1. Войти в excel

2. Записать в клетках EXCEL матрицу А

3. Записать в клетках матрицу Е-А

4. Выделить диапазон ячеек для размещения обратной матрицы.

5. Кликнуть fx

6. МОБР

7. Выделить матрицу Е-А

8. OK

9 F2

10. Кликнуть клавиши SHIFT + СTRL + ENTER .

11. Записать результат.

Чтобы умножить полученную обратную матрицу на вектор У нужно

1. Выделить диапазон ячеек для размещения результатов умножения.

2. На верхней панели кликнуть f _x.

3. МУМНОЖ

4. Выделить заданные матрицы

5. ОК

6. F2

7. Кликнуть клавиши SHIFT + СTRL + ENTER .

8. Записать результат.

Пример.

Пусть теперь сразу задана технологическая матрица

А= и вектор конечного продуктаY= . Требуется найти соответствующий вектор валового выпуска Х.

Следуя вышесказанному:

Е – А =

(Е – А)^-1 =

Заметим, что в общем виде балансовую таблицу записывают так:

Потребляющие отрасли	1	2	.	.	.	n	X	Y
Производящие отрасли
1	x11	x12	.	.	.	x1 n	x1	y1
2	x21	x22	.	.	.	x2 n	x2	y2
.
.
.
n	x n1	x n2	.	.	.	x n	x n	y n

1. В первом столбце таблицы перечислены “чистые отрасли”, более или менее цельные, самостоятельные (энергетика, металлургия, машиностроение, оборонка, сельское хозяйство и т.Д.)

2. В первой строке эти же отрасли представлены, как потребляющие

3. х _{i j} – указывает объем продукции i-й отрасли, потребляемой j – й отраслью.

4. Столбец Х – совокупный (валовый) продукт каждой отрасли за год

5. Столбец У – объем продукции, предназначенной для реализации, т.е конечный продукт каждой отрасли за год,

§ 2. Модели линейного программирования (linear programming ).

Задача линейного программирования- это такая задача, в которой определеное выражение (критерий, целевая функция) должно быть оптимизировано при наличии ряда ограничений. При этом, как целевая функция, так и ограничения представляют собой линейные выражения.

Такие задачи часто возникают в практических ситуациях. Мы подробно рассмотрим как ставится задача линейного программирования и как применяются методы оптимизации.

Становление этого класса задач относится к 50-м годам ХХ века и связано с решением в ряде стран практических задач в экономике (наилучшая загрузка оборудования, раскрой материалов и т.д.). Рассмотрим постановки (и решения) некоторых задач.

Задача 1

Фирма планирует начать выпуск шкафов и столов для компьютеров. Исходные данные приведены в следующей таблице стандартного вида.

Ресурсы	Запасы	Расходные коэффициенты
		шкафы столы
Дсп, м2	350	3,5 1
Стекло, м2	240	1 2
Труд, чел-часы	150	1 1
Прибыль, у.е.		200 10 0

Менеджеру фирмы требуется принять решение-составить оптимальный план выпуска изделий из условия максимальной прибыли.

Построим математическую модель.

Пусть х₁ – количество шкафов, х₂- количество столов

По условию,

3,5 х₁ + х₂ ≤ 350

х₁ + 2х₂ ≤ 240

х₁ + х₂ ≤ 150 → ограничения модели

х₁, х₂ ≥ 0

F= 200x₁ + 100x₂ → max (целевая функция)

Смысл модели: найти такой набор переменных х₁, х₂, который удовлетворяет ограничениям и при этом обращает целевую функцию в максимум.

Сразу же покажем графоаналитический способ решения это модели.

Систему ограничений перепишем так:

Рис. 2.1

Множество допустимых решений заштриховано на рис 2.1. Среди точек этого пятиугольника и нужно выбрать оптимальную.

Далее будет отмечено, что оптимальная точка (точка глобального максимума) совпадет хотя бы с одной угловой точкой многоугольника. Чтобы их все не перебирать поступим так:

изобразим линию уровня F=0 и отметим в начале координат вектор- градиент. Из курса высшей математики мы знаем, что он ортогонален линии уровня и указывает направление возрастания целевой функции F (даже наибольшего возрастания)- нам это и нужно – ведь речь идет о прибыли.

Перемещая линию уровня в указанном направлении найдем ту точку многоугольника, в которой линия уровня последний раз с ним соприкоснется. Это точка указана красной стрелкой.

Чтобы найти ее координаты заметим, что она лежит на прямых (1) и (3):

3,5 х₁ + х₂ = 350

х₁ + х₂ = 150

х_опт = (80, 70) F_max = 23000.

Заметим, что из-за неточности рисунка, “подозрительными” могут оказаться несколько точек. В этом случае следует найти значение целевой функции в каждой из них выбрать наилучшее.

Следует прорешать ту же задачу в EXCEL.

Задача 2

Шведская компания Стенлюкс производит широкий ассортимент холодильников, при этом существует конкретная проблема, связанная с холодильниками марок А470 и А370. Исходные технологические данные приведены в таблице:

Ресурсы	Запасы (ресурсов)	Расходные коэффициенты, $
		А470 А370
Сырье, стоимость	-	50 60
Труд, чел-часы	3000	3 2
Прибыль, $		70 60

Потолок недельной сметы по сырью для этих двух моделей составляет 75000 $.

Компании надо определиться (принять решение) относительно того, сколько холодильников каждой модели надо производить, с тем чтобы максимизировать прибыль.

Построение математической модели:

х₁, х₂ – количество холодильников каждого типа

3х₁ + 2х₂ ≤ 3000

50х₁ + 60х₂ ≤ 75000 → ограничения

х₁, х₂ ≥ 0

F = 70x₁ + 60x₂ → max → целевая функция

Систему ограничений перепишем так:

Рис. 2.2

Оптимальное решение находим, решив систему:

3х₁ + 2х₂ = 3000

50х₁ + 60х₂ =75000

х₁ = 375, х₂ = 937,5

F_max = 82500

Решить в EXCEL.

Задача 3

Финансовый консультант британской фирмы

« Вилли-Мэйкен » консультирует клиента по оптимальному инвестиционному портфелю. Инвестор, обладая капиталом 30000 ф. ст. хочет вложить средства в акции двух компаний « Хансон » и « Фар-Ист » (их цены 6 и 4, соответственно). Клиент уточнил, что

- общее число акций не превышает 6000

- число акций каждого вида не превышает 5000.

По оценкам « Вилли-Мэйкен » ожидаемая прибыль от инвестиции в эти две акции в следующем году составит 1,2 и 1 ф.ст. на каждую акцию, соответственно.

Задача консультанта состоит в том, чтобы выдать клиенту рекомендации по оптимизации прибыли от инвестиции (принять решение).

Построение математической модели:

х₁, х₂ – количество акций каждого вида.

х₁ + х₂ ≤ 6000 (1)

х₁ ≤ 5000 (2)

х₂ ≤ 5000 (3)

6х₁ + 4х₂ ≤ 30000 → ограничения (4)

х₁, х₂ ≥ 0

F = 1,2х₁ + х₂ →max → целевая функция

Воспользуемся графоаналитическим методом:

Рис. 2.3

Оптимальная точка лежит на пересечении прямых

(1) и (4)

х₁ + х₂ = 6000

6х₁ + 4х₂ = 30000

х_опт = (3000, 3000), F_max = 6600

Итак, в пакете должны присутствовать акции обеих типов поровну. Ожидаемая прибыль 6600.

Решить в EXCEL.

Заметим, что графоаналитический метод имеет практический смысл только при рассмотрении двух независимых переменных х₁ и х₂. Он непригоден при решении задач более чем с двумя неизвестными. Однако, графический метод дает полезное представление о том, как вести поиск оптимальных решений.

Задача 4 (транспортная задача).

Транспортные задачи обычно связаны с анализом доставки товаров от от разных источников по разным направлениям. Необходимо принять решение относительно оптимального способа передвижения этих товаров с тем, чтобы минимизировать затраты, время на перевозку и задействованные при этом ресурсы. Такого рода задача относится к отдельному типу задач линейного программирования.

Пусть на двух железнодорожных станциях сосредоточено топливо для трех электростанций. Исходные данные приведены в таблице:

Потребители	1	2	3	Запасы, тонн
Поставщики
1	7	9	8	300
2	3	4	6	500
Спрос, тонн	500	200	100

В клетках таблицы указаны затраты на перевозку одной тонны от поставщиков к потребителям.

Требуется составить оптимальный план перевозок топлива от поставщиков к потребителям, чтобы

а) вывезти все топливо

б) удовлетворить весь спрос

в) минимизировать суммарные затраты

Построение математической модели:

Положим х_{i j} – количество груза, перевозимого от i-го исходного пункта к j-му пункту назначения.

х₁₁ + х₁₂ + х₁₃ =300

х₂₁ + х₂₂ + х₂₃ =500

х₁₁ + х₂₁ =500→ ограничения

х₁₂ + х₂₂ =200

х₁₃ + х₂₃ =100

х_ij ≥ 0

F = 7х₁₁ + 9х₁₂ + 8х₁₃ + 3х₂₁ + 4х₂₂ + 6х₂₃ → min

Покажем решение этой задачи в EXCEL

Аналитическое решение транспортной задачи будет рассмотрено далее.