5. Примеры решения задач

5.1. Проверка гипотез

Измерение эквивалентной электропроводности веществапри нормальной концентрациидали следующие результаты:

76.35

79.09

72.01

70.41

71.15

68.69

71.03

74.58

74.41

77.83

При уровнях значимости ;;проверить гипотезы о равенстве величины эквивалентной электропроводности значениям;;.

Принимая во внимание результаты раздела 1, необходимо найти оценки выборочного среднего и стандартного отклоненияэквивалентной электропроводности и подставить их в (1). Расчет этих величин производим по формулам (6) и (10) (или (16) и (17), например, выбрав). Получаем,,. Далее по таблице распределения Стьюдента находим величины,,для числа степеней свободыи уровней значимости,исоответственно. Имеем;;.

Для значения по формуле (1); сравнивая его последовательно с,,, видим, что,,. Значит с уровнем значимостигипотеза о равенстве величинеотвергается, а с уровнями значимостии– принимается.

Для значения по формуле (1); в данном случае,,. Значит с уровнями значимостиигипотеза о равенствевеличинеотвергается, а с уровнем значимости– принимается.

Для значения по формуле (1); т.е.,,, и для всех выбранных уровней значимости проверяемая гипотеза отвергается.

Одновременно эквивалентная электропроводность измерялась другим способом, получены следующие результаты:

75.15	72.48	71.68		72.39	72.23		76.61	76.19		71.98	73.22		76.65
72.4			75.15			75.88			75.04			68.36

Для тех же самых уровней значимости проверить гипотезу о равенстве дисперсий определения эквивалентной электропроводности первым и вторым методами.

Для решения поставленной задачи нужно воспользоваться результатами раздела 3, но предварительно необходимо найти оценку дисперсии второго метода. Данную оценку можно получить, вторично применив формулы (6) и (10) (или (16),(17), ). Имеем,число степеней свободы. Теперь составляем-отношение Фишера (3):

и по таблице распределения Фишера находим числа, соответствующие степеням свободы ,и уровням значимости;;соответственно:,,. Видим, что,,. Значит с уровнем значимостигипотеза о равенстве дисперсий должна быть отвергнута, а с уровнями значимостииможет быть принята.

5.2. Опыты Кэвендиша [1, стр.105]

Английский физик Кэвендиш в 1789 г. опубликовал результаты 29 измерений плотности Земли (Таблица 1). Предполагая, что измерения равноточны, независимы и принадлежат одной и той же нормальной совокупности с неизвестнымии, проверить, следует ли отвергнуть значениекак грубую ошибку измерения или нет.

5.50	0.50	0.250	5.34	0.34	0.116
5.61	0.61	0.372	5.99	0.99	0.980
5.88	0.88	0.774	5.10	0.10	0.010
5.07	0.07	0.005	5.27	0.27	0.073
5.26	0.26	0.068	5.39	0.39	0.152
5.55	0.55	0.303	5.42	0.42	0.176
5.36	0.36	0.130	5.47	0.47	0.221
5.29	0.29	0.084	5.63	0.63	0.397
5.58	0.58	0.336	5.34	0.34	0.116
5.65	0.65	0.423	5.46	0.46	0.212
5.57	0.57	0.325	5.30	0.30	0.090
5.53	0.53	0.281	5.75	0.75	0.563
5.62	0.62	0.384	5.68	0.68	0.462
5.29	0.29	0.084	5.85	0.85	0.723
5.44	0.44	0.194
			Сумма	14.19	8.304

Таблица 1.

Для проверки выдвинутой гипотезы составим дробь (4). Неизвестные параметры ивычислим по формулам (16), (17), положив. Значенияии их суммы приведены в таблице 2. Имеем:;;. Тогда. По таблице распределения Грэббса находим, что призначениедля-го уровня значимости равно. Поскольку меньше , тоследует оставить как допустимое в данном ряду наблюдений.