2. Приводим задачу к каноническому виду:
6х1 + 5х2 + 4х3 + х4 = 120
3х1 + 2х2 + 4х3 + х5 = 96
5х1 + 3х2 + 3х3 + х6 = 180
х1,.. х6 ≥ 0
F= 9х1 + 10х2 + 16х3 → max
(х4, х5, х6 – балансовые переменные).
3. Составляем исходную симплекс-таблицу (заметим, что в разных учебных пособиях форма симплекс- таблицы различна!):
Табл. 2
|
Базисн. перем. |
х1 |
х2 |
х3 |
х4 |
х5 |
х6 |
вi |
Оцен. отн. |
|
х4 |
6 |
5 |
4 |
1 |
0 |
0 |
120 |
30 |
|
х5 |
3 |
2 |
4 |
0 |
1 |
0 |
96 |
24 |
|
х6 |
5 |
3 |
3 |
0 |
0 |
1 |
180 |
60 |
|
Оцен. строка |
-9 |
-10 |
-16 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
В первом столбце указаны базисные переменные. Напомним, что им в матрице системы соответствует определитель не равный нулю (набор единичных столбцов в таблице). В столбце вi указаны правые части уравнений, а в последнем столбце – оценочное отношение (смысл поясним позже).
В последней, оценочной строке, указаны коэффициенты целевой функции с противоположными знаками.
По составленной таблице прочитаем исходное опорное решение (исходную угловую точку):
х1 = (0,0,0,120,96,180).
Понятно, что в самой таблице указана матрица системы ограничений.
4. Проверяем опорное решение на оптимальность: если все элементы оценочной строки неотрицательны, то опорное решение оптимально. В нашем случае это не так.
5. В оценочной строке находим наименьший отрицательный элемент. Соответствующий столбец назовем разрешающим.
6. Заполняем оценочное отношение, деля элементы столбца вi на элементы разрешающего столбца (учитываются только положительные элементы , в противном случае, ставится прочерк).
7. Находим минимальное оценочное отношение. Соответствующий элемент разрешающего столбца выделяем и называем разрешающим. ( строку, в которой находится разрешающий элемент, называем разрешающей).
8. Элементы разрешающей строки делим на разрешающий элемент и все элементы разрешающего столбца (кроме разрешающего элемента) обнуляем. Результаты записываем в новую симплекс- таблицу.
Остальные элементы таблицы пересчитываем по правилу прямоугольника (метод Жордана- Гаусса) и также записываем в новую таблицу.
Правило прямоугольника поясним схемой:
Табл.3
|
Базисн. переем. |
х1 |
х2 |
х3 |
х; |
х5 |
х6 |
вi |
Оцен. отн. |
|
х4 |
3 |
3 |
0 |
1 |
-1 |
0 |
24 |
8 |
|
х3 |
3/4 |
1/2 |
1 |
0 |
1/4 |
0 |
24 |
48 |
|
х6 |
11/4 |
3/2 |
0 |
0 |
-3/4 |
1 |
108 |
72 |
|
Оцен. строка |
3 |
-2 |
0 |
0 |
4 |
0 |
384 |
|
9. Новое опорное решение Х2 = (0, 0, 24, 24, 0, 108).
Оно вновь не оптимально.
Перейдя к п.4. получим уже последнюю таблицу:
Табл. 4
|
Базисн. перем. |
х1 |
х2 |
х3 |
х4 |
х5 |
х6 |
вi |
Оцен. отн. |
|
х2 |
1 |
1 |
0 |
1/3 |
-1/3 |
0 |
8 |
|
|
х3 |
1/4 |
0 |
1 |
-1/6 |
5/12 |
0 |
20 |
|
|
х6 |
5/4 |
0 |
0 |
-1/2 |
-1/4 |
1 |
96 |
|
|
Оцен. строка |
5 |
0 |
0 |
2/3 |
10/3 |
0 |
400 |
|
Новое опорное решение Х3 = (0, 8, 20, 0, 0, 96), Fmax = 400
Итак, Х3 оптимальное решение. Следуя ему, нужно выпускать 8 единиц 2-го изделия и 20- третьего. Выпуск 1-го изделия экономически не выгоден. Ожидаемая максимальная прибыль 400 у.е.
Заметим, также, что т. к х4 = х5 = 0, а х6 = 96, то, следуя оптимальному решению, первый и второй ресурсы будут израсходованы полностью (т.е. они дефицитны), а третий ресурс будет недоиспользован в количестве 96 (не дефицитен).
Отметим также, что в оценочной строке последней таблицы х1 = 5. Экономический смысл: если, все - таки, включить в оптимальный план первое изделие, то прибыль уменьшится на 5 у.е.
Особенности