§ 7 Задачи нелинейного программирования
Задачи нелинейного программирования характеризуются тем, что нелинейный вид имеют ограничения и (или) целевая функция ( в отличие от задач линейного программирования (см. лекцию 3 ). Для нелинейных моделей нет единого метода расчета. В зависимости от свойств функций и ограничений рассматриваются различные способы решения.
1. Графический метод решения (число переменных равно 2).
Пример 1.
х12 + х22 ≤ 16
х1, х2 ≥ 0 → математическая модель.
F= 2 x1 + 3 x2 → max
1. Изображаем область допустимых решений:
Рис. 7.1
2. Изображаем линию уровня F = 0. Напомним, что линия уровня это линия на плоскости, состоящая из всех точек этой плоскости, в которых функция F имеет постоянное значение.
3. Из начала координат проводим вектор-градиент. Напомним, что он ортогонален линии уровня и указывает направление возрастания целевой функции (нам это и нужно!).
4. Перемещаем линию уровня параллельно самой себе до тех пор, пока линия уровня еще имеет с областью непустое пересечение, соответствующая точка касания и есть точка глобального максимума.
Напомним (матанализ), что точка касания находится приравниванием производных:
2х1 + 3х2 = с → х2 = - (2/3)х1 + с → х2' = - 2/3
х12 + х22 = 16 → 2х1 + 2х2 х2' =0 → х2' = - х1 / х2
х2 = (3/2) х1→ х12 + (9/4)х12 = 16 → х1 = 8/ √ 13, х2 = 12/ √ 13
Пример 2.
Рассмотрим теперь задачу экономического содержания, решение которой сводится к нахождению глобального экстремума функции.
Фирма производит два вида товаров и продает их по ценам 1000 и 800, соответственно. Известна функция издержