Герасимова И.А. (ред.) - Мысль и искусство аргументации - 2003
.pdfМеркулов И.П. Когнитивные типы мышления |
279 |
аксиоматическую теорию, пригодную для построения бес конечных моделей, нельзя было считать достаточно надеж
ной. Выходизтупикабылпредложенв 1904 г. Гильбертом,
который, несмотря на обнаруженные аномалии, сохранял веру в надежность фундамента классической математики.
Он полагал, что для восстановления ее надежности нужно
ограничиться применением в математике только таких ме
тодов доказательства, которые были бы достаточно сильны для того, чтобы построить всю классическую математику
(включая канторовскую теорию множеств), но в то же вре
мя недостаточно сильны, чтобы вывести из соответствую щих аксиом противоречия (парадоксы).
Для реализации своей программы Д. Гильберт предло
жил формализовать математику, прежде всего ее осно ву - теорию множеств, арифметику и анализ, сформули
ровав их в виде формальной аксиоматической теории. Ме
тод формализации гильбертовского типа (или логисти ческий метод) предполагал построение некоторой
формальной системы, где из аксиом с помощью четко фиксированного множества правил вывода можно было вывести по меньшей мере основы математики. Формаль
ность система означала, что в ней учитывается только вид и порядок символов, а не их значения. Поскольку прави
ла вывода применяются только к последовательностям
символов, то в такой системе можно чисто механически,
путем сопоставления убедиться, будет ли цепь последова
тельностей символов доказательством последней последо вательности этой цепи или нет. Гильберт считал, что при
менение правил вывода к аксиомам не может привести
к формальной противоречивости, если все виды доказа
тельств, вызывающие возражения математиков (напри мер, ведущие к непредикативному образованию поня
тий), элиминировать из метаматематики, т. е. метатео рии, исследующей методы математических доказа
тельств. В метаматематике, настаивал Гильберт, следует
пользоваться исключительно финитными методами, ко
торые используют только «интуитивно представляемые>)
объекты и осуществимые процессы. Такие методы долж ны исключать рассмотрение бесконечного класса как за вершенного целого (т; е. использование «актуальной>), «завершенной>) бесконечности) и требовать для любого
280 |
Раздел 3. Аргументация в зеркале эпистемологии |
доказательства существования математического объекта
ссылки на алгоритмически выполнимый метод его пост
роения. Получалось, что проблема непротиворечивости,
если ее сформулировать в финитных терминах, может
быть решена финитными методами.
Хотя Гильберту и его последователям удалось доказать
строго финитными методами непротиворечивость доволь
но широкой подсистемы арифметики, их программа в це
лом, основанная на вере в принципиальную разрешимость
всех математических проблем, порожденных аномалия ми, в рамках некоторой конкретной формальной (логис тической) системы, на практике оказалась невыполни мой. Как было показано в 1931 г. К. Гёделем (теорема
о неполноте), логистические системы, настолько богатые, что они содержат рекурсивную арифметику (а к ним отно
сятся все теории множеств!), либо противоречивы, либо неполны. Таким образом, эта теорема фактически выяви
ла принципиальную ограниченность дедуктивных воз
можностей достаточно богатой логистической системы. (В
дальнейшем оказалось, что ее выводы справедливы и для
некоторых нелогистических формальных систем, где до пускаются трансфинитные правила вывода - например,
правило бесконечной индукции). Из нее также следовало, что семантическое понятие истины в арифметике (а следо вательно, и во всей математике) нельзя исчерпывающим образом выразить посредством синтаксического понятия
доказуемости в какой-либо одной логистической системе. Полученные Гёделем результаты, кроме всего прочего,
свидетельствовали о недостаточности допускаемых фор мализмом финитных методов для доказательства непро
тиворечивости классической математики. Тем самым об наружилось, что первоначальный вариант гильбертовс
кой программы практически неосуществим, а возлагав
шиеся на эту программу надежды безосновательны.
Теоремы о полноте и неполноте формальных систем обоз
начили важные эпистемологические границы математи
ческого познания - стало ясно, что пути математических
открытий не сводятся только к обнаружению новых след
ствий из данных аксиом по данным правилам вывода, как
это предполагалось программой Гильберта, а включают в себя также изобретение новых аксиом и правил.
Меркулов И.П. Когнитивные типы мышления |
281 |
В то время как формализм рассчитывал укрепить струк туру классической математики посредством доказатель
ства ее непротиворечивости, интуиционизм предложил
гораздо более радикальные меры по реконструкции мате
матики. Интуиционисты полагали, что источник проблем канторовской теории множеств (как и всей классической
математики) коренится в непонимании природы матема тического познания, в необоснованном перенесении на об ласть бесконечного методов доказательства, пригодных лишь для области конечного. Согласно Л. Брауэру и его
последователям, математику нельзя рассматривать как
некую теорию, состоящую из предложений и правил, а только как особого рода интеллектуальную деятель ность, как метод познания человеческого опыта, базирую щийся на изначальной математической интуиции, на ин туиции положительных целых чисел. Эта интуиция носит
не чувственный (или опытный), а скорее врожденный ха рактер, по сути дела, она представляет собой, если исполь
зовать современные когнитивные представления, своего
рода «встроенную» в нашу когнитивную систему програм
му обработки информации, которая обеспечивает выделе ние отдельных восприятий, элиминацию всех качествен
ных особенностей воспринимаемых объектов и мысленное объединение нескольких единиц в некое абстрактное единство непрерывности и дискретности. Математика
имеет непосредственное отношение не к внешнему миру,
а исключительно к нашему внутреннему миру мыслитель
ных процессов, которые путем неопределенного повторе
ния элементарных математических актов можно выстро
ить в неограниченную последовательность. Прототипом тех мыслительных стратегий, с которыми интуиционизм
отождествлял математическое мышление, по-видимому,
выступало построение по математической индукции, где
с помощью конечных процедур могут быть получены толь
ко конечные утверждения и где их истинность или лож
ность можно в принципе установить посредством конечно
го числа испытаний. Эти стратегии широко применяются,
хотя, как правило, и неосознанно, в нашем повседневном,
обыденном мышлении и познании. Но, по мысли интуи
ционистов, лишь на высшей ступени эволюции ментали
тета и цивилизованности возникают предпосылки для пе-
282 |
Раздел з. Аргументация в зеркале эпистемологии |
рехода к математическим абстракциям и их уточнению
с помощью теорий.
Брауэр и его последователи использовали представление об изначальной интуиции положительного целого числа
для того, чтобы определить свободно становящиеся после довательности и множества, включив таким образом в сфе
ру действия математической интуй:ции не только дискрет
ную и счетную теорию чй:сел, но и непрерывную и несчет
ную область анализа. ВзамеЕ: классической математики
они предложили построить математику, :которая согласо
вывалась бы с интуицией и где система математических
сущностей возникала бы в результата их построения, а не
вводилась бь1 целиком :как множества, удовJiетворяющие
списку аксиом. Ведь заранее не известно, какие конкрет ные способы построения необходимы для достижения той й:ли иной цели. Динамическая, ничем не ограниченная
природа математмческого мышления исключает возмож
ность исчерпывающих описаний процессов и операций,
при~юдящих к допустимым математическим :конструкци
ям. Любое описание такого рода, любая система аксиом и правиJI вывода, любое представление на язьrке символи ческой логики могут быть только приблизительными, ги
потетичными характеристиками конструктивных процес
сов математического мышления.
Надо сказать, что по сравнению с логицизмом и метама
тематическим подходом (формализмом) и1tтуиционизм
зЕ:ачительно ограничмвал эпистемоJiо!'ическую роль язы
ка. Процесс мышления с точки зреюi:я этого направления :не столь уж за:nисмм от языковой репрезентации мысли, поскоJ1ьRу язык (иJiи его письмейный эквивалент) действи
тельЕ:о нужен нам лить для передачи идей, смыслов. Даже математичесRИЙ язык (йе говоря уже о повседйев:tюм язы
ке) значительйо уступает мысленным конструкциям в силу
своей н:еопредепенностn, двусмысленности, чреватой недо
разуменnями, nоскольку интерпретация математических и
логических символов всегда опирается на естественный
языR. Являясь в своей основе строгой и однозначной, мате
матическая мысль нередко существенно искажается в ре
зультате актов :nербапьной коммуниRаций или письменно го изложенйя. Поскольку для математики нет никакого на
дежного .1tзыt<а, то следует анализировать не математичес-
Меркулов И.П. Когнитивные типы мышления |
283 |
кий язык, а математическое мышление, математическое доказательство, которое тто своей сути тождественно пост
роению. Но как мыслительный процесс математическое построение не может быть адекватно вербализировано и
символизировано.
Поскольку математика представляет собой прежде все
го математические конструкции, а не их языковые репре
зентации (выражения), то и логuку, согласно точке зре
ния интуиционистов, следует рассматривать только как
науку о формах репрезентации мыслей, как получающую
ся благодаря абстракции: от математики теорию репрезен тации математических конструкций. Логические законы суть законы символизации мышления. Единственной ос новой математики выступает арифметика (теория чисел).
К математике логические законы приложимы лишь в той степени, в :какой они согласуются с математической инту ицией и конструктивным построением математических объектов. Эти законы предполагают использование предс
тавлений о бесконечных множествах, как о чем-то завер
шенном, а это не согласуется с матщvrати:ческой интуици ей, допускающей существование щrшь потенциальной («незавершенной>)) бесконечности. Поэтому законы клас сической логики имеют ограниченную область приложе
ния - они применимы только :к конечным множествам
с определенными границами. В первую очередь это :касает
ся закона исключенного третьего, :которJ>IЙ лежит в основе
косвенных доказательств существования математичес ких объектов. Этот закон нельзя рассматривать в качестве априорной логической аксиомы, а только как щ3ристичес
:кую гипотезу, позволяющую предвидеть результат, :кото
рый может быть достигнут построением. Отрицание обще го утверждения в классической логике (и математике)
с этой точки зрения просто бессмысленно, оно не влечет за собой некоторого утверждения о существовании, если
речь не идет о коIJечной предме'{'ной облас'I'И с определен ным объеёмом. В качестве отрицания общего утвержде
ния может выступать только построенный контрпример. Таким образом, сторонники интуиц:ионизма фактичес
ки отвергали правомерность косвенного метода дока.за-
тельства за исключением тех случаев, когда он может
быть заменен конструктивным построением, где сущест-
284 |
Раздел 3. Аргументация в зеркале эпистемологии |
вование математического объекта доказывается путем
ссылки на процедуру его получения из более простых объ
ектов посредством последовательного применения каких
либо правил (конструкций). Понятно, что тем самым иск лючается появление антиномий (типа парадокса Рассела),
поскольку соответствующие математические (и логичес
кие) объекты не могут быть конструктивно построены. Од
нако интуиционисты не отрицали эвристическую цен
ность косвенного метода - теорема, доказанная с по
мощью косвенного метода, признавалась ими в качестве
непротиворечивой, поскольку ее отрицание не может быть истинным. Такое доказательство, с их точки зрения,
должно служить примером для поиска соответствующего
конструктивного доказательства.
В ходе начавшейся еще в 1918 г. реконструкции матема тики в соответствии с программой интуиционистов посте
пенно сформировалась интуиционистская математика, ко
торая лишь частично (если речь идет о результатах) пересе кается с классической математикой. Интуиционисты счита
ли, что все законные математические методы укладываются
в их систему, которая вполне достаточна для нужд матема
тики. Их методы, как правило, оказывались гораздо более
сложными, поскольку приходилось избегать использова
ния косвенных доказательств, но одновременно и более ин
формативными. Однако многие математики оказались не
готовы принять интуиционистские ограничения. Правда, последующие успехи неоинтуиционизма (и вышедшего из него конструктивизма) значительно умерили их первона
чальный скепсис.
