Osnovy_teploperedachi_i_massoobmena_2015

Вторая теорема подобия. В систему дифференциальных уравнений, записанных нами в относительных величинах, входят три типа величин:

1.Безразмерные координаты X и Y.

2.Зависимые переменные Nu, , . Эти величины одно-

значно определяются значениями независимых переменных при определенных значениях величин, входящих в условия однозначности.

3. Постоянные величины – числа подобия Re, Gr, Pr. Эти числа подобия задаются условиями однозначности для конкретной задачи.

Вторая теорема подобия читается:

1)Интеграл системы дифференциальных уравнений, описывающих процесс конвективного теплообмена, может быть представлен в виде функциональной зависимости между числами подобия.

2)Связь между физическими величинами, характеризующими любой физический процесс, может быть представлена в виде функциональной зависимости между числами подобия.

Аналитическое содержание второй теоремы подобия:

Эти уравнения называются уравнениями подобия. В правой части (2.15) находятся координаты на поверхности стенки в процессе теплоотдачи Xc, Yc . На практике нас интересует среднее значение числа Nu по поверхности теплоотдачи, тогда уравнение (2.15) запишется в виде

. (2.19)

Число Pe может быть представлено как

где – число Прандтля.

Перепишем уравнение (2.19) в виде уравнения, которое называется основным уравнением подобия конвективного теплообмена однофазной жидкости:

Уравнение (2.20) является обобщенным уравнением, оно справедливо для всех подобных между собой процессов, однако теория подобия не раскрывает вид функции.

- 83 -

Вид функции может быть определен только на основе обработки опытных данных, то есть теория подобия – это теория, которая строится на эксперименте, на модели.

Число Прандтля – характеризует физиче-

ские свойства среды. Значение числа Pr изменяется в очень широких пределах. Для газов Pr практически не зависит от температуры. Например, Для капельных жидкостей Pr изменяется в широких пределах: вода – =7, глицерин – =12510. С увеличением температуры Pr уменьшается так же, как и уменьшается коэффициент динамической вязкости от температуры.

Числу Pr может быть придан более глубокий физический смысл. Для этого запишем уравнение для вынужденного движения жидкости вдоль оси X:

И уравнение энергии:

поэтому в этих условиях число Pr может служить мерой аналогии скоростных и температурных полей в процессах конвективного теплообмена.

Для конкретных задач уравнение (2.20) может быть упрощено. Так, например, в случае теплоотдачи при турбулентном течении жидкости подъемные силы малы, по сравнению с инерционными силами и силами внутреннего трения. Поэтому, при турбулентном режиме –

Напротив, при свободном движении среды инерционные силы малы, по сравнению с подъемными силами и силами внутреннего трения, и, число Re выпадает из-под знака φ:

.

В общем случае при вынужденном ламинарном течении, когда инерционные силы, силы внутреннего трения и подъемные силы имеют один и тот же порядок, (2.20) имеет вид:

- 84 -

Третья теорема подобия – это теорема об условиях подобия физических процессов. Она была доказана в 1931 г. акад. М.В. Кирпичевым и профессором Гухманом.

Для соблюдения условий подобия физических процессов необходимо выполнить несколько условий:

1. Два или более физических процессов подобны, если они относятся к качественно одинаковым процессам, то есть процессам, имеющим одинаковую физическую природу, и описываются тождественно одинаковыми дифференциальными уравнениями. Так, например, можно говорить о подобии процессов теплоотдачи при турбулентном движении разных сред, в трубах разного диаметра и так далее.

Однако, в ряде случаев некоторые процессы описываются одинаковыми по форме записи дифференциальными уравнениями, но имеют различную физическую природу, такие процессы относятся к более широкому классу явлений, их принято называть аналогичными. Например, можно говорить об аналогии процессов теплопроводности и электропроводности. Уравнение стационарного плоского поля температур при переносе теплоты путем теплопроводности запишется:

Уравнение стационарного плоского поля потенциалов:

где U – электрический потенциал. Эти уравнения по форме записи аналогичны.

2. Дифференциальные уравнения описывают наиболее общие черты процессов и не учитывают индивидуальных особенностей каждого процесса. Индивидуальные особенности каждого процесса определяют условия однозначности:

1)Условия однозначности подобных процессов должны быть одинаковыми во всем, кроме числовых значений постоянных, содержащихся в этих условиях [2].

2)Условия однозначности подобных процессов должны быть подобны [1]. Это означает, что запись условий однозначности подобных процессов в размерной форме должна быть идентична, при этом числовые значения величин, входящих в эти условия, могут иметь различные значения. Однако запись условий однозначности подобных

-85 -

процессов в относительных величинах должна быть тождественно одинакова, поэтому подобные процессы описываются тождественно одинаковыми дифференциальными уравнениями и условиями однозначности, характеризуются одними и теми же переменными и могут быть записаны единой формулой, например

3) Определяющие числа подобия подобных процессов должны быть равны. Термин «определяющие числа подобия» означает, что при решении нашей задачи числа подобия Re, Pr, Gr являются постоянными, они заданы условиями однозначности, и необходимым условием подобия является их равенство.

Однако наряду с определяющими числами подобия существуют и определяемые числа подобия. Термин «определяемые числа подобия» относится к таким числам подобия, в которые входят неизвестные нам величины. Например, число Nu, так как в него входит неизвестная величина . Однако термины и «определяющие числа подобия», и «определяемые числа подобия» не являются закрепленными. При решении других задач, например при расчете коэффициента теплоотдачи при пленочной конденсации пара, определяющим числом подобия является , которое определяет режим стекания пленки, а Re будет определяемым, так как в него входит неизвестная величина – коэффициент теплоотдачи.

2.5. Что дает теория подобия для решения задач конвективного теплообмена

Теория подобия является научно обоснованным методом, позволяющим данные единичного опыта, полученные на модели, использовать для расчета подобных процессов, протекающих в промышленном масштабе. Однако, прежде чем ставить эксперимент на модели, необходимо ответить на три вопроса:

1.Какие величины необходимо измерять в опыте ?

2.В виде какой зависимости следует обрабатывать результаты опыта ?

3.На какие явления, физические процессы, результаты, полученные на модели, могут быть распространены ?

Ответ на первый вопрос: в опытах необходимо измерять вели-

чины, входящие в числа подобия данного уравнения подобия, то есть

- 86 -

для реализации этого метода необходимо математическое описание процесса, из которого будут получены числа подобия.

Ответ на второй вопрос: обрабатывать результаты опыта следует на основе второй теоремы в виде функциональной зависимости между числами подобия.

Ответ на третий вопрос: распространять результаты опыта необходимо только на подобные процессы при соблюдении условий, сформулированных в третьей теореме.

Таким образом, теория подобия является учением о совершенно новых безразмерных переменных, число которых под знаком функции значительно меньше числа размерных величин, характеризующих процесс. Это упрощает установление связи между переменными, при этом представление связи между новыми переменными в виде уравнения подобия позволяет учесть влияние большого числа факторов, определяющих процесс теплоотдачи.

Глава 3 ТЕПЛООТДАЧА В ПОТОКАХ ЖИДКОСТЕЙ И ГАЗОВ

3.1. Расчет коэффициентов теплоотдачи при вынужденном движении различных жидкостей в трубах

Cледует различать теплоотдачу при вынужденном ламинарном и вынужденном турбулентном течениях. Вынужденное ламинарное течение – это такое течение, при котором частицы жидкости или ее слои движутся с различными скоростями без поперечного перемешивания (параллельно-струйчатое). Ламинарное течение имеет место при

Re 2300.

Следует различать теплоотдачу при вынужденном ламинарном, чисто вязкостном течении и процесс теплоотдачи при вынужденном ламинарном вязкостно-гравитационном течении.

Теплоотдача при чистом вязкостном течении наиболее вероятна при движении вязких жидкостей в трубах с малым диаметром и при малых температурных напорах. Процесс теплоотдачи определяется в основном действием вязкостных сил и может быть рассчитан по уравнению подобия

,

- 87 -

учитывает стесненность стенок трубы; – поправка на направление теплового потока. Уравнение справедливо при

Re 10 ,

В случае α рассчитывается на участке трубы, на котором не наступила тепловая стабилизация. Если же теп-

рассчитывается на стабилизированном участке. Интенсивность теплоотдачи автомодельна относительно числа Re и приближенно может быть рассчитана как

Для этого случая есть аналитическое решение, которое хорошо согласуется с опытом.

3.2.Расчет коэффициента теплоотдачи при вынужденном ламинарном вязкостно-гравитационном течении

3.2.1.Физика протекания процесса теплоотдачи при вынужденном ламинарном движении в вертикальных трубах при совпадении

ипрямо противоположных направлениях вынужденного и свободного движений

Вэтом случае инерционные силы, силы внутреннего трения и подъемные силы одного порядка. В этих условиях расчет коэффициента теплоотдачи может проводиться по трем различным уравнениям.

1) Теплоотдача при вынужденном ламинарном вязкостногравитационном движении в вертикальных трубах. При этом направления вынужденного ламинарного и свободного движения жидкости совпадают.

Вкачестве примера рассмотрим случай нагревания жидкости. Под влиянием свободного движения скорость жидкости у стенки возрастает. Температура жидкости у стенки выше, а вязкость меньше, чем

вядре потока, поэтому суммарный профиль скоростей будет иметь вид, представленный на рис. 3.1. Таким образом, наличие свободного движения меняет условия чисто ламинарного течения, при этом изменяется гидродинамика потока и увеличивается интенсивность теплоот-

-88 -

дачи по сравнению с чисто вязкостным движением.

2) Теплоотдача в вертикальных трубах при прямо противоположных направлениях вынужденного и свободного движений (рис. 3.2). Например, рассмотрим случай охлаждения жидкости. При этом скорость частиц жидкости у стенки под влиянием свободного движения уменьшается. Это приводит к образованию вихревого течения, которое разрушает пограничный слой, что в итоге ведѐт к уменьшению теплового сопротивления теплоотдачи и, следовательно, к более существенному увеличению коэффициента теплоотдачи. По данным разных авторов, теплоотдача в этом случае по своей интенсивности приближается к теплоотдаче при турбулентном течении при малых числах Рейнольдса.

3.2.2.Расчет коэффициентов теплоотдачи при вынужденном ламинарном вязкостно-гравитационном течении

вгоризонтальных трубах при R

Вэтом случае коэффициент теплоотдачи может быть приближенно рассчитан по уравнению М.А. Михеева:

-89 -

При нагревании жидкости горячие частички поднимаются у стенки вверх, холодные опускаются вниз в центре трубы (рис. 3.3).

Рис. 3.3

Это приводит к появлению сложного движения, которое увеличивает интенсивность теплоотдачи. Влияние свободного движения учитывается числом Gr. Как узнать, какое течение имеет место? Для этого необходимо выяснить, чему равна интенсивность подъемной силы.

ного движения мало и имеет место вязкостное течение. Приведенное уравнение справедливо при

(участок, где не наступила тепловая стабилизация). Для коротких труб

3.2.3. Расчет коэффициента теплоотдачи при турбулентном движении различных жидкостей

Впервые обработка данных по теплоотдаче при турбулентном течении в виде уравнения подобия была осуществлена Нуссельтом. В настоящее время коэффициент теплоотдачи рассчитывается по уравнению М.А. Михеева

Оно справедливо при Уравнение универсально при турбулентном течении различных сред внутри не только круглых труб (рис. 3.4), но и каналов некруглой формы (квадрат, прямоугольник,

- 90 -

треугольник), при движении сред в кольцевом зазоре и в межтрубном пространстве.

Рис. 3.4

Это уравнение стало универсальным благодаря весьма удачному выбору определяющего размера, в качестве которого взят эквива-

площадь поперечного сечения канала; П – полный смоченный пери-

метр канала. Для труб эквивалентный диаметр dэ= равен геомет-

рическому. Уравнение справедливо при

6.

Рис. 3.5

Если при движении жидкости в трубах появляются изгибы (рис. 3.5), то в этих изгибах за счет действия центробежной силы жидкость отжимается к поверхности с бльшим радиусом, что учитывает поправка

, где R – радиус изгиба. Интенсивность теплоотдачи в изгибах возрастает. Для прямолинейных труб

При расчете коэффициента теплоотдачи при турбулентном течении упругих жидкостей, например воздуха и других газов, число Pr

- 91 -

не зависит от температуры и равно для воздуха 0,7 , тогда уравнение подобия принимает вид

3.3. Особенности процесса теплоотдачи при поперечном омывании одиночных труб и пучков труб. Гидродинамика и теплоотдача при движении жидкости в пучках труб

Рассмотрим случай теплоотдачи, когда труба располагается поперек потока среды, движущейся в канале. На рис. 3.6 обозначено: