Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Герасимова И.А. (ред.) - Мысль и искусство аргументации - 2003

.pdf
Скачиваний:
127
Добавлен:
15.09.2017
Размер:
27.72 Mб
Скачать

Меркулов И.П. Когнитивные типы мышления

279

аксиоматическую теорию, пригодную для построения бес­ конечных моделей, нельзя было считать достаточно надеж­

ной. Выходизтупикабылпредложенв 1904 г. Гильбертом,

который, несмотря на обнаруженные аномалии, сохранял веру в надежность фундамента классической математики.

Он полагал, что для восстановления ее надежности нужно

ограничиться применением в математике только таких ме­

тодов доказательства, которые были бы достаточно сильны для того, чтобы построить всю классическую математику

(включая канторовскую теорию множеств), но в то же вре­

мя недостаточно сильны, чтобы вывести из соответствую­ щих аксиом противоречия (парадоксы).

Для реализации своей программы Д. Гильберт предло­

жил формализовать математику, прежде всего ее осно­ ву - теорию множеств, арифметику и анализ, сформули­

ровав их в виде формальной аксиоматической теории. Ме­

тод формализации гильбертовского типа (или логисти­ ческий метод) предполагал построение некоторой

формальной системы, где из аксиом с помощью четко фиксированного множества правил вывода можно было вывести по меньшей мере основы математики. Формаль­

ность система означала, что в ней учитывается только вид и порядок символов, а не их значения. Поскольку прави­

ла вывода применяются только к последовательностям

символов, то в такой системе можно чисто механически,

путем сопоставления убедиться, будет ли цепь последова­

тельностей символов доказательством последней последо­ вательности этой цепи или нет. Гильберт считал, что при­

менение правил вывода к аксиомам не может привести

к формальной противоречивости, если все виды доказа­

тельств, вызывающие возражения математиков (напри­ мер, ведущие к непредикативному образованию поня­

тий), элиминировать из метаматематики, т. е. метатео­ рии, исследующей методы математических доказа­

тельств. В метаматематике, настаивал Гильберт, следует

пользоваться исключительно финитными методами, ко­

торые используют только «интуитивно представляемые>)

объекты и осуществимые процессы. Такие методы долж­ ны исключать рассмотрение бесконечного класса как за­ вершенного целого (т; е. использование «актуальной>), «завершенной>) бесконечности) и требовать для любого

280

Раздел 3. Аргументация в зеркале эпистемологии

доказательства существования математического объекта

ссылки на алгоритмически выполнимый метод его пост­

роения. Получалось, что проблема непротиворечивости,

если ее сформулировать в финитных терминах, может

быть решена финитными методами.

Хотя Гильберту и его последователям удалось доказать

строго финитными методами непротиворечивость доволь­

но широкой подсистемы арифметики, их программа в це­

лом, основанная на вере в принципиальную разрешимость

всех математических проблем, порожденных аномалия­ ми, в рамках некоторой конкретной формальной (логис­ тической) системы, на практике оказалась невыполни­ мой. Как было показано в 1931 г. К. Гёделем (теорема

о неполноте), логистические системы, настолько богатые, что они содержат рекурсивную арифметику (а к ним отно­

сятся все теории множеств!), либо противоречивы, либо неполны. Таким образом, эта теорема фактически выяви­

ла принципиальную ограниченность дедуктивных воз­

можностей достаточно богатой логистической системы. (В

дальнейшем оказалось, что ее выводы справедливы и для

некоторых нелогистических формальных систем, где до­ пускаются трансфинитные правила вывода - например,

правило бесконечной индукции). Из нее также следовало, что семантическое понятие истины в арифметике (а следо­ вательно, и во всей математике) нельзя исчерпывающим образом выразить посредством синтаксического понятия

доказуемости в какой-либо одной логистической системе. Полученные Гёделем результаты, кроме всего прочего,

свидетельствовали о недостаточности допускаемых фор­ мализмом финитных методов для доказательства непро­

тиворечивости классической математики. Тем самым об­ наружилось, что первоначальный вариант гильбертовс­

кой программы практически неосуществим, а возлагав­

шиеся на эту программу надежды безосновательны.

Теоремы о полноте и неполноте формальных систем обоз­

начили важные эпистемологические границы математи­

ческого познания - стало ясно, что пути математических

открытий не сводятся только к обнаружению новых след­

ствий из данных аксиом по данным правилам вывода, как

это предполагалось программой Гильберта, а включают в себя также изобретение новых аксиом и правил.

Меркулов И.П. Когнитивные типы мышления

281

В то время как формализм рассчитывал укрепить струк­ туру классической математики посредством доказатель­

ства ее непротиворечивости, интуиционизм предложил

гораздо более радикальные меры по реконструкции мате­

матики. Интуиционисты полагали, что источник проблем канторовской теории множеств (как и всей классической

математики) коренится в непонимании природы матема­ тического познания, в необоснованном перенесении на об­ ласть бесконечного методов доказательства, пригодных лишь для области конечного. Согласно Л. Брауэру и его

последователям, математику нельзя рассматривать как

некую теорию, состоящую из предложений и правил, а только как особого рода интеллектуальную деятель­ ность, как метод познания человеческого опыта, базирую­ щийся на изначальной математической интуиции, на ин­ туиции положительных целых чисел. Эта интуиция носит

не чувственный (или опытный), а скорее врожденный ха­ рактер, по сути дела, она представляет собой, если исполь­

зовать современные когнитивные представления, своего

рода «встроенную» в нашу когнитивную систему програм­

му обработки информации, которая обеспечивает выделе­ ние отдельных восприятий, элиминацию всех качествен­

ных особенностей воспринимаемых объектов и мысленное объединение нескольких единиц в некое абстрактное единство непрерывности и дискретности. Математика

имеет непосредственное отношение не к внешнему миру,

а исключительно к нашему внутреннему миру мыслитель­

ных процессов, которые путем неопределенного повторе­

ния элементарных математических актов можно выстро­

ить в неограниченную последовательность. Прототипом тех мыслительных стратегий, с которыми интуиционизм

отождествлял математическое мышление, по-видимому,

выступало построение по математической индукции, где

с помощью конечных процедур могут быть получены толь­

ко конечные утверждения и где их истинность или лож­

ность можно в принципе установить посредством конечно­

го числа испытаний. Эти стратегии широко применяются,

хотя, как правило, и неосознанно, в нашем повседневном,

обыденном мышлении и познании. Но, по мысли интуи­

ционистов, лишь на высшей ступени эволюции ментали­

тета и цивилизованности возникают предпосылки для пе-

282

Раздел з. Аргументация в зеркале эпистемологии

рехода к математическим абстракциям и их уточнению

с помощью теорий.

Брауэр и его последователи использовали представление об изначальной интуиции положительного целого числа

для того, чтобы определить свободно становящиеся после­ довательности и множества, включив таким образом в сфе­

ру действия математической интуй:ции не только дискрет­

ную и счетную теорию чй:сел, но и непрерывную и несчет­

ную область анализа. ВзамеЕ: классической математики

они предложили построить математику, :которая согласо­

вывалась бы с интуицией и где система математических

сущностей возникала бы в результата их построения, а не

вводилась бь1 целиком :как множества, удовJiетворяющие

списку аксиом. Ведь заранее не известно, какие конкрет­ ные способы построения необходимы для достижения той й:ли иной цели. Динамическая, ничем не ограниченная

природа математмческого мышления исключает возмож­

ность исчерпывающих описаний процессов и операций,

при~юдящих к допустимым математическим :конструкци­

ям. Любое описание такого рода, любая система аксиом и правиJI вывода, любое представление на язьrке символи­ ческой логики могут быть только приблизительными, ги­

потетичными характеристиками конструктивных процес­

сов математического мышления.

Надо сказать, что по сравнению с логицизмом и метама­

тематическим подходом (формализмом) и1tтуиционизм

зЕ:ачительно ограничмвал эпистемоJiо!'ическую роль язы­

ка. Процесс мышления с точки зреюi:я этого направления :не столь уж за:nисмм от языковой репрезентации мысли, поскоJ1ьRу язык (иJiи его письмейный эквивалент) действи­

тельЕ:о нужен нам лить для передачи идей, смыслов. Даже математичесRИЙ язык (йе говоря уже о повседйев:tюм язы­

ке) значительйо уступает мысленным конструкциям в силу

своей н:еопредепенностn, двусмысленности, чреватой недо­

разуменnями, nоскольку интерпретация математических и

логических символов всегда опирается на естественный

языR. Являясь в своей основе строгой и однозначной, мате­

матическая мысль нередко существенно искажается в ре­

зультате актов :nербапьной коммуниRаций или письменно­ го изложенйя. Поскольку для математики нет никакого на­

дежного .1tзыt<а, то следует анализировать не математичес-

Меркулов И.П. Когнитивные типы мышления

283

кий язык, а математическое мышление, математическое доказательство, которое тто своей сути тождественно пост­

роению. Но как мыслительный процесс математическое построение не может быть адекватно вербализировано и

символизировано.

