- •Вероятностное описание погрешностей измерения
- •1. Случайные события и их вероятности
- •2. Случайные величины и их распределения
- •3. Числовые характеристики случайных величин
- •4. Распределения, часто встречающиеся в задачах метрологии
- •5. Системы случайных величин и их характеристики
- •Введение
- •Научно-техническое
- •Законодательное
- •1.2 Средства измерения и их основные характеристики
- •Средства измерения
- •Измерительные приборы
- •Характеристики средств измерения
- •1.3. Государственная система обеспечения единства измерений
- •Эталоны
- •Электрические измерения
- •2. Погрешности измерений
- •2.1 Классификация
- •Погрешности измерения
- •Методы борьбы с систематическими погрешностями
- •2.3. Нормирование погрешностей средств измерений
- •3. Обработка результатов измерений
- •3.3. Обработка результатов косвенных измерений
- •3.6. Погрешности косвенных измерений
- •Вероятностное описание погрешностей измерения
- •1. Случайные события и их вероятности
- •2. Случайные величины и их распределения
- •3. Числовые характеристики случайных величин
- •4. Распределения, часто встречающиеся в задачах метрологии
- •5. Системы случайных величин и их характеристики
- •1. Необходимые сведения из математической статистики.
- •1.1. Выборка. Статистика.
- •1.2. Оценивание параметров
- •1.3. Несмещенные и состоятельные оценки.
- •1.4. Точность оценивания параметров
- •1. Введение
- •2. Обработка результатов прямых измерений
- •2.1. Точечное оценивание
- •2.2. Оценивание с помощью доверительных интервалов
- •2.3. Примеры решения задач Опыты Милликена [1, стр.102].
- •Проверка статистических гипотез
- •1. Проверка гипотезы о равенстве математического ожидания заданному значению
- •2. Проверка гипотезы о равенстве дисперсии заданному значению
- •3. Проверка гипотезы о равенстве двух дисперсий
- •4. Резко выделяющиеся наблюдения
- •5. Примеры решения задач
- •5.1. Проверка гипотез
- •5.2. Опыты Кэвендиша [1, стр.105]
- •Обработка результатов прямых неравноточных измерений
- •1. Точечное оценивание
- •2. Оценивание с помощью доверительных интервалов
- •3. Пример неравноточных измерений
- •Обработка результатов совместных измерений
- •1. Случай линейной системы уравнений
- •2. Случай нелинейной системы уравнений
- •3. Важные частные случаи
- •3.1. Случай равноточных измерений
- •3.2. Линейная регрессия
- •3.3. Полиномиальная регрессия
- •4. Примеры совместных измерений
- •4.1. Исследование зависимости сопротивления проводника от температуры
- •4.2. Исследование зависимости поверхностного натяжения от потенциала электрода
- •Раздел 4
- •4.1 Основные определения
- •4.1.1 Параметры оптимизации.
- •4.1.2. Факторы.
- •4.1.3 Выбор модели
- •4.2 Пассивные эксперименты.
- •4.3. Активный эксперимент.
- •4.3 Полный факторный эффект.
- •4.3.1 Принцип решения перед планированием.
- •4.3.2 Полный факторный эксперимент типа
- •4.3.3. Понятия о дробной реплике
- •4.2.4 Свойства полного факторного эксперимента.
- •4.3 Крутое восхождение по поверхности отклика.
- •5.2 Активные преобразователи.
- •5.2.1 Пассивные преобразователи.
- •5.2.2 Активные масштабные преобразователи
- •5.3 Измерительные механизмы приборов и их применение.
- •5.3.1Магнитоэлектрические механизмы
- •5.3.2 Электродинамические механизмы
- •5.3.3 Ферродинамические механизмы
- •Компенсаторы
- •4.4.5 Автоматические компенсаторы.
- •4.4.6 Графические самопишущие электроизмерительные приборы (сэп).
- •4.4.6 Светолучевые осциллографы.
- •5.6 Электронные измерительные приборы.
- •Ацпаналогово-цифровой преобразователь.
- •Погрешность квантования
- •6.3. Дискретизация по времени и восстановление непрерывных функций.
- •6.3.1. Теорема Котельникова.
- •6.3.2. Критерии выбора отсчетов и способы восстановления непрерывных функций.
- •6.3.3. Восстановление непрерывных функций интерполяционными полиномами.
- •7.4. Технические характеристики цип.
- •6.5.1. Цифровые фазометры.
- •6.6. Цифровые измерительные приборы для измерения постоянных напряжений и токов.
- •6.6.1. Цифровые вольтметры временного преобразования.
- •6.9. Цип с микропроцессорами.
- •6. Оценивание распределений.
- •6.1. Параметрическое и непараметрическое оценивание.
- •6.2. Гистограмма.
- •6.3. Оценка функции распределения.
- •6.5.2. Цифровые частотомеры (цч)
- •5.6.2 Цифровые вольтметры частотного преобразования
- •5.7 Цифровые измерительные приборы для измерения переменных напряжений и токов.
- •5.8 Цип для измерения параметров электрических цепей
- •5.6.2. Цифровые вольтметры частотного преобразования.
- •Фи – формирователь импульсов стабильной вольтсекундной
1.2. Оценивание параметров
Допустим, что имеется выборка из n случайных величин, которые полностью характеризуются их совместной плотностью вероятностей
,(1.1)
зависящей от mпараметров . В математической статистике плотность вероятностей называетсяфункцией правдоподобия выборки.
В случае повторной выборки:
(1.2)
Задача заключается в нахождении значений неизвестных параметров распределения по полученным значениям . Естественно, что на основании конечной выборки нельзя получить точные значения искомых параметров, так как выборка случайная. Можно сделать лишь некоторыеоценкиданных параметров или, другими словами,оценитьих значения.
Для этого формируются m статистик:
т.е. строятся mфункций , которые необходимо выбрать так, чтобы они давали в некотором смысле "хорошее" приближение к соответствующим величинам . Тогда статистики называются оценками параметров .
Пример. Имеется выборка из генеральной совокупности нормально распределенных величин с заданными математическим ожиданием и дисперсией 2. Символически это записывается так:
.
Допустим, что величины xi независимы, тогда выборка – повторная, поэтому
.
Видно, функция правдоподобия выборки зависит от двух параметров и 2, которые необходимо оценить по имеющимся наблюдениям . Т.е. надо построить такие функции и, которые давали бы хорошее приближение к параметрам и 2.
1.3. Несмещенные и состоятельные оценки.
В общем случае вектор оценок называется вектором несмещенных оценок параметров , если
, (1.3)
где M[…]–математическое ожидание случайной величины.
Почему необходимо стремиться получать несмещенные оценки параметров i? Приведем простой пример. Известно, что
,
т.е. в 95 % случаев оценкаgiбудет заключена в данных пределах. Допустим теперь, что измерения проведены очень точно, разброс ошибок очень маленький, и . Тогда все реализации оценки будут группироваться вокруг величиныM[gi] в очень узком интервале. И если теперь , то, несмотря на очень точные измерения с маленьким разбросом, оценка параметра iбудет найдена с ошибкой. Таким образом, одним из критериев качества оценки является ее несмещенность.
Часто, однако, приходится искать не несмещенные, а асимптотически несмещенные оценки, т.е. такие, которые становятся несмещенными при (при увеличении объема выборки).
Оценка gi некоторого параметра i называется состоятельной, если для любого :
при .
Другими словами, оценка сходится по вероятности к своему истинному значению при увеличении объема выборки.
Состоятельность оценки является вторым критерием ее качества. Потому что, если оценки получаются несостоятельными, то для их получения не имеет смысла проводить большое число наблюдений, так как это не ведет к повышению точности оценивания.
Пример. Статистика – выборочное среднее является несмещенной оценкой параметра нормального распределения, а оценка выборочная дисперсия s2 (см. предыдущие примеры) является ассимптотически несмещенной оценкой параметра 2 того же распределения. В математической статистике доказано, что
и
т.е. s2 занижена в меньшую сторону. Очевидно, что несмещенной оценкой параметраs2будет
,
но и статистика s2будет практически несмещенной при большомn.