§ 11. Итерационный метод (Брауна – Робинсона).
Во многих случаях решение матричных игр представляет сложный и громоздкий процесс. Кроме того, часто в практических задачах нет необходимости находить точное решение игры. Достаточно найти приближенное решение.
Рассматриваемый приближенный метод отличается достаточной простотой. Суть его в том, что матричная игра имитируется (фиктивно разыгрывается несколько раз, в несколько туров), при этом накапливаются статистические данные об игре. По ним и вырабатываются рекомендации (математическая статистика! ) об оптимальных стратегиях игроков.
Продемонстрируем работу метода на примере [15]:
Игра задана платежной матрицей (таблицей):
Выбирает
А
Стр. В
Выбирает В
Стр. А
Средний
выигр.
|
№ тура |
i |
B1 |
B2 |
B3 |
j |
A1 |
A2 |
v* |
v* |
v |
|
1 |
2 |
|
3 |
2 |
1 |
|
1 |
1 |
3 |
2 |
|
2 |
1 |
4 |
3 |
|
3 |
|
3 |
1,5 |
2 |
1,75 |
|
3 |
1 |
7 |
|
4 |
2 |
4 |
|
1 |
2 |
1,5 |
|
4 |
2 |
8 |
6 |
|
3 |
5 |
|
1,5 |
2 |
1,75 |
|
5 |
2 |
9 |
9 |
|
3 |
6 |
|
1,6 |
2 |
1,8 |
|
6 |
2 |
|
12 |
10 |
1 |
9 |
|
1,67 |
1,83 |
1,75 |
|
7 |
2 |
|
15 |
12 |
7 |
|
12 |
1,57 |
1,71 |
1,64 |
|
8 |
1 |
14 |
15 |
|
3 |
13 |
|
1,625 |
1,75 |
1,69 |
|
9 |
2 |
15 |
18 |
|
3 |
14 |
|
1,67 |
1,78 |
1,72 |
|
10 |
2 |
|
21 |
17 |
1 |
17 |
|
1,6 |
1,7 |
1,65 |
17
1 тур:
Пусть игрок А выбирает 2-ю стратегию (max min)- в наихудшем случае он выиграет 1, а не 0). У игрока В три стратегии. Какую он выберет? Конечно 1-ю (он хочет проиграть поменьше!). Выделим соответствующий проигрыш синим цветом (или подчеркнем). Итак, игрок В выбрал 1-ю стратегию. Отметим это в 6-м столбце чертой сверху.
Как же ответит А? Конечно 1-й стратегией – отметим чертой снизу. Выделим в клетках накопленные выигрыши (проигрыши).
v* - накопленный проигрыш игрока В/ число ходов
v* - накопленный выигрыш игрока А/ число ходов
v - средний выигрыш
2 тур:
Итак, игрок А выбрал 1-ю стратегию. У игрока В накопленные проигрыши 4, 3, 3. Минимизируя свой проигрыш игрок В выберет 2-ю или 3-ю стратегию. Пусть ему приглянулась стратегия 3. Игрок А ответит либо 1, либо 2 стратегией. Его накопленные выигрыши либо 4, либо 3. Он ответит 1 стратегией, и т.д.
Вывод: после 10 туров v = 1,65. Игрок А воспользовался 1-й стратегией 3 раза (находим частоту) - p1 = 3/10= 0,30, 2- й стратегией 7 раз - р2 = 7/10= 0,70.
Аналогично для игрока В: q1 = 1/4, q2=0, q3 =2/3.
Как видно, всего после десяти итераций можно уже судить об основных тенденциях игры. Оценка точности решения игры рассматривается в [ 4].
§ 12. Игры с природой (статистические решения)
В рассмотренных выше матричных играх каждый игрок действовал вполне разумно, т.е. выбирал оптимальную для себя стратегию. В этом смысле действия игроков были в каком то смысле предсказуемы.
Рассмотрим теперь ситуацию, когда осознанно действует только один игрок (пусть А), вторым игроком является природа, принимающая неопределенным образом то или иное состояние безразлично к результату игры. Такая неопределенность может порождаться рынком ценных бумаг, покупательским спросом, курсом валюты, уровнем инфляции, политикой правительства, ситуацией на бирже, погодными условиями и т.п. Игры с подобной неопределенностью называют играми с природой. Таким образом, в игре с природой один из игроков оказывается нейтральным, не стремящимся извлечь для себя максимальной выгоды.
Как же в таких ситуациях действовать игроку А?
Формально подобная игра также задается платежной матрицей, в которой указываются выигрыши игрока А в зависимости от хода природы, т.е. фактора неопределенности.
Пример.
Оптовая база собирается закупить товар для последующей реализации. По оценкам специалистов, спрос в будущем может составить 2, 3, 4 тыс. единиц. Доход от реализации ед. товара составит 10 у.е. Если товар не продастся, то убытки составят 4 у.е. Другая ситуация- неудовлетворенный спрос (дефицит)- убытки составят 1 у.е.
Составим платежную матрицу (таблицу):
|
решение |
2 |
3 |
4 |
|
2 |
20 |
19 |
18 |
|
3 |
16 |
30 |
29 |
|
4 |
12 |
26 |
40 |
неопределенность
Существует несколько критериев принятия решений игроком А.