Герасимова И.А. (ред.) - Мысль и искусство аргументации - 2003

ТРЕХМЕРНАЯ ЛОГИКА: силлогизмы

Сперва хочу вам в долг вменить

На курсы логики ходить...

Вмозгах, как на мануфактуре, Есть ниточки и узелки.

Посылки не по той фигуре Грозят запутать челноки...

Поймете волею-неволей.

Для этого придется впредь

Вредукции понатореть, Классифицируя поболе.

Гете.Фауст (пер. В.Пастернака)

ВВЕДЕНИЕ. Силлогистика является наиболее доступ­

ным средством приобщения учащихся к логике благода­

ря ее простоте, элегантности и близости к естественному языку. Исторически первой дедуктивной теорией была

силлогистика, которую построил основатель логики

древнегреческий философ Аристотель. Он заканчивает том логических сочинений словами о созданном им уче­ нии об умозаключениях: «Мы должны были сами создать

его с большой затратой времени и сил... Вам, слушате­ лям, следует быть снисходительными к упущениям в этом учении, а за все изобретенное нами - глубоко при­

знательными».

С основными логическими понятиями можно познако­ миться по гимназическому учебнику, отмеченному пре­ мией Петра Великого и выдержавшему девять дореволю­ ционных изданий. Был выпущен также его сокращенный

вариант для преподавания логики в школах сталинского

времени, а недавно вышло полное переиздание. Умоза­

ключением называется выведение нового суждения из не­

скольких данных суждений, называемых посылками.

Выводимое суждение называется заключением. «Силло­ гизм есть такая форма умозаключения, в которой из двух

суждений необходимо вытекает третье» [10].

Альтернативные миры. Перед каждым школьником вста­

ет проблема специализации, чему обычно предшествует вы­

бор между математическими и гуманитарными школами

230 Раздел 2. Аргументы от непротиворечивости

или классами. Пусть, например, в школе имеются парал­

лельные классы: математический 1.1 (или lA) и гуманитар­

ный 1.2 (или lБ). Итак, получаем 1.111 1.2. Операцию пере­

хода в «Параллельный мир» будем обозначать оператором Alt. ТогдаАlt 1.1=1.2. К сожалению, в действительности этот переход бывает непростым, и чем позже, тем он труднее.

Английский физик и писатель Ч. Сноу (1905-1980) писал: «Очень часто - не фигурально, а буквально я про­

водил дневные часы с учеными, а вечера со своими лите­

ратурными друзьями... Их разделяет стена непонима­ ния, а иногда - особенно среди молодежи - даже анти­ патии и вражды. Но главное, конечно, непонимание» [7]. Сто лет тому назад существенный шаг для наведения

моста между двумя культурами был сделан Л. Кэррол­ лом. Его логическая игра позволяет полностью избавить­

ся от запоминания традиционных мнемонических слов,

давая наглядный и простой способ получения заключе­ ния из посылок силлогизма. Английский писатель Г.К. Честертон (1874-1936) назвал метод диаграмм Кэр­

ролла «геометрией мь~сл.и будущего». «Методы эти поз­ волят вам обрести ясность мысли, способность находить собственное решение трудных задач, выработают у вас привычку к систематическому мышлению... » [3]. Его ге­ ометрическое решение может быть изложено на алгебра­ ическом языке векторов, которые образуют простран­

ство строк.

Проблема классификации. Л. Кэрролл наглядно проде­ монстрировал связь логических задач с проблемой кл.асси­

фикачии. Эта проблема возникает при составлении обыч­ ных каталогов, а также при распознавании образов, в тех­ нической диагностике. Общий характер этих задач привел

к возникновению теории вопросников, в которых трудоем­

кость поиска зависит от размерности экспоненциально,

а в случае эффективных алгоритмов - полиномиально.

В информатике при создании каталогов пользуются ис­ ключительно древовидными структурами. В большинстве

фирм управление тоже организуется по структуре дерева.

Построенное дерево отражает характерные особенности

систем подчинительных связей (субординаций) в иерар­

хии структурных уровней. При двоичной ( «дихотомичес-

кой») классификации элемент высшего уровня суборди­

нации связан с двумя элементами низшего уровня.

Можно построить дерево теоретической классифика­

ции, в которой понятия первого уровня истина (И) и ложь

(Л) подразделяются на понятия второго уровня.

Однако на практике исследователь обычно не знает сами

значения истинности, а располагает только их оценками:

принятое (П) или отвергнутое (О).

Поэтому с практической точки зрения предпочтитель­

нее другое дерево. Значение неопределенно (Н) не может

находиться на одном уровне иерархии со значениями ис­

тинно (И) и ложно (Л), что было бы логической ошибкой, известной под названием «скачок в делении>). Ситуация неопределенности соответствует незнанию И или Л и яв­

ляется понятием нулевого уровня, которое разделяется на

понятия первого уровня. Ситуация неопределенности ( юсот в мешке,>) соответствует выражению «орел или

решка)>, а вовсе не предполагает третьего состояния -

«монета встала наребро>). Следующий уровень иерархии образуют: ПИ - принятая истина, ОИ - отвергнутая ис­ тина, ПЛ - принятая ложь, ОЛ - отвергнутая ложь.

Простота иерархических систем оборачивается сущест­

венными недостатками. Первое неудобство субординаций

состоит в том, что для выхода на элемент самого верхнего

уровня надо последовательно пройти все уровни иерар­ хии; второе неудобство субординаций - в том, что при смене иерархической системы нужна ее полная перест­

ройка. При переходе от теоретической классификации

к практической классификации требуется слом старой ие­

рархии и замена ее новой. Для обеспечения простого, не­ посредственного доступа к любым компонентам системы

надо вместо различных систем субординации перейти

вии приобрести хронический характер. В целях окончатель­ ного устранения возможного недомыслия полезно отдельно

остановиться на классификационной таблице для именован­ ных алгебраических и логических величин:

1

В двоичной классификации 1 будет обозначать первый ис­ ход («орел»), 2 - второй исход («решка»). При этом О озна­ чает «не знаю» («орел или решка»), а не третий исход. Логи­

ческий пуль позволяет воспользоваться сложением и вычи­

танием логических векторов, что невозможно сделать с шаб­ лоном в виде знака звездочки'", применяемой в качестве

символа неопределенности в компьютерных каталогах.

Операции с векторами производятся покомпонентно. Например, 1.11+1.12 = 1.10, что означает: именованные алгебраичес1Сие с1Саляры + именованные алгебраичес1Сие ве1Сторы =именованные алгебраичес1Сие величины. Анало­ гично 1.21+1.22 = 1.20, что означает: именованные логи­

чес1Сие С1Саляры + именованные логичес1Сие ве1Сторы = име­

нованные логичес1Сие величины. Для логического сложе­ ния: 1+1=1 (идемпотентность). Сложение производится по принципу «Раз, два, и обчелся»: 1 + 2 = О. ибо 3 = О по модулю 3 (заметим также, что имеем 2 = -1 по модулю 3).

Приведем полную классификацию для универсума:

0.00 - величины

В этой таблице вектор (No листа, No строки, No колонки) обозначает набор аспектов. Первый лист картотеки 1.00 представляет именованные величины. Ему соответствует внутренний квадрат диаграммы :Кэрролла. Отвлеченные (неименованные) величины 2.00 представлены вторым

листом картотеки и, соответственно, внешним квадратом

диаграммы :Кэрролла.

1.11 1.12

2.112.12

1.21

1.21 1.22

2.212.22

Самыми непростыми оказываются именно «простые»

понятия («непростая простота»). Недаром говорят: «Толь­ ко не задавайте простых вопросов». Даже «просто» числа - это абстрактные (неименованные) числа, которые полу­

чаются путем абстрагирования от наименований исчисля­ емых предметов. В реальной жизни просто числом явля­ ется только нуль (недаром его не знали в Древней Греции). Например, нельзя сказать, что рыбак поймал О карасей (а откуда известно, что не О щук?). Это - ситуация неопре­ деленности, которую и в логике удобно обозначать нулем.

Силлогистика. Посылки и заключение силлогизма представляют собой суждения. :К ним относятся следую­

щие суждения:

1. «Всех суть z» - общеутвердительное суждение.

2. «Ни один хне есть Z» - общеотрицательное суждение. 3. «Некоторые х суть Z» - частноутвердительное сужде­

ние.

4. «Некоторые хне есть Z» - частноотрицательное сужде­

ние.

Например, суждение «Все ученые смертны» является

общеутвердительным, а суждение «Некоторые ученые

смертны» является частноутвердительным.

При арифметизации будем кодировать утверждение числом +1, отрицание числом -1. В дальнейшем часто бу­

дем просто ставить «+» и «- » • Отсутствие информации бу-

дем обозначать числом О. Частноутвердительному сужде­ нию соответствует положительный ве:ктор, а общеотрица­ тельному суждению - отрицательный ве:ктор. Если обо­ значить: х=ученые, у=люди, z=смертные, то ве:ктор (+ О -) будет обозначать частноутвердительное суждение «Не­ :которые ученые смертны»= «Не:которые х суть Z», а ве:к­ тор -(+О-) - общеотрицательное суждение «Ни один уче­ ный не бессмертен>) = «Ни один хне есть не-z>). Эти два

ве:ктора дают общеутвердительное суждение «Все ученые

смертны>) = «Все х суть z >).

Получение логичес:кого за:ключения сводится :к ис:клю­

чению термина-посредни:ка «у>) (среднего термина силло­ гизма). Приведем пример силлогизма, :который состоит из общеутвердительных суждений:

Все люди смертны. Все ученые - люди.

Все ученые смертны.

В ве:кторных обозначениях приведенный выше силло­ гизм может быть записан в следующем виде:

При решении проблемы разрешимости силлогизмов ре­ шающую роль играет принцип аннигиляции. 3а:ключение следует из данных посыло:к при условии ровно одной ан­

нигиляции при сложении или вычитании ве:кторов.

В за:ключении получаем положительный ве:ктор :ка:к пере­ :крестную разность (1,1,0) - (0,1, -1) = (1,0,1), а отрицатель­ ный ве:ктор - :ка:к зна:к суммы отрицательных частей (0,1, -1) + (1, -1,0) = (1,0, -1). 3а:ключение принимается, :когда сумма отрицательных частей или хотя бы одна пере:крестная

разность дает ровно один нуль. Другая разность (0,1,1) - (1, -1, О) = (-1, 2, 1) отвергается (ибо число 2 в за:ключении у:казы­ вает на несовместность утверждения+1 и отрицания -1).

Приведем текст программы Aristotle.bas для решения

силлогизмов:

SCREEN 8: COLOR 7, 1: DIM х(4, 2, 3)

PRINT "ЕСТЬ х у z НЕТ х у z": PRINT

FORk= 1 ТО2 FORi= 1 ТО2 PRINT SPC(6); FORj = 1ТО3 READ x(k, i, j)

PRINT x(k, i, j); NEXTj

NEXTi

PRINT

NEXTk

PRINT "----------------------------" FORj = 1ТО3

х(3, 2, j) = SGN(x(l, 2, j) + х(2, 2, j)) х(3, 1, j) = x(l, 1, j)- х(2, 2, j)

х(4, 1, j) = х(2, 1, j) - x(l, 2, j) NEXTj

PRINT SPC(6); х(3, 1, 1); х(3, 1, 2); х(3, 1, 3); PRINT SPC(6); х(3, 2, 1); х(3, 2, 2); х(3, 2, 3) PRINT SPC(6); х(4, 1, 1); х(4, 1, 2); х(4, 1, 3) DATA 1,1,0, 1,-1,0

DATA 0,1,1, 0,1,-1 END

Автором написана программа Carroll.bas, позволяющая

получать также чертеж диаграммы Кэрролла [7, 8].