Поскольку математика представляет собой прежде все­

го математические конструкции, а не их языковые репре­

зентации (выражения), то и логuку, согласно точке зре­

ния интуиционистов, следует рассматривать только как

науку о формах репрезентации мыслей, как получающую­

ся благодаря абстракции: от математики теорию репрезен­ тации математических конструкций. Логические законы суть законы символизации мышления. Единственной ос­ новой математики выступает арифметика (теория чисел).

К математике логические законы приложимы лишь в той степени, в :какой они согласуются с математической инту­ ицией и конструктивным построением математических объектов. Эти законы предполагают использование предс­

тавлений о бесконечных множествах, как о чем-то завер­

шенном, а это не согласуется с матщvrати:ческой интуици­ ей, допускающей существование щrшь потенциальной («незавершенной>)) бесконечности. Поэтому законы клас­ сической логики имеют ограниченную область приложе­

ния - они применимы только :к конечным множествам

с определенными границами. В первую очередь это :касает­

ся закона исключенного третьего, :которJ>IЙ лежит в основе

косвенных доказательств существования математичес­ ких объектов. Этот закон нельзя рассматривать в качестве априорной логической аксиомы, а только как щ3ристичес­

:кую гипотезу, позволяющую предвидеть результат, :кото­

рый может быть достигнут построением. Отрицание обще­ го утверждения в классической логике (и математике)

с этой точки зрения просто бессмысленно, оно не влечет за собой некоторого утверждения о существовании, если

речь не идет о коIJечной предме'{'ной облас'I'И с определен­ ным объеёмом. В качестве отрицания общего утвержде­

ния может выступать только построенный контрпример. Таким образом, сторонники интуиц:ионизма фактичес­

ки отвергали правомерность косвенного метода дока.за-

тельства за исключением тех случаев, когда он может

быть заменен конструктивным построением, где сущест-

284

Раздел 3. Аргументация в зеркале эпистемологии

вование математического объекта доказывается путем

ссылки на процедуру его получения из более простых объ­

ектов посредством последовательного применения каких­

либо правил (конструкций). Понятно, что тем самым иск­ лючается появление антиномий (типа парадокса Рассела),

поскольку соответствующие математические (и логичес­

кие) объекты не могут быть конструктивно построены. Од­

нако интуиционисты не отрицали эвристическую цен­

ность косвенного метода - теорема, доказанная с по­

мощью косвенного метода, признавалась ими в качестве

непротиворечивой, поскольку ее отрицание не может быть истинным. Такое доказательство, с их точки зрения,

должно служить примером для поиска соответствующего

конструктивного доказательства.

В ходе начавшейся еще в 1918 г. реконструкции матема­ тики в соответствии с программой интуиционистов посте­

пенно сформировалась интуиционистская математика, ко­

торая лишь частично (если речь идет о результатах) пересе­ кается с классической математикой. Интуиционисты счита­

ли, что все законные математические методы укладываются

в их систему, которая вполне достаточна для нужд матема­

тики. Их методы, как правило, оказывались гораздо более

сложными, поскольку приходилось избегать использова­

ния косвенных доказательств, но одновременно и более ин­

формативными. Однако многие математики оказались не

готовы принять интуиционистские ограничения. Правда, последующие успехи неоинтуиционизма (и вышедшего из него конструктивизма) значительно умерили их первона­

чальный скепсис.

