1. Построение математической модели:

5х₁ + х₂ + 2х₄ ≤ 1000

4х₁ + 2х₂ + 2х₃ + х₄ ≤ 600

х₁ + 2х₃ + х₄ ≤ 150

х_i ≥ 0

F = 6х₁ +2х₂ +2,5x₃ + 4х₄ → max

2. Решение исходной оптимизационной задачи

Воспользуемся файлом “новый”. (этот файл входит в программное обеспечение кафедры БИСУП МИСиС).

Ответ (0, 225, 0,150), F_max =1050

3. Составление двойственной задачи:

5у₁ + 4у₂ + у₃ ≥ 6

у₁ + 2у₂ ≥ 2

2у₂ + 2у₃ ≥ 2,5

2у₁ + у₂ + у₃ ≥ 4

G = 1000у₁ + 600у₂ + 150у₃ → min

4. Решение двойственной задачи:

Т.к. в оптимальном решении исходной задачи х₂ и х₄ не равны 0, то второе и четвертое ограничения двойственной задачи обращаются в равенства. Более того, т.к. первое ограничение исходной задачи обращается в строгое неравенство (проверить!), то у₁ = 0. Итак,

2у₂ = 2

у₂ + у₃ = 4

Имеем у₂ = 1, у₃= 3, у₁ = 0

5. Контроль:

G_min = 1000*0 + 600*1 + 150*3 = 1050 =F_max→ Верно!

6. Экономический анализ:

1. Следует выпускать 225 изделий 2 типа и 150- 4 типа.

Изделия 1 и 3 типа экономически не выгодны!

Ожидаемая прибыль 1050.

2. Т.к. у₁ = 0, то сырье 1 (первый ресурс) не дефицитно.

Однако сырье 2 и 3 дефицитны!

3. Т.к. у₃ > у₂, то дополнительные средства выгоднее вложить в закупку сырья 3. При этом, увеличение запаса этого сырья на одну ед. приведет к увеличению максимальной прибыли на 3 у.е.

4. Экономически, предприятию безразлично - выпускать ли изделия следуя оптимальному плану или взять да продать (если найдутся желающие!) имеющиеся ресурсы по найденным теневым ценам!

Пример:

При выплавке 4-х видов стали используются 3 различных ресурса: лом, чугун, ферросплавы.

Исходные данные приведены

в таблице:

марка стали	Запасы ресурсов	Цена, тыс.руб/т	расх. коэфф.
ресурс			1	2		3			4
Лом	150	40	0,8	0,7		0,3			0,6
Чугун	160	50	0,3	0,5		0,8			0,6
Ферросплавы	70	150	0,1	0,2		0,15			0,1
Цена,т.руб/т			130	150		120			105
Объем заказов, тыс. т.			20		25		30	26

Менеджменту завода нужно составить оптимальный план выпуска марок стали, так, чтобы суммарная прибыль завода была максимальна.

Математическая модель:

х_i – количество стали i-й марки , i=1,2,3,4

0,8х₁ + 0,7х₂ + 0,3х₃ + 0,6х₄ ≤ 150

0,3х₁ + 0,5х₂ + 0,8х₃ + 0,6х₄ ≤ 160

0,1х₁ + 0,2х₂ + 0,15х₃ + 0,1х₄ ≤ 70

х₁ ≥ 20

х₂ ≥ 25

х₃ ≥ 30

х₄ ≥ 26

х_i ≥ 0

F= 68x₁ + 67x₂ + 45,5x₃ + 36x₄ → max

(Пояснение: 68= 130-(0,8*40+0,3*50+0,1*150 и т.д.)

§ 5. Транспортная задача (transportation

problem)

Среди задач линейного программирования особое место занимает транспортная задача. Ее методы широко используются в экономике и бизнесе, особенно в транспортных и дистрибьюторских фирмах.

Традиционная постановка транспортной задачи такова:

Рис. 5.1

Имеются m поставщиков и n потребителей. У поставщиков сосредоточен однородный груз (запас) в количестве a₁, a₂,…..a_m.

Спрос потребителей на груз: в₁, в₂,….в_n.

Известны стоимости (тарифы) с_ij на перевозку единицы груза от i-го поставщика к j- му потребителю.

Требуется составить оптимальный план перевозок грузов такой, чтобы: