- •Вероятностное описание погрешностей измерения
- •1. Случайные события и их вероятности
- •2. Случайные величины и их распределения
- •3. Числовые характеристики случайных величин
- •4. Распределения, часто встречающиеся в задачах метрологии
- •5. Системы случайных величин и их характеристики
- •Введение
- •Научно-техническое
- •Законодательное
- •1.2 Средства измерения и их основные характеристики
- •Средства измерения
- •Измерительные приборы
- •Характеристики средств измерения
- •1.3. Государственная система обеспечения единства измерений
- •Эталоны
- •Электрические измерения
- •2. Погрешности измерений
- •2.1 Классификация
- •Погрешности измерения
- •Методы борьбы с систематическими погрешностями
- •2.3. Нормирование погрешностей средств измерений
- •3. Обработка результатов измерений
- •3.3. Обработка результатов косвенных измерений
- •3.6. Погрешности косвенных измерений
- •Вероятностное описание погрешностей измерения
- •1. Случайные события и их вероятности
- •2. Случайные величины и их распределения
- •3. Числовые характеристики случайных величин
- •4. Распределения, часто встречающиеся в задачах метрологии
- •5. Системы случайных величин и их характеристики
- •1. Необходимые сведения из математической статистики.
- •1.1. Выборка. Статистика.
- •1.2. Оценивание параметров
- •1.3. Несмещенные и состоятельные оценки.
- •1.4. Точность оценивания параметров
- •1. Введение
- •2. Обработка результатов прямых измерений
- •2.1. Точечное оценивание
- •2.2. Оценивание с помощью доверительных интервалов
- •2.3. Примеры решения задач Опыты Милликена [1, стр.102].
- •Проверка статистических гипотез
- •1. Проверка гипотезы о равенстве математического ожидания заданному значению
- •2. Проверка гипотезы о равенстве дисперсии заданному значению
- •3. Проверка гипотезы о равенстве двух дисперсий
- •4. Резко выделяющиеся наблюдения
- •5. Примеры решения задач
- •5.1. Проверка гипотез
- •5.2. Опыты Кэвендиша [1, стр.105]
- •Обработка результатов прямых неравноточных измерений
- •1. Точечное оценивание
- •2. Оценивание с помощью доверительных интервалов
- •3. Пример неравноточных измерений
- •Обработка результатов совместных измерений
- •1. Случай линейной системы уравнений
- •2. Случай нелинейной системы уравнений
- •3. Важные частные случаи
- •3.1. Случай равноточных измерений
- •3.2. Линейная регрессия
- •3.3. Полиномиальная регрессия
- •4. Примеры совместных измерений
- •4.1. Исследование зависимости сопротивления проводника от температуры
- •4.2. Исследование зависимости поверхностного натяжения от потенциала электрода
- •Раздел 4
- •4.1 Основные определения
- •4.1.1 Параметры оптимизации.
- •4.1.2. Факторы.
- •4.1.3 Выбор модели
- •4.2 Пассивные эксперименты.
- •4.3. Активный эксперимент.
- •4.3 Полный факторный эффект.
- •4.3.1 Принцип решения перед планированием.
- •4.3.2 Полный факторный эксперимент типа
- •4.3.3. Понятия о дробной реплике
- •4.2.4 Свойства полного факторного эксперимента.
- •4.3 Крутое восхождение по поверхности отклика.
- •5.2 Активные преобразователи.
- •5.2.1 Пассивные преобразователи.
- •5.2.2 Активные масштабные преобразователи
- •5.3 Измерительные механизмы приборов и их применение.
- •5.3.1Магнитоэлектрические механизмы
- •5.3.2 Электродинамические механизмы
- •5.3.3 Ферродинамические механизмы
- •Компенсаторы
- •4.4.5 Автоматические компенсаторы.
- •4.4.6 Графические самопишущие электроизмерительные приборы (сэп).
- •4.4.6 Светолучевые осциллографы.
- •5.6 Электронные измерительные приборы.
- •Ацпаналогово-цифровой преобразователь.
- •Погрешность квантования
- •6.3. Дискретизация по времени и восстановление непрерывных функций.
- •6.3.1. Теорема Котельникова.
- •6.3.2. Критерии выбора отсчетов и способы восстановления непрерывных функций.
- •6.3.3. Восстановление непрерывных функций интерполяционными полиномами.
- •7.4. Технические характеристики цип.
- •6.5.1. Цифровые фазометры.
- •6.6. Цифровые измерительные приборы для измерения постоянных напряжений и токов.
- •6.6.1. Цифровые вольтметры временного преобразования.
- •6.9. Цип с микропроцессорами.
- •6. Оценивание распределений.
- •6.1. Параметрическое и непараметрическое оценивание.
- •6.2. Гистограмма.
- •6.3. Оценка функции распределения.
- •6.5.2. Цифровые частотомеры (цч)
- •5.6.2 Цифровые вольтметры частотного преобразования
- •5.7 Цифровые измерительные приборы для измерения переменных напряжений и токов.
- •5.8 Цип для измерения параметров электрических цепей
- •5.6.2. Цифровые вольтметры частотного преобразования.
