Osnovy_teploperedachi_i_massoobmena_2015

Сопоставление этих соотношений позволяет сделать вывод о том, что для расчета необходимо знание градиента температуры

в движущейся жидкости у стенки. Последнее может быть получено лишь путем решения дифференциального уравнения, которое описывает температурное поле в движущейся жидкости у стенки и называется дифференциальным уравнением энергии.

2.2.2. Дифференциальное уравнение энергии

Для упрощения вывода предположим, что текущая жидкость несжимаемая, то есть Физические параметры λ, Будем считать, что жидкость однородна и изотропна, а внутренние источники теплоты отсутствуют. В основу вывода дифференциального уравнения энергии положен закон сохранения энергии, который для данного случая может быть сформулирован следующим образом: количество теплоты dQ (Дж), введенное в элементарный объем dV движущейся жидкости за промежуток времени d извне, идет на изменение энтальпии жидкости, протекающей через этот объем:

Проверим размерность:

Начало вывода дифференциального уравнения энергии в точности повторяется, как и при выводе дифференциального уравнения теплопроводности.

В потоке движущейся жидкости выделяется элементарный объем, и подсчитывается количество теплоты, которое подводится и отводится от элементарного объема жидкости по всем направлениям 0X, 0Y, 0Z и идет на изменение жидкости. В результате избыток теплоты, подсчитанный ранее, запишется

Сдругой стороны, согласно закону сохранения энергии

-63 -

Поскольку теплоотдача является процессом при совместном действии конвекции и теплопроводности, то

(по закону Фурье),

,

где - массовый расход жидкости через единицу площади сечения поперечного направлению движения жидкости. Но вместе с массой жидкости переносится и энтальпия:

Тогда

Аналогично

Для несжимаемых жидкостей при

- 64 -

Тогда

Здесь , тогда правая часть полученного уравнения энер-

гии характеризует изменение температуры в жидкости при переносе теплоты путем теплопроводности.

ной точке жидкости во времени, тогда сумма слагаемых в левой части представляет собой изменение температуры

при движении жидкости при переходе от точки к точке, то есть является конвективным изменением температуры, поэтому

.

Дифференциальное уравнение энергии запишется

(2.2)

где a – коэффициент температуропроводности жидкости. На основании понятия о полной производной:

где

Подсчитаем число неизвестных: . Число неизвестных равно пяти, то есть система незамкнута. Для ее решения необходимо добавить к этим двум уравнениям уравнения движения, которые описывают поле скоростей в движущейся жидкости у стенки.

- 65 -

сти на ось 0X: Проверим размерность:

В сечении X действует сила давления, приложенная к грани dydz:

X pdydz ;

Для сечения X + dX :

Равнодействующая этих сил равна их алгебраической сумме:

На рис. 2.9 показана сила трения S, которая противодействует движению. В сечении Y действует касательная сила, противодействующая движению:

Y -Sdxdz ;

Y+dY.

Равнодействующая силы трения

Но по закону Ньютона

Тогда

Проекция равнодействующих всех сил согласно второму закону механики равна массе элемента , умноженной на ускорение

- 67 -

где - – полная производная от скорости по времени, учитыва-

ющая инерционные силы. Раскрывая значение полной производной, получим

(2.3)

Без вывода аналогично:

(2.4)

Аналогичное соотношение для проекции сил на ось 0Z:

(2.5)

В векторной форме

Появилась шестая неизвестная –p:

Чтобы сделать систему замкнутой, необходимо добавить еще одно уравнение, которое называется дифференциальным уравнением неразрывности.

- 68 -

2.2.4. Дифференциальное уравнение неразрывности

Дифференциальное уравнение неразрывности выводится на основе применения закона сохранения массы. Подсчитывается масса жидкости, которая втекает и вытекает из противоположной грани элементарного объема в направлении трех осей.

Например, d - масса жидкости в кг:

,

Сделаем проверку размерности для этого выражения:

Масса, которая вытекает из противоположной грани в направлении оси 0X:

Избыток массы в направлении всех трех осей, в частности 0X:

Для получения этого избытка массы функцию разложим в ряд Тейлора:

dx+…,

Тогда

.

На основе применения закона сохранения массы этот избыток массы идет на уменьшение плотности жидкости в объеме dV и равен изменению массы жидкости во времени:

- 69 -

Если , то частная производная и тогда

Полученная нами в общем виде система дифференциальных уравнений описывает множество решений, поскольку дифференциальные уравнения учитывают лишь наиболее общие черты процессов и не учитывают индивидуальные особенности каждого процесса. Для однозначного решения этой системы необходимо к ней добавить условия, определяющие индивидуальные особенности данного процесса. Такие условия получили название условий однозначности, или крае-

вых условий.

Условия однозначности включают в себя: геометрические, физические, начальные и граничные условия.

Геометрические условия, характеризуют форму и размеры поверхности твердого тела, участвующего в процессе теплоотдачи. Например: процесс теплоотдачи протекает в трубе, которая круглая, прямолинейная, с внутренним диаметром d и длиной l (рис. 2.11).

Рис. 2.11

Физические условия характеризуют физические свойства среды, участвующей в процессе теплоотдачи. Например, в процессе теплоотдачи средой является вода, которая несжимаема В этих условиях должны быть заданы законы изменения коэффициента кинематической вязкости ν и коэффициента теплопроводности λ от температуры t: .

Начальные условия определяют поведение процесса в начальный момент времени, например в процессах нагревания и охлаждения.

Вначальный момент должны быть заданы начальные распределе-

-70 -

ния W и t при входе жидкости в канал. Для стационарных задач начальные условия теряют смысл.

Граничные условия характеризуют граничные значения искомых переменных или их производных. Так, условием протекания процесса теплоотдачи на границе стенка – жидкость является задание температуры стенки в зависимости от координат пространства для каждого момента времени или задание скоростей на входе в трубу. Задание таких распределений затруднено, так как оно связано с процессами, протекающими по другую сторону стенки.

Система дифференциальных уравнений совместно с записанными для конкретной задачи условиями однозначности составляет математическое описание процесса.

Аналитический путь решения полученной нами в общем виде системы дифференциальных уравнений с записанными условиями однозначности связан со строгим решением этой системы уравнений. Однако строгое решение этой системы наталкивается на серьезные трудности, так как не решается система дифференциальных уравнений трехмерного течения Навье-Стокса без ее упрощения.

Физический анализ процессов конвективного теплообмена позволяет в ряде случаев существенно упростить математическое описание процесса без внесения существенных погрешностей в результат решения. Так, введение понятия пограничного слоя позволяет существенно упростить исходную систему уравнений и тем самым получить строгое решение данной системы.

Однако использование упрощений ввиду чрезвычайной сложности процесса не всегда отвечает действительным условиям его протекания. Поэтому большое значение приобретает экспериментальный путь исследования. Достоверность этого метода бесспорна, однако суждение на основе полученных данных о свойствах какого-либо другого физического процесса не является закономерным, так как каждое экспериментальное исследование имеет частный характер получаемых результатов, присущих лишь данному процессу, невозможность научных обобщений и теоретических прогнозов. Поэтому каждое экспериментальное исследование должно опираться на научно-обоснованный метод обобщения, позволяющий данные единичного опыта использовать для расчета других родственных процессов. Таким методом является разработанный академиком М.В. Кирпичовым метод, который носит название теории подобия. Метод разработан применительно для тепловых процессов.

- 71 -

Теория подобия – метод получения решения на основе подробного экспериментального исследования физического процесса на модели, подобного рассматриваемому процессу, и перенесение его количественных характеристик с модели на рассматриваемый процесс.

Несмотря на имеющиеся успехи, достигнутые в рамках такого подхода, возможности этого метода ограничены необходимостью выдерживания условий кинематического, динамического, теплового и геометрического подобия, поэтому применимы для ограниченного числа систем. Дальнейшая разработка этого метода совместно с академиком М.А. Михеевым привела к созданию метода приближенного подобия тепловых процессов (моделирование тепловых устройств).

2.2.5. Дифференциальные уравнения конвективного теплообмена для пограничного слоя

Допустим, что мы имеем случай стационарной теплоотдачи при вынужденном продольном омывании плоской поверхности твердого тела безграничным в направлении оси 0Z потоком жидкости с постоянными физическими свойствами. Рассмотрим возможности упрощения исходной системы дифференциальных уравнений, полученной нами в общем виде.

Дифференциальное уравнение энергии. Так как рассматрива-

ется стационарный процесс теплоотдачи, то . Поскольку поток безграничен в направлении оси 0Z , то и

Тогда

(2.6)

Поскольку K l, то , где l – размер поверхности твердого

тела. Тогда

- 72 -