». Именно этот универ­ сум, возникающий как результат абстракции отождеств­ ления по тавтологическим признакам, я и называю собст­

венным универсумом чистой логики. В известном смысле

его можно назвать и виртуальным универсумом.

Если мы откажемся от условия непустоты, мы можем

использовать в качестве дискриминирующих тождествен­

но ложные формулы. Ситуация окажется тогда симмет­ ричной: абсолютная неразличимость сохраняется, но уни­ версум при этом будет пустым. Иначе говоря, мы имеем классическую альтернативу «нуля» и «единицы». Но при­

нять тождественно ложные формулы в качестве определя­

ющих мы не можем в силу принятого для кванторов усло­

вия непустоты.

О том, что я не сегодня пришел к понятию о собственном

универсуме чистой логики, напоминает следующий текст: «Если условие А - тавтология, то в подразумеваемой предметной области все предметы тождественны в интер­

вале А. Иначе говоря, тавтологии не могут служить кри­ терием различимости объектов, они как бы проектируют универсум в точку, производя абстракцию отождествле­ ния элементов множества любой мощности, «превращая>)

разные элементы в «один и тот же>) абстрактный объект>)

[12, с. 239].