- •Фи – формирователь импульсов стабильной вольтсекундной
Вероятностное описание погрешностей измерения
В измерительной технике имеют дело с большим количеством массовых явлений. Сюда относится множество измерений, проводимых с помощью одного и того же средства измерений (СИ), характеристики множества СИ одинакового типа и т.д. При этом мы встречаемся как со случайными событиями (отказы СИ, правильные и неправильные решения при контроле, наличие грубых промахов), так и со случайными величинами (погрешности измерения, время безотказной работы, значение контролируемого параметра) и случайными процессами (флуктуации питающих напряжений, тепловые и дробовые шумы электронных устройств). В силу этого аппарат теории вероятностей оказывается наиболее адекватным сути многих задач измерительной техники.
1. Случайные события и их вероятности
Понятие о случайном событииявляется одним из исходных в теории вероятностей (ТВ). Некоторое событиеназывается случайным, если при выполнении определенных, заранее оговоренных условий оно может произойти или не произойти. Примеры: выигрыш в лотерее (заранее оговоренные условия: необходимо сначала купить лотерейный билет, а потом выигрыш может быть, а может – нет), бросание игральной кости и т.д. В измерительных задачах: пребывание погрешности измерения в определенном интервале, различные ошибки контроля.
Антиподами случайного события являются детерминированные события, которые включают в себя достоверные и невозможные события. (Придумайте примеры самостоятельно).
Достовернымсобытиемназывается такое, которое обязательно произойдет при выполнении некоторого комплекса условий. Событиеназываетсяневозможным, если при заранее оговоренных условиях оно не может произойти. (Придумайте примеры самостоятельно).
Существует два подхода к определению вероятности случайного события: статистический и классический.
Статистическое определение вероятности.Пусть при одинаковых условиях проводится сериянезависимых испытаний, и вопытах произошло случайное событие. В результате многократных наблюдений экспериментально установлен закон, заключающийся в том, что относительная частота появления события
(1.1)
незначительно изменяется от серии к серии. Причем это отличие с среднем уменьшается с ростом . Такой эмпирический закон положен в основу статистического определения вероятности.
Вероятностью события называется число , вокруг которого группируются значения относительной частоты появления этого события.
Недостаток этого определения состоит в том, что оно не указывает, каким способом найти это число . Практически при экспериментальном определении вероятности предполагают, что
. (1.2)
Поскольку с ростом числа опытов разбросуменьшается, напрашивается более строгое определение вероятности как предела
.
Но в этом случае предел в том смысле, как его понимают в математическом анализе, не существует. Подробнее об этом можно прочитать у Гнеденко.
Классическое определение вероятности.Оно более строгое с математической точки зрения.
Пусть в результате эксперимента обязательно происходит одно и только одно из равновозможных событий , а к событиюприводят толькособытий из.Тогда вероятностью события называется отношение
. (1.3)
Пример 1. Пусть бросается игральная кость, а событие заключается в том, что цифра на верхней грани делится на. Найти.
, , из (1.3) .
Существует ещё более строгое аксиоматическое определение, данное академиком Колмогоровым, но оно здесь не приводится, поскольку подразумевает знание изучающим теорию вероятностей основ функционального анализа.
Поскольку строгое определение вероятности затрудняет его практическое применение из-за сложности определения равновозможных исходов, то в прикладных задачах, как правило, пользуются в неявном виде статистическим определением.
Из всех определений вероятности следует:
; ; .
Вероятность произведения случайных событий.Событие, заключающееся в появлении в одном эксперименте одновременно всех событий, называетсяпроизведением этих событий:
.
Пример со стрельбой биатлониста. Биатлонист подъехал к огневому рубежу. Допустим, что событие Aiзаключается в том, что биатлонист своимi-м выстрелом разобьётi-ю тарелочку. А событиеBзаключается в том, что с огневого рубежа биатлонист уйдёт без штрафа (разобьёт все тарелочки). В этом случае событиеBпроизойдёт только тогда, когда одновременно произойдут все события. При этом, если говорить о вероятностях поражения биатлонистом мишеней, то при стрельбе поi-й мишени будет рассматриваться вероятность её поражения при условии, что все предыдущие мишени были поражены.
Поэтому в ТВ рассматривают условные вероятности. Вероятность появления события при условии, что событиеуже произошло, называется условной вероятностью и обозначается. Вероятность событияв случае, когда, равна
. (1.4)
Если же события независимыдруг от друга, то есть вероятность наступления любого из них никак не зависит от появления или “непоявления” остальных, то формула (1.4) упрощается:
. (1.5)
А в общем случае формулы (1.4), (1.5) примут вид:
, (1.6)
. (1.7)
Вероятность суммы случайных несовместных событий.Событие, заключающееся в появлении хотя бы одного из событий , называетсясуммой этих событий:
.
События называются попарно несовместными, если в каждом опыте не могут произойти одновременно любые два из них.
Можно показать, что в этом случае
. (1.8)
Попарно несовместные события образуют полную группу, если в результате эксперимента обязательно происходит одно из них, то есть
;,
тогда
. (1.9)
Событие называется противоположным, еслииобразуют полную группу событий.
. (1.10)