Fizika_Isachenkova_9_rus_2015

Скалярные и векторные величины. Действия над векторами

21

r

r

в конец

Замыкающий вектор c, проведенный из начала первого вектора

a

r

r

r

r

r

r

1

последнего a4 , есть сумма данных векторов:

c

= a1

+ a2

+ a3

+ a4 .

Такой спо-

треугольника.

а

r

9. Модуль суммы векторов. Не путайте модуль суммы векторов, т. е.

r

+

a

b

r

+

r

r

r

=

r

+

r

т

и

сумму их модулей

a

b

. Равенство

a

+ b

a

b

выполняется только

r

r

r

r

е

+

a

+

b

:

для одинаково направленных векторов. В остальных случаях a

+ b

10. Нуль-вектор. Пусть вектор

r

равен вектору

r

Тогда их разность

r

a

b.

r

r

Нуль-вектор

r

не имеет направления,

а его модуль равен нулю:

ar

− b =

0.

0

0

= 0.

в

с

Главные выводы

а

1. Векторные величины характеризуются числовым значением и направле-

нием, скалярные — только числовым зн чением.

2. Сумму двух векторов н ходят по пр вилу параллелограмма или тре-

угольника.

я

3. Разность двух векторов

аходят, проводя вектор из конца вычитаемого

а

вектора в конец уменьшаемого (при совмещенных началах векторов).

4. Разность векторов

r

r

можно найти как сумму

r

r

a

− b

a

+ (−b).

5. Произведение вект ра

нr

r

= βa. Его направ-

a

на число βrесть вектор

b

ление совпадает с направлением вектора

a, если β * 0,

и противоположно

вектору

r

д

r

равен b

=

β

a.

a,

если β + 0. М дуль вектора b

о

Контрольные воп осы

1. В чем р зличиермежду векторными и скалярными величинами?

2. В каком случае векторы

r

и

r

одинаково направлены?

Противоположно на-

a

βa

правлены?а

r

быть меньше модуля вектора

r

3. Может ли модуль вектора βa

a? В каком случае?

4. Как сложить два одинаково направленных вектора? Два вектора противоположных

направлений?

5. Как найти сумму векторов по правилу треугольника? Параллелограмма?

Н

6. Как найти разность двух векторов? Покажите, что вычитание векторов есть дей-

ствие, обратное сложению.

uur

uuur

7. Какой смысл имели бы векторы

BD

и

DB на рисунке 27, а?

22

Кинематика

§ 5. Проекция вектора на ось

Вы уже знаете, что вектор имеет модуль и направление. При решении

задач часто используется понятие проекция вектора на ось. Что такое

проекция вектора? Каковы ее свойства?

Начнем с понятия проекция точки на ось. Проекция

точки — это основание перпендикуляра, опущенного из

данной точки на ось. На рисунке 30 очка M1 — это проекция

точки M на ось Ox, точка N1 — про кция

а

на эту ось.

очки N

А что такое проекция ектора натось?

Рис. 30

Проекция вектора на ось — это длина отрезка между

проекциями начала и конца

е

ектора на эту ось, взятая со

знаком «+» или «−». Знак «+» берут, если угол между вектором и осью острый,

а знак «−» — если угол тупой.

в

Обозначать проекцию вектора будем той сже буквой, что и вектор, но с ин-

дексом внизу (например, ax — проекция вектора

r

a на ось Ox).

На рисунке 31, a угол ϕ между векторомаи осью Ox острый, а на рисун-

r

ке 31, б угол ϕ — тупой. Поэтому проекция вектора a на ось Ox положительна

r

— отрицательна (bx = −D1C1 + 0).

(ax = A1B1 * 0), а проекция вектора b

я

а

н

Рис. 31

д

о

А если вектор перпендикулярен оси? Тогда проекция век-

р

то а равна нулю (рис. 32).

Проекцию вектора можно выразить через его модуль и

угол между вектором и осью.

а

На

рисунке

31, a в треугольнике

ABB2

гипотенуза

AB = a,

катет AB2

= ax, а угол между ними равен ϕ. Следова-

тельно,

ax = a cos ϕ.

Рис. 32

(1)

Н

Проекция вектора на ось равна модулю вектора, умноженному на косинус

угла между вектором и осью.

24

Кинематика

Контрольные вопросы

я

1.

Что такое проекция точки на ось? Проекция вектора на ось?

2.

Когда проекция вектора на ось: а) равнаанулю; б) положительна; в) отрица-

тельна?

3.

Как найти проекцию вектора на ось, зная его модуль и угол между вектором

и осью?

н

4.

При каком значе ии угла между вектором и осью его проекция будет: а) мак-

д

симальна; б) равна полови е модуля вектора?

5.

Как найти модуль вектора по его проекциям на координатные оси?

6.

Равна ли проекция раз ости двух векторов на ось разности проекций этих векто-

ров на ту же ось? Поясните ответ с помощью чертежа.

(рис.

ро

r

r r

а

c

= a + b

находим по правилу

треугольника

Решение. Сумму векторов

Н

r

r

(рис. 37, ) или параллелограмма (рис. 37,

б). Так как векторы a

и b взаимно

Рис. 36

Рис. 37

Проекция вектора на ось

25

Рис. 38

r

перпендикулярны,

модуль вектора

нахо-

а

c

дим по теореме Пифагора: c =

a2

+ b2r

=

в

т

с

е

=

32 + 42

= 5.

Разность

векторов

d =

r

r

а

Рис. 39

= a − b определим по правилам вычитания

векторов (рис. 38, а, rб).

d =

a2

+ b2

=

32 + 42

= 5.

Модуль вектора d находим аналогично:

Ответ: с = 5; d = 5.

я

r

а

r

r

2. Выразите вектор a

b

и c

(рис. 39). Как связаны между

через векторы

собой проекции этих векторов на оси Ох и Оу?

r

r

r

r

r

r

Решение.

Отсюда

По правилу треугольника н ходим: c

= a + b.

a

= c

− b.

r

r

r

оси Ох и Оу,

получаем: ax = 2, ay = 4, bx = 4,

Проецируя векторы a,

b

и c

by = −2, cx = 6, cy =

2.

д

Вычислением убе имся, что

проекции

связаны

так

же,

как

и

векторы:

a = c

− b

, a = c

− b .

н

x

x

x

y r

y r

yr

р

= cx − bx;

ay = cy − by.

Ответ: a = c

− b

;

ax

а

оr

Упражнение 1

r

r

r

1.

Постройте

векто ы

a + b,

a

− b

и

b

− a для каждой

пары

векторов

r

и

r

Н

a

b,

изобр женных на рисунке 40, а, б, в.

r

r

r

r

r

2. Модуль вектора

a

равен 5. Постройте векторы:

4a;

0,2a;

−3a;

−

a

.

5

28

Кинематика

Это длина траектории движения автобуса от Минска через Логойск до Борисова.

Ясно, что модуль перемещения автобуса за это время равен расстоянию от Мин-

ска до Борисова. Оно составляет 70 км. Значит,

r3 = 70 км, т. е. путь автобуса

был больше модуля его перемещения: s3 *

r3.

Пройденный путь был бы равен модулю перемещения, если бы автобус дви-

гался все время по прямой, не изменяя направления движения. Зн чит, во всех

случаях путь не меньше модуля перемещения, т. е.

s ,

r.

Как складываются между собой пути и как — п р м щ ния?

а

Пройденные пути складываются арифметически:

s1 + s2 = s3, а перемеще-

ния — по правилам сложения векторов.

т

r

+

r

=

r

Из рисунка 44 видно, что

(по пра илу треугольника). Равен

r1

r2

r3

ли при этом модуль

r3 сумме модулей

r1 +

е

r2? От етьте самостоятельно.

При решении задач важно уметь находить

проекции

перемещенияв

.

Построим вектор

перемещения куска мела по школьной доске

с

(см. рис. 18) из точки A в точку С. Из рисун-

r

uuur

ка 46 видно, что проекции вектора

r =

AC

а

на координатные оси Ох и Оу выражаются

через координаты начальной и конечной точек

следующим образом:

я

= xС − xA =

x; rу = yС − yA =

Рис. 46

а

rx

y.

(1)

Проекция вектора перемеще ия на координатную ось равна разности ко-

ординат конца и начала этого вектора.

Для точки, движущейсянв пространстве (см. рис. 19), к равенствам (1) сле-

дует добавить:

д

rz =

z.

Главные выводы

о

1. Путь — это длина участка траектории, пройденного телом за опреде-

ленный промежуток времени. Путь — положительная скалярная величина.

р

2. Перемещение тела — это вектор, соединяющий начальное положение

тела с его конечным положением (для заданного промежутка времени).

а

3. Модуль перемещения не больше пути, пройденного за тот же проме-

жуток времени.

4. Пройденные пути складываются арифметически, а перемещения — по

правилам сложения векторов.

Н

5. Проекция вектора перемещения на координатную ось равна разности

координат конца и начала этого вектора.

Путь и перемещение

29

Контрольные вопросы

1. Что такое путь и что такое перемещение?

2. Может ли перемещение равняться нулю, если путь не равен нулю? Приведите примеры.

3. Может ли путь равняться нулю, если перемещение не равно нулю?

4. Почему путь нельзя сравнивать с перемещением, а только с его модулем?

5. В каком случае путь равен модулю перемещения?

6. Зависит ли перемещение тела от выбора системы отсчета? Ответ подтвердите

примерами.

а

Пример решения задачи