5. Системы случайных величин и их характеристики

С системами случайных величин сталкиваются во всех случаях, когда результаты эксперимента характеризуются несколькими случайными величинами, которые в силу взаимной зависимости необходимо рассматривать как единое целое, например, как случайный вектор, где знакобозначает операцию транспонирования матрицы. С системами случайных величин имеют дело при обработке результатов косвенных, совокупных и совместных измерений.

Способы описания системы случайных величин аналогичны способам описания одномерных случайных величин. Исчерпывающими вероятностными характеристиками системы из случайных величин является-мерная функция распределения

(5.1)

или -мерная плотность вероятности

. (5.2)

Как и в случае одномерном, многомерные функции распределения и плотности вероятности взаимнооднозначно определяют друг друга:

,

. (5.3)

Многомерная функция распределения удовлетворяет следующим условиям:

1) ;

2) ;,

3.  , .

Свойства многомерной плотности вероятностей аналогичны свойствам одномерной:

1) ;

2) . (5.4)

Аналогично (2.7) определяется вероятность пребывания случайного вектора в любой области-мерного пространства:

. (5.5)

Если координаты случайного вектора статистически независимы, то

. (5.6)

Это соотношение является необходимым и достаточным условием для статистической независимости случайных величин.

Математическим ожиданием функции нескольких случайных величин называется число

. (5.7)

Для -мерного случайного векторатакже вводятся понятия математических ожиданий его компонент и вторых центральных моментов:

, (5.8)

,

. (5.9)

Очевидно, что . Матрица, компоненты которой являются случайными величинами, называетсяслучайной матрицей. Математическим ожиданиемслучайной матрицыназывается матрица, компоненты которой равны математическим ожиданиям компонент матрицы.

Симметрическая матрица , компонентами которой являются величиныиз (5.9), называетсяковариационной матрицейслучайного вектора. В матричном виде выражение для нее будет:

. (5.10)

Для независимых случайных величин справедливы следующие важные свойства:

, (5.11)

. (5.12)

В приложениях метода наименьших квадратов часто приходится иметь дело с -мерным случайным вектором, компоненты которого распределены по нормальному закону и представляют собой случайные погрешности наблюдения. При этом зачастую составляются линейные комбинации наблюдений и их погрешностей вида:

, (5.13)

где – случайный вектор, получающийся из вектора путем линейного преобразования, задаваемого матрицей размера . Если и ранг матрицы равен , то вектор будет называться невырожденным, и его компоненты тоже будут распределены нормально. Причем вектор математических ожиданий :

, (5.14)

а ковариационная матрица :

. (5.15)

Для двух случайных величин и, имеющих совместное распределениемерой их статистической зависимости являетсякоэффициент корреляции:

, (5.16)

где – второй центральный момент распределения, задаваемый выражением (5.9). Если, то величиныистатистически независимы, и наоборот, если, то междуисуществует линейная зависимость.