Osnovy_teploperedachi_i_massoobmena_2015

тем диффузии свободных электронов и имеет место тогда, когда в различных точках тела температура не одинакова.

1.2. Основной закон теплопроводности. Закон Фурье

Перенос теплоты теплопроводностью (который в чистом виде имеет место только в твердых телах с малым коэффициентом термического расширения) выражается эмпирическим законом Био–Фурье:

(1.5)

Количество теплоты dQ, проходящее через элемент изотермической поверхности dF (м²) за промежуток времени dτ, пропорционально градиенту температуры ∂t/∂n. Коэффициент пропорциональности λ (коэффициент теплопроводности) – это справочная характеристика, его значение различно для различных материалов, характеризует способность тел проводить теплоту.

Градиент температуры ∆n – это наикратчайшее расстояние

вается градиентом температуры grad t. Градиент температуры характеризует интенсивность возрастания температуры по нормали к изо-

термической поверхности. nt – векторная производная, положитель-

ное направление которой указывает в сторону возрастания температуры. Часто требуется подсчитать изменение температуры в произвольном направлении, например в направлении оси x:

Рис. 1.1

- 13 -

Коэффициент теплопроводности λ характеризует способность тел проводить теплоту, его величина характеризует количество теплоты, которое проходит в единицу времени через единицу площади поверхности при температурном grad = 1. Коэффициент теплопроводности, как правило, определяется опытным путем и зависит от температуры и давления:

Количество теплоты, проходящее через единицу площади поверхности в единицу времени, называют плотностью теплового потока:

(1.7)

Плотность теплового потока есть вектор, положительное направление которого указывает в сторону уменьшения температуры (рис. 1.1). Тогда основной закон теплопроводности может быть записан в виде

(1.8)

- 14 -

Направления grad t и q противоположны, этим объясняется знак «–» в законе Фурье.

Для подсчета q в любой точке тела необходимо знать значение grad t = ∂t/∂n. Температурное поле внутри тела может быть определено в общем случае для конкретной задачи лишь путем решения дифференциального уравнения теплопроводности.

1.3. Дифференциальное уравнение теплопроводности

Для упрощения вывода сделаем следующие допущения: будем считать, что тело однородно и изотропно. Его физические параметры, например λ= const, СP = const, ρ = const, не зависят от температуры. Пренебрежем также деформацией объема вследствие переноса теплоты, так как она мала по сравнению с самим объемом. Вывод дифференциального уравнения теплопроводности основан на применении закона сохранения энергии, который применительно к данному случаю может быть сформулирован следующим образом: количество теплоты dQ, введенное в элементарный объем dV за промежуток времени dτ, вследствие теплопроводности идет на изменение внутренней энергии вещества dU, содержащегося в данном объеме:

dQ =dU=ρCV t dVdτ ,кДж, (1.9)

где ρ – плотность, кг/м³; CV, – теплоемкость при постоянном объеме,

кДж/(кг·К); t , К/с; dV, м³; τ, с.

Выделим в теле элементарный объем (рис.1.2). Обозначим через dQx, dQy и dQz количества теплоты, которые подводятся к граням элементарного объема в направлении осей 0X, 0Y, 0Z. Обозначим также

через dQx+dx, dQy+dy и dQz+dz количества теплоты, которые отводятся от противоположных граней элементар-

Рис. 1.2 ного объема в направлении тех же осей.

- 15 -

где a – физический параметр вещества, характеризующий скорость изменения температуры в нестационарных процессах, который был назван коэффициентом температуропроводности. Это мера теплоинерционных свойств тела. Чем больше значение а, тем больше скорость изменения температуры в теле и тем меньше тепловая инерционность тела. Наивысшее значение для а характерно для металлов. Размерность коэффициента температуропроводности:

аВт м3 кг К=м2 ,

мК кг Дж с

тогда

Дифференциальное уравнение теплопроводности устанавливает связь между пространственным и временным изменением температуры. Рассмотрим применение дифференциального уравнения теплопроводности для решения некоторых практических задач теплопроводности.

- 17 -

1.4. Применение дифференциального уравнения теплопроводности для решения практических задач 1.4.1. Теплопроводность плоской однослойной стенки при стационарном режиме

Сформулируем задачу. При этом будем считать, что два размера стенки, например, в направлении осей Y и Z являются существенно бóльшими по сравнению с ее толщиной (рис. 1.3), и поэтому

При стационарном режиме на поверхностях стенки установились во времени тем-

пературы tc1 и tc2.

Для получение формулы для плотности теплового потока необходимо решить дифференциальное уравнение теплопроводности для сформулированной нами

задачи, чтобы получить закон изменения температуры в данной стен-

уравнение теплопроводности для стационарной одномерной задачи. Первое интегрирование дает

Второе интегрирование дает закон изменения температуры в такой стенке: t = C1X+C2. Это уравнение прямой. Значит, в плоской стенке температура меняется по линейному закону и не зависит от свойств материала.

Запишем граничные условия:

1. X=0, t=tc1=C2;

- 18 -

где – тепловая проводимость плоской однослойной стенки. Отсюда

плотность теплового потока:

q tc 1 tc 2 ,

где – термическое сопротивление теплопроводности плоской одно-

слойной стенки.

Если известна площадь поверхности, через которую передается теплота, то

Q = qF= tc 1 tc 2 , Вт.

Тепловой поток пропорционален температурному напору на поверхности плоской стенки tc1 – tc2 и обратно пропорционален термическому сопротивлению.

1.4.2. Теплопроводность плоской многослойной стенки

Допустим, что плоская стенка состоит из n разнородных слоев толщиной 1, 2… n с коэффициентами теплопроводности λ1, λ2…. λn (рис. 1.4). Слои такой стенки плотно прилегают друг к другу, поэтому температура на соприкасающихся поверхностях одна и та же.

При стационарном режиме в стенке установились во времени температуры tc1,tc2,tc3,tcn,tc(n+1). Тогда для первого слоя

- 19 -

q tc 1 tc 2 .

1

1

При стационарном режиме численно то же значение плотности теплового потока для второго слоя:

q tc 2 tc 3 .

Докажем, что это так.

Для этого используем промежуточное выражение дифференциального уравнения теплопроводности

n

Записанные исходные соотношения переписываем каждое относительно температурного напора и складываем:

- 20 -

i 1 i

Последнее соотношение может быть переписано в виде

(1.13)

Заметим, что знаменатель представляет собой сумму термических сопротивлений многослойной плоской стенки. Его величина не меняется от перестановки слоев многослойной стенки, и поэтому не изменяется плотность теплового потока и сам тепловой поток.

1.4.3. Теплопроводность однослойной цилиндрической стенки

Задача решается в цилиндрических координатах (рис. 1.6). При этом уравнение температурного поля в общем виде запишется:

Переход от полярных (рис. 1.5) к цилиндрическим координатам приводит к дифференциальному уравнению теплопроводности в общем виде

- 21 -

Будем считать, что температура в цилиндрической стенке не меняется по окружности цилиндра, поэтому

2t

2 0 , а также

t

0 (так как ста-

ционарный режим). Тогда дифференциальное уравнение для сформулированной нами задачи запишется в виде

и проинтегрируем: lnu+lnr = const = С1. Перепишем последнее выражение в виде u∙r = С1'. Подставим значение u:

Проинтегрируем:

t=С1'∙lnr + С2.

- 22 -