- •Вероятностное описание погрешностей измерения
- •1. Случайные события и их вероятности
- •2. Случайные величины и их распределения
- •3. Числовые характеристики случайных величин
- •4. Распределения, часто встречающиеся в задачах метрологии
- •5. Системы случайных величин и их характеристики
- •Введение
- •Научно-техническое
- •Законодательное
- •1.2 Средства измерения и их основные характеристики
- •Средства измерения
- •Измерительные приборы
- •Характеристики средств измерения
- •1.3. Государственная система обеспечения единства измерений
- •Эталоны
- •Электрические измерения
- •2. Погрешности измерений
- •2.1 Классификация
- •Погрешности измерения
- •Методы борьбы с систематическими погрешностями
- •2.3. Нормирование погрешностей средств измерений
- •3. Обработка результатов измерений
- •3.3. Обработка результатов косвенных измерений
- •3.6. Погрешности косвенных измерений
- •Вероятностное описание погрешностей измерения
- •1. Случайные события и их вероятности
- •2. Случайные величины и их распределения
- •3. Числовые характеристики случайных величин
- •4. Распределения, часто встречающиеся в задачах метрологии
- •5. Системы случайных величин и их характеристики
- •1. Необходимые сведения из математической статистики.
- •1.1. Выборка. Статистика.
- •1.2. Оценивание параметров
- •1.3. Несмещенные и состоятельные оценки.
- •1.4. Точность оценивания параметров
- •1. Введение
- •2. Обработка результатов прямых измерений
- •2.1. Точечное оценивание
- •2.2. Оценивание с помощью доверительных интервалов
- •2.3. Примеры решения задач Опыты Милликена [1, стр.102].
- •Проверка статистических гипотез
- •1. Проверка гипотезы о равенстве математического ожидания заданному значению
- •2. Проверка гипотезы о равенстве дисперсии заданному значению
- •3. Проверка гипотезы о равенстве двух дисперсий
- •4. Резко выделяющиеся наблюдения
- •5. Примеры решения задач
- •5.1. Проверка гипотез
- •5.2. Опыты Кэвендиша [1, стр.105]
- •Обработка результатов прямых неравноточных измерений
- •1. Точечное оценивание
- •2. Оценивание с помощью доверительных интервалов
- •3. Пример неравноточных измерений
- •Обработка результатов совместных измерений
- •1. Случай линейной системы уравнений
- •2. Случай нелинейной системы уравнений
- •3. Важные частные случаи
- •3.1. Случай равноточных измерений
- •3.2. Линейная регрессия
- •3.3. Полиномиальная регрессия
- •4. Примеры совместных измерений
- •4.1. Исследование зависимости сопротивления проводника от температуры
- •4.2. Исследование зависимости поверхностного натяжения от потенциала электрода
- •Раздел 4
- •4.1 Основные определения
- •4.1.1 Параметры оптимизации.
- •4.1.2. Факторы.
- •4.1.3 Выбор модели
- •4.2 Пассивные эксперименты.
- •4.3. Активный эксперимент.
- •4.3 Полный факторный эффект.
- •4.3.1 Принцип решения перед планированием.
- •4.3.2 Полный факторный эксперимент типа
- •4.3.3. Понятия о дробной реплике
- •4.2.4 Свойства полного факторного эксперимента.
- •4.3 Крутое восхождение по поверхности отклика.
- •5.2 Активные преобразователи.
- •5.2.1 Пассивные преобразователи.
- •5.2.2 Активные масштабные преобразователи
- •5.3 Измерительные механизмы приборов и их применение.
- •5.3.1Магнитоэлектрические механизмы
- •5.3.2 Электродинамические механизмы
- •5.3.3 Ферродинамические механизмы
- •Компенсаторы
- •4.4.5 Автоматические компенсаторы.
- •4.4.6 Графические самопишущие электроизмерительные приборы (сэп).
- •4.4.6 Светолучевые осциллографы.
- •5.6 Электронные измерительные приборы.
- •Ацпаналогово-цифровой преобразователь.
- •Погрешность квантования
- •6.3. Дискретизация по времени и восстановление непрерывных функций.
- •6.3.1. Теорема Котельникова.
- •6.3.2. Критерии выбора отсчетов и способы восстановления непрерывных функций.
- •6.3.3. Восстановление непрерывных функций интерполяционными полиномами.
- •7.4. Технические характеристики цип.
- •6.5.1. Цифровые фазометры.
- •6.6. Цифровые измерительные приборы для измерения постоянных напряжений и токов.
- •6.6.1. Цифровые вольтметры временного преобразования.
- •6.9. Цип с микропроцессорами.
- •6. Оценивание распределений.
- •6.1. Параметрическое и непараметрическое оценивание.
- •6.2. Гистограмма.
- •6.3. Оценка функции распределения.
- •6.5.2. Цифровые частотомеры (цч)
- •5.6.2 Цифровые вольтметры частотного преобразования
- •5.7 Цифровые измерительные приборы для измерения переменных напряжений и токов.
- •5.8 Цип для измерения параметров электрических цепей
- •5.6.2. Цифровые вольтметры частотного преобразования.
- •Фи – формирователь импульсов стабильной вольтсекундной
1.4. Точность оценивания параметров
Допустим теперь, что при оценивании параметров научились строить такие функции , которые дают несмещенные и состоятельные оценки параметров . В этом случае за характеристику точности оценок естественно выбрать их дисперсию , т.е. меру разброса вокруг значения . В математической статистике показано, что лучше всего за меру точности несмещенных оценок выбрать вес оценки, т.е. величину:
. (1.5)
Встает вопрос, как точно можно оценивать параметры i при заданном объеме выборки n. Другими словами, как сильно можно уменьшить дисперсию (увеличить вес) оценки при заданном n? Ответ на этот вопрос дали Крамер и Рао независимо друг от друга.
Сначала рассмотрим случай оценивания одного параметра. Пусть функция правдоподобия выборки зависит от одного параметра, так что она имеет вид , и пусть имеется статистика несмещенная оценка параметра . Крамер и Рао показали, что в этом случае:
, (1.6)
где:
. (1.7)
Величина (1.7) при условии сходимости интеграла называется информационным количеством Фишера. Эта величина не зависит от способа оценивания , т.е. от статистики и представляет собой нижнюю границу точности любой оценки. Другими словами, при заданном объеме выборки точность несмещенной оценки параметра будет ограничена снизу.
В случае повторной выборки:
и ,
Тогда из (1.6), (1.7) легко подсчитать:
, (1.8)
а вес оценки
.
В весьма широком классе несмещенных оценок вес оценки при повторной выборке не может быть больше величины, пропорциональной квадратному корню из числа наблюдений. Оценка te, для которой в неравенствах (1.6), (1.8) достигается знак равенства, называется эффективной.
Пример. Возвращаясь к примеру оценки параметра нормального распределения, получаем:
.
Откуда
. (1.9)
Для выборочного среднего получается:
. (1.10)
Т.е. оценкаимеет максимально возможную точность и является эффективной.
В случае оценивания нескольких параметров функция правдоподобия имеет вид (1.1). Пусть статистики
(1.11)
являются несмещенными оценками соответствующих параметров.
Составим матрицу
, где . (1.12)
Матрица I называется информационной матрицей Фишера. А квадратичная форма является положительно полуопределенной. Будем считать, что ,где . Тогда
(1.13)
является корреляционным эллипсоидом случайного вектора
. (1.14)
Теперь рассмотрим набор несмещенных оценок (1.11) и составим вектор случайных уклонений с нулевым вектором средних и корреляционной матрицей
. (1.15)
Если сформировать теперь квадратичную форму при любом векторе , то имеет место следующая теорема.
Теорема Рао-Крамера. При условии существования неособенной информационной матрицы Фишера I (1.12) и величин , при любом имеет место неравенство:
, (1.16)
где Bt – корреляционная матрица (1.15) вектора оценок (1.11).
Если теперь вектор Z такой, что , то из (1.16) следует, что корреляционный эллипсоид охватывает корреляционный эллипсоид . Т.е. с помощью любых статистик t нельзя получить более точных оценок , чем в случае, когда эти два эллипсоида совпадают.
Статистики ti, дающие несмещенные оценки параметрам i , для которых эллипсоид совпадает с эллипсоидом , называется совместно эффективными оценками параметров .
11.5. Методы оценивания.
Основными способами оценивания параметров в математической статистике являются: метод максимального правдоподобия и метод моментов. Метод моментов введен К. Пирсоном. Пусть имеется повторная выборка с функцией правдоподобия
Составляет mвыборочных моментов
.
При
,
т.е. с ростом объема выборки оценки mстановятся состоятельными.
Метод максимального правдоподобия разработан Д. Бернулли, Ф. Гауссом и К.Р. Фишером. При этом способе за оценки выбираются такие значения параметров, которые дают максимальное значение функции правдоподобия, если их подставить на место . Если для повторной выборки дифференцируема, то пользуясь однозначностью логарифмической функции, удобнее искать максимум не самой функции правдоподобия, а ее логарифма. В этом случае уравнения правдоподобия примут вид
. (1.17)
Оценки, получаемые из уравнения (1.17) называются оценками максимального правдоподобия. Они обозначаются и имеют ряд замечательных свойств. Данные оценки асимптотически несмещенные, асимптотически эффективные и асимптотически нормальные. Как правило, уравнения (1.17) имеют единственное решение.
Пример. Оценки иs2 параметров и 2 нормального распределения по выборке xi являются оценками максимального правдоподобия, т.е. они получены из решения системы (1.17), записанной для функции правдоподобия из рассматриваемых в данной главе примеров.