Несмотря на крах первоначальных вариантов логицис тской, формалистской и интуиционистской программ,
несмотря на то, что этим направлениям так и не удалось
преодолеть кризис оснований математики, связанный с открытием антиномий, все же был накоплен огромный
арсенал знаний в виде новых понятий, новых теорий и ме
тодов, послуживших отправным пунктом дальнейших ма
тематических и метаматематических исследований. С по
мощью метода формализации не только удалось выявить
и надлежащим образом сформулировать фундаменталь
ные математические проблемы, но и наметить пути их конструктивного решения. В метаматематике также было
Меркулов И.П. Когнитивные типы мышления |
285 |
сделано немало замечательных открытий, благодаря ко
торым у нее постепенно открылись принципиально новые
области применения. В частности, совершенно неожидан но здесь возникла область, связанная с построением и изу чением «машинных» языков (языков программирова ния). Отправным пунктом ее формирования послужили исследования, проводимые в рамках гильбертовской
программы, целью которых являлось уточнение понятия
механической вычислительной процедуры (алгоритма) в арифметике. Попытки эксплицировать интуитивное
представление о вычислимых функциях с помощью поня
тий, сформулированных в точных математических тер
минах, и разложить известные вычислительные процеду
ры на элементарные операции, повторения которых было бы достаточно для проведения любого возможного вычис
ления, увенчались разработкой теоретических принципов функционирования некоторого рода идеальной вычисли тельной машины («машины Тьюринга» ), значение кото рых для последующего развития компьютерной техники
иинформационных технологий трудно переоценить.
Врезультате довольно бурных дискуссий между интуици
онистами и сторонниками метаматематического подхода
постепенно был достигнут известный компромисс и устано
вилось некоторое взаимопонимание: интуиционисты,
в частности, согласились снять основную часть своих возра
жений против программы Гильберта, если формалисты (ко
торые в некотором отношении оказались даже более последо
вательными «финитистами») откажутся от своего отождес
твления непротиворечивости системы и существования в ма-
тематике (т. е. от своего тезиса, что доказательство
непротиворечивости формализма является достаточным ус
ловием для материальной истинности любых его интерпре таций) применительно к тем ее областям, которые, по их мне
нию, не имеют интуитивной основы. Но в чем тогда ценность неинтуиционистской части классической математики? Пы
таясь решить эту проблему, Гильберт еще в 1926 г. предло
жил проводить различие между реальным и идеальным су
ществованием, между реальными математическими утверж
дениями, которые строятся конструктивно и имеют содер
жательный, интуитивно ясный смысл, с одной стороны, и
утверждениями идеальными, основанными на актуальной
286 |
Раздел З. Аргументация в зеркале эпистемологии |
бесконечности и которые таким смыслом не обладают, -
с другой. Полагают, что присоединение идеальных утверж дений к реальным утверждениям классической математики
в ряде случаев дает ощутимые теоретические преимущест
ва - например, позволяет упростить доказательства, уяс
нить смысл теорем и т. д. [1, с. 237] :К тому же неинтуициони стская часть классической математики - анализ, основы
дифференциального и интегрального исчисления, теория функций действительного переменного и др. - имеет огром ное прикладное значение. Только математик-теоретик, а не
исследователь, занимающийся применением математики
в теоретическом естествознании, в социальных науках, тех
нике и т.д., может позволить себе ограничиться интуитивно
ясными математическими истинами, которые могут быть по
лучены исключительно конструктивными методами. Но это
означает, что современная математика продолжает оставать
ся такой теоретической конструкцией, где далеко не каждое
отдельное утверждение обладает реальным, интуитивно яс
ным смыслом и влечет за собой определенные онтологичес
кие обязательства.