Несмотря на крах первоначальных вариантов логицис­ тской, формалистской и интуиционистской программ,

несмотря на то, что этим направлениям так и не удалось

преодолеть кризис оснований математики, связанный с открытием антиномий, все же был накоплен огромный

арсенал знаний в виде новых понятий, новых теорий и ме­

тодов, послуживших отправным пунктом дальнейших ма­

тематических и метаматематических исследований. С по­

мощью метода формализации не только удалось выявить

и надлежащим образом сформулировать фундаменталь­

ные математические проблемы, но и наметить пути их конструктивного решения. В метаматематике также было

Меркулов И.П. Когнитивные типы мышления

285

сделано немало замечательных открытий, благодаря ко­

торым у нее постепенно открылись принципиально новые

области применения. В частности, совершенно неожидан­ но здесь возникла область, связанная с построением и изу­ чением «машинных» языков (языков программирова­ ния). Отправным пунктом ее формирования послужили исследования, проводимые в рамках гильбертовской

программы, целью которых являлось уточнение понятия

механической вычислительной процедуры (алгоритма) в арифметике. Попытки эксплицировать интуитивное

представление о вычислимых функциях с помощью поня­

тий, сформулированных в точных математических тер­

минах, и разложить известные вычислительные процеду­

ры на элементарные операции, повторения которых было бы достаточно для проведения любого возможного вычис­

ления, увенчались разработкой теоретических принципов функционирования некоторого рода идеальной вычисли­ тельной машины («машины Тьюринга» ), значение кото­ рых для последующего развития компьютерной техники

иинформационных технологий трудно переоценить.

Врезультате довольно бурных дискуссий между интуици­

онистами и сторонниками метаматематического подхода

постепенно был достигнут известный компромисс и устано­

вилось некоторое взаимопонимание: интуиционисты,

в частности, согласились снять основную часть своих возра­

жений против программы Гильберта, если формалисты (ко­

торые в некотором отношении оказались даже более последо­

вательными «финитистами») откажутся от своего отождес­

твления непротиворечивости системы и существования в ма-

тематике (т. е. от своего тезиса, что доказательство

непротиворечивости формализма является достаточным ус­

ловием для материальной истинности любых его интерпре­ таций) применительно к тем ее областям, которые, по их мне­

нию, не имеют интуитивной основы. Но в чем тогда ценность неинтуиционистской части классической математики? Пы­

таясь решить эту проблему, Гильберт еще в 1926 г. предло­

жил проводить различие между реальным и идеальным су­

ществованием, между реальными математическими утверж­

дениями, которые строятся конструктивно и имеют содер­

жательный, интуитивно ясный смысл, с одной стороны, и

утверждениями идеальными, основанными на актуальной

286

Раздел З. Аргументация в зеркале эпистемологии

бесконечности и которые таким смыслом не обладают, -

с другой. Полагают, что присоединение идеальных утверж­ дений к реальным утверждениям классической математики

в ряде случаев дает ощутимые теоретические преимущест­

ва - например, позволяет упростить доказательства, уяс­

нить смысл теорем и т. д. [1, с. 237] :К тому же неинтуициони­ стская часть классической математики - анализ, основы

дифференциального и интегрального исчисления, теория функций действительного переменного и др. - имеет огром­ ное прикладное значение. Только математик-теоретик, а не

исследователь, занимающийся применением математики

в теоретическом естествознании, в социальных науках, тех­

нике и т.д., может позволить себе ограничиться интуитивно

ясными математическими истинами, которые могут быть по­

лучены исключительно конструктивными методами. Но это

означает, что современная математика продолжает оставать­

ся такой теоретической конструкцией, где далеко не каждое

отдельное утверждение обладает реальным, интуитивно яс­

ным смыслом и влечет за собой определенные онтологичес­

кие обязательства.

В этой связи возникают вопросы типа следующих: суще­

ствуют ли - как платонистские идеи или как эмпирические

сущности - единственные в своем роде «подлинные» числа

и понятие множества, а соответственно, и единственные «ис­

тинные» арифметика и теория множеств, по отношению

к которым имеющиеся многочисленные аксиоматические

теории являются лишь неполными, частичными приближе­ ниями? Положительные ответы означали бы, что существу­ ет некое «объективное», «внутренне присущее», «подлинно

истинное•) представление или решение математических

проблем, совершенно независимое от их конструктивного решения. Понятно, что наш опыт, по-видимому, не может

служить источником и непроблематичной основой «истин­

ных>) представлений о бесконечных множествах и понятии числа. Существование так:их представлений можно лишь

постулировать сугубо спекулятивно, если, например, при­ держиваться традиций платонизма. Разумеется, те или иные математические открытия сами по себе не в состоянии окончательно опровергнуть (илu подтвердить) какую-либо из эпистемологических позиций. Но все же нельзя не приз­

нать, что нет никакой одной-единственной теории мно-

Меркулов И.П. Когнитивные типы мь1шпения

287

 

 

 

жеств, а есть многие конкурирующие между собой теории и что пока нет оснований надеяться на возможную реабилита­

цию классической теории множеств в ее полном объеме и во­ обще на единственность решения проблем оснований теории множеств, которое заставило бы математиков принять та­ кую теорию в качестве «подлинно истинной». Таким обра­

зом, пока что нет никаких реальных пре~посылок для того,

чтобы и далее верить в существование какой-то «объектив­

ной реальности», которая обусловливала бы однозначную

определенность понятия мIJ:ожества и самой теории мно­

жеств. Конечно, вышеуказанные соображения, вы:текаю­

щие из кризиса оснований математики, серьезно подрывают

позиции ее классических эпистемологических (и онтологи­ ческих) интерпретаций.

1.2.Природа формальных наук

сточки зрения когнитивно­ эволюционного подхода в эпистемологии

Благодаря развитию за последние десятилетия когни­

тивной науки и эволюционных представлений примени­

тельно к человеку у нас появились весьма веские аргумен­

ты в пользу необходимости пересмотра классических

эпистемологических представлений о природе формаль­ ных наук - математики и логики. Речь в первую очередь идет об открытии в 60-70-х гг. ХХ в. межполушарной це­ ребральной асимметрии и двух когнитивных типов мыш­ ления - пространствеIJ:но-образного и знаково-символи­

ческого (логико-вербального) [4, р. 723-733]. Как оказа­

лось, различия между этими когнитивными типами мыш­

ления касаются главным образом способов переработки

информации, доминирующих мыслительных стратегий, принципов организации концептуальной связи стимулов.

Независимо от того, представлены ли стимулы в перцеп­ тивно-образной форме или в форматах символов, знаков и

слов, пространственно-образIJ:ое мышление использует только холистическую стратегию переработки многих па­ раметров поступающей информации - оно как бы работа­

ет параллельно с несколькими входами, напоминая в этом

отношении «Нейронный» компьютер, состоящий из иску­

сственных нейронных сетей. В результате происходит од-

288 Раздел З. Аргументация в зеркале эпистемологии

номоментное выявление соответствующих контекстуаль­

ных связей между различными смыслами перцептивных образов или между целостными образами, «гештальтами» и создание на этой основе многозначного контекста - нап­ ример, мозаичной или калейдоскопической картины. Для

знаково-символического мышления, напротив, характер­

на аналитическая стратегия переработки лишь некото­ рых, существенных для анализа, свойств и отношений, жестких причинно-следственных связей. Оно последова­ тельно перерабатывает когнитивную информацию - сим­ волы, знаки и перцептивные образы - по мере ее поступ­ ления (аналогично «цифровому» компьютеру), организуя

однозначный контекст, необходимый для успешной вер­ бальной коммуникации. Однако при предъявлении прос­ тейших стимулов различия между когнитивными типами мышления, касающиеся стратегий переработки инфор­

мации, почти полностью нивелируются: знаково-симво­

лическое мышление также обнаруживает способность

кодновременной переработке многопараметрической ин­ формации, а пространственно-образное мышление - некоторые, хотя и довольно примитивные, способности

канализу [3]. Стратегии знаково-символического (логи­ ко-вербального) и пространственно-образного мышления генетически контролируются нашей когнитивной систе­ мой (так же как и форматы внутренних мысленных репре­ зентаций - перцептивные образы, символы, слова и зна­ ки). В силу тесной кооперации и взаимодополнительности систем переработки когнитивной информации правого и левого полушарий эти стратегии совместно эволюциони­ руют в ходе когнитивной эволюции человеческих популя­ ций [2]. По-видимому, продолжающаяся эволюция наше­ го мышления (доминирующего знаково-символического

вкооперации с пространственно-образным) вносит допол­ нительные и весьма серьезные элементы проблематичнос­

ти в поиски какой-то одной-единственной, подлинно ис­

тинной «объективной реальности» (в том числе платонис­ тской идеи) как коррелята формальных математических структур и понятий.

Открытие когнитивных типов мышления, отличаю­ щихся главным образом стратегиями переработки когни­ тивной информации, дает нам достаточно надежные, эм-