1. Проверка гипотезы о равенстве математического ожидания заданному значению

Пусть имеется выборка (1) изнаблюдений, причем погрешностиудовлетворяют предположениям 1) - 4). Положим выборочное среднее (6) равным, а выборочную дисперсию (10) –(см. раздел 2). Выдвигается гипотеза о том, что.

Как известно, величина распределена по закону Стьюдента сстепенями свободы [1]. Поэтому условием принятия гипотезы будет выполнение неравенства

. (1)

В случае невыполнения этого неравенства гипотеза отклоняется. Зададимся уровнем значимости . Для вероятностии числа степеней свободыпо таблице распределения Стьюдента находят число, подставляют его в (1) и проверяют выполнение этого неравенства. В зависимости от того, выполняется (1) или нет, принимают или отвергают выдвинутую гипотезу.

2. Проверка гипотезы о равенстве дисперсии заданному значению

В условиях предыдущей задачи необходимо проверить гипотезу о равенстве дисперсии (нулевую гипотезу).

Как известно, величина распределена по законусстепенями свободы [1]. Поэтому условием принятия нулевой гипотезы будет выполнение неравенства

, (2)

где изначения величиныиз таблицы, соответствующие вероятностямии числу степеней свободы.Задаваясь требуемым уровнем значимости и зная число, по таблице находят величиныии подставляют их в (19). В случае выполнения неравенства нулевая гипотеза о равенстве дисперсии величинепринимается; если же (2) не выполняется, то гипотеза отвергается.

3. Проверка гипотезы о равенстве двух дисперсий

Пусть по данным двух независимых выборок наблюдений иполучены оценкиидисперсийисоответственно. Необходимо проверить гипотезу, что, т.е. дисперсии наблюденийиравны.

В данном случае выбор критерия основан на том факте, что если величины ираспределены по нормальному закону и взаимно независимы, то случайная величинаимеет-распределение Фишера, зависящее только от целых константи[1-3]. Данное распределение затабулировано. По двум входным величинам,и уровню значимостинаходят величину, которую подставляют в неравенство

, (3)

где индексы иотносятся соответственно к большей по величине и меньшей оценкам дисперсийи. Для того, чтобы гипотеза о равенстве дисперсийибыла принята с уровнем значимости(доверительной вероятностью), необходимо выполнение неравенства (3). В противном случае данная гипотеза должна быть отвергнута в пользу альтернативной гипотезы, что. Необходимо помнить, что при использовании (3) с уровнем значимостив таблице распределения Фишера выбирается число, соответствующее значению уровня значимости.

4. Резко выделяющиеся наблюдения

Иногда в рядах наблюдений попадаются данные, которые на глаз резко выделяются среди других. Это может быть случайным обстоятельством, т.к. в последовательности наблюдений теоретически могут быть данные , сильно уклоняющиеся в обе стороны от, но может быть вызвано и грубой ошибкой наблюдателя.

Рассмотрим в ряду наблюдений , распределенных нормально (1) и независимых, например, максимальное. Для того, чтобы решить, нужно ли отбросить наблюдениекак грубую ошибку, можно воспользоваться правилом "трех сигм", но более грамотно это следует выяснить с помощью критерия Ф. Грэббса. Для этого нужно сформировать дробь "типа Стьюдента"

, (4)

распределение которой зависит только от объема выборки , и оно было затабулировано Грэббсом. По заданными доверительной вероятностинеобходимо найти в таблице Грэббса число. Если окажется, тоследует отбросить, как наблюдение, содержащее грубую ошибку; а если, томожно оставить. Если подозрение вызывает минимальное из чисел, то дробь (4) следует видоизменить

.