В этой связи возникают вопросы типа следующих: суще
ствуют ли - как платонистские идеи или как эмпирические
сущности - единственные в своем роде «подлинные» числа
и понятие множества, а соответственно, и единственные «ис
тинные» арифметика и теория множеств, по отношению
к которым имеющиеся многочисленные аксиоматические
теории являются лишь неполными, частичными приближе ниями? Положительные ответы означали бы, что существу ет некое «объективное», «внутренне присущее», «подлинно
истинное•) представление или решение математических
проблем, совершенно независимое от их конструктивного решения. Понятно, что наш опыт, по-видимому, не может
служить источником и непроблематичной основой «истин
ных>) представлений о бесконечных множествах и понятии числа. Существование так:их представлений можно лишь
постулировать сугубо спекулятивно, если, например, при держиваться традиций платонизма. Разумеется, те или иные математические открытия сами по себе не в состоянии окончательно опровергнуть (илu подтвердить) какую-либо из эпистемологических позиций. Но все же нельзя не приз
нать, что нет никакой одной-единственной теории мно-
Меркулов И.П. Когнитивные типы мь1шпения |
287 |
|
|
|
|
жеств, а есть многие конкурирующие между собой теории и что пока нет оснований надеяться на возможную реабилита
цию классической теории множеств в ее полном объеме и во обще на единственность решения проблем оснований теории множеств, которое заставило бы математиков принять та кую теорию в качестве «подлинно истинной». Таким обра
зом, пока что нет никаких реальных пре~посылок для того,
чтобы и далее верить в существование какой-то «объектив
ной реальности», которая обусловливала бы однозначную
определенность понятия мIJ:ожества и самой теории мно
жеств. Конечно, вышеуказанные соображения, вы:текаю
щие из кризиса оснований математики, серьезно подрывают
позиции ее классических эпистемологических (и онтологи ческих) интерпретаций.
1.2.Природа формальных наук
сточки зрения когнитивно эволюционного подхода в эпистемологии
Благодаря развитию за последние десятилетия когни
тивной науки и эволюционных представлений примени
тельно к человеку у нас появились весьма веские аргумен
ты в пользу необходимости пересмотра классических
эпистемологических представлений о природе формаль ных наук - математики и логики. Речь в первую очередь идет об открытии в 60-70-х гг. ХХ в. межполушарной це ребральной асимметрии и двух когнитивных типов мыш ления - пространствеIJ:но-образного и знаково-символи
ческого (логико-вербального) [4, р. 723-733]. Как оказа
лось, различия между этими когнитивными типами мыш
ления касаются главным образом способов переработки
информации, доминирующих мыслительных стратегий, принципов организации концептуальной связи стимулов.
Независимо от того, представлены ли стимулы в перцеп тивно-образной форме или в форматах символов, знаков и
слов, пространственно-образIJ:ое мышление использует только холистическую стратегию переработки многих па раметров поступающей информации - оно как бы работа
ет параллельно с несколькими входами, напоминая в этом
отношении «Нейронный» компьютер, состоящий из иску
сственных нейронных сетей. В результате происходит од-
288 Раздел З. Аргументация в зеркале эпистемологии
номоментное выявление соответствующих контекстуаль
ных связей между различными смыслами перцептивных образов или между целостными образами, «гештальтами» и создание на этой основе многозначного контекста - нап ример, мозаичной или калейдоскопической картины. Для
знаково-символического мышления, напротив, характер
на аналитическая стратегия переработки лишь некото рых, существенных для анализа, свойств и отношений, жестких причинно-следственных связей. Оно последова тельно перерабатывает когнитивную информацию - сим волы, знаки и перцептивные образы - по мере ее поступ ления (аналогично «цифровому» компьютеру), организуя
однозначный контекст, необходимый для успешной вер бальной коммуникации. Однако при предъявлении прос тейших стимулов различия между когнитивными типами мышления, касающиеся стратегий переработки инфор
мации, почти полностью нивелируются: знаково-симво
лическое мышление также обнаруживает способность
кодновременной переработке многопараметрической ин формации, а пространственно-образное мышление - некоторые, хотя и довольно примитивные, способности
канализу [3]. Стратегии знаково-символического (логи ко-вербального) и пространственно-образного мышления генетически контролируются нашей когнитивной систе мой (так же как и форматы внутренних мысленных репре зентаций - перцептивные образы, символы, слова и зна ки). В силу тесной кооперации и взаимодополнительности систем переработки когнитивной информации правого и левого полушарий эти стратегии совместно эволюциони руют в ходе когнитивной эволюции человеческих популя ций [2]. По-видимому, продолжающаяся эволюция наше го мышления (доминирующего знаково-символического
вкооперации с пространственно-образным) вносит допол нительные и весьма серьезные элементы проблематичнос
ти в поиски какой-то одной-единственной, подлинно ис
тинной «объективной реальности» (в том числе платонис тской идеи) как коррелята формальных математических структур и понятий.
Открытие когнитивных типов мышления, отличаю щихся главным образом стратегиями переработки когни тивной информации, дает нам достаточно надежные, эм-