Раздел 4

Вопросы планирования эксперимента.

Мысль о том, что эксперимент можно спланировать ,восходит к глубокой древности. Наш далекий предок, убедившейся, что острым камнем можно убить даже мамонта, несомненно выдвигал гипотезы, которые после целенаправленной экспериментальной проверки привели к созданию копья, дротика, а за тем лука со стрелами. Он, однако, не пользовался статистическими методами, поэтому остается непонятным, как он вообще выжил и обеспечил тем самым наше существование.

Статистические методы стали развиваться только в начале нашего века.

открытие идеи планирования эксперимента принадлежит английскому статистику Р. Фишеру (в конце 20-х годов). Планирование экспериментальных экспериментов началось еще через три десятка лет. Первая работа была опубликована в 1951 г. Боксом и Уилсоном. Идея метода Бокса и Уилсона крайне проста. Экспериментатору предлагается ставить отдельные небольшие серии опытов, в каждой из которых одновременно варьируется по определенным правилам все факторы (исследуемые параметры). Серии организуются таким образом, чтобы после математической обработки предыдущей можно было выбрать условия проведения (т.е спланировать) следующую серию. Так последовательно шаг за шагом достигается область оптимума.

В нашей стране ПЭ развивается чуть более четверти века. Интерес вполне понятен: перспектива сократить число опытов, найти оптимум, получить количественные оценки влияния факторов и определить ошибки крайне привлекательна. Но применять методы планирования необходимо очень аккуратно. Если неверно применять методы планирования или выбрать не самый оптимальный путь исследования для данной ситуации, то можно резко снизить эффективность данных методов и даже дискредитировать само направление.

4.1 Основные определения

Эксперимент занимает центральное место в науке. Однако возникает вопрос на

сколько эффективно он используется. Джон Бернал считал что к.п.д. экспериментальной работы примерно 2% математическая теория планирования эксперимента - это один из возможных путей устранения данного недостатка экспериментальных исследований.

........######......???????

Планирование эксперимента - это процедура выбора числа и условия проведения опытов ну и далее для решения задачи с требуемой точностью.

Что здесь существенно стремление к минимизации числа опытов;

одновременное варьирование всеми переменными, определяющими процесс, по специальным правилам; - алгоритмам; - использование математического аппарата, формализующего многие действия экспериментатора;

- выбор четкой стратегии, позволяющей принимать обоснованные решения после

каждой серии экспериментов.

Планирование эксперимента позволяет значительно интенсифицировать труд

исследователя. Сократить сроки и затраты на эксперимент, повысить достоверность выводов по результатам исследований. Целью планирования эксперимента

является выбор множества возможных планов проведения эксперимента одного, в некотором смысле наилучшего. Необходимость сравнения различных планов требует использования критерия сравнения или целевой функции, которые дали бы основание утверждать, что один эксперимент или план эксперимента лучше или хуже другого.

Где может использоваться планирование эксперимента?

????? Пример хорошего или плохого эксперимента.

Пусть необходимо определить массы трех предметов А,В,С с помощью некоторого

массоизмерительного устройства. Традиционный способ.

N	a	b	C	Y
1	-1	-1	-1
2	+1	-1	-1
3	-1	+1	-1
4	-1	-1	+1

-1 -предмета нет на весах

+1 - предмет на весах

Холостое взвешивание нужно для определения смещения нуля. Затем по очереди

взвешивается каждый из предметов:

А=y₁-y₀; B=y₂-y₀; C=y₃-y₀;

Если предположить, что случайные погрешности отдельных измерений независимы

и имеют дисперсию, то:

Теперь проведем тот же эксперимент по схеме:

N	a	b	C	Y
1	+1	-1	-1
2	-1	+1	-1
3	-1	-1	+1
4	+1	+1	+1

Здесь вместо холостого взвешивания взвешиваются все предметы вместе.

Тогда массы грузов можно вычислить по формулам

; ;

Найдем дисперсию ошибок взвешивания:

Аналогично находим

При такой схеме взвешивания результатов получается вдвое меньше, чем при

традиционном методе, хотя в обоих вариантах нужно провести четыре опыта.

Так как во втором варианте смещение нуля тоже компенсируется то второй план

эксперимента лучше первого, если в качестве критерия сравнения использовать

дисперсию ошибок измерения массы. При первом способе взвешивания, чтобы

получить результаты с такой же точностью, что и во втором, необходимо повторить

дважды все опыты или взять более точный массоизмерительный прибор. По этому в

качестве критериев сравнения используется обычно либо продолжительность,

либо стоимость эксперимента, либо погрешность.

????????#####??????????

##(стр.84)

Эксперимент, который ставится для решения задач оптимизации называется

экспериментальным .

Здесь видна глубокая аналогия между оптимизацией и поиском экстремума

некоторой функции.

Теперь рассмотрим вопрос об объекте исследования. Для описания объекта

исследования его удобно представлять в виде "черного ящика"

(рис...)

X₁

X₂

X₃

x_n

Y₁

Y₂

y_m

Стрелки справа изображают численные характеристики целей исследования, или параметры оптимизации , ... , (Целевые функции, выходы и т.д.).

Все способы воздействия на черный ящик , ... , называются факторами

(входы ЧЯ).

При решении задачи используется математические модели объекта исследования.

Под математической моделью понимается уравнение связывающий параметр оптимизации с факторами:

У - функция отклика,

##(стр 85)

объекта исследования. При активном эксперименте осуществляется искусственное

воздействие на объект по заранее спланированной программе. Активный эксперимент

лучше, но его труднее осуществить.

-управляемые входные параметры (j =1,k )

-выходные параметры ( i = 1, r )

-возмущающие воздействия (l= 1,r )

- вычисляемые параметры, характеризующие состоянию объекта. - можно изменить с целью управления входными параметрами. Пусть r = 1, т.е. есть одна выходная переменная. - не контролируемые параметры - случайные величины.

Основной задачей эксперимента является выявление взаимодействий между

входными и выходными параметрами объекта и представление их в количественной форме в виде математической модели. Такая модель является математическим отображением наиболее существенных взаимосвязей между параметрами объекта.

##(стр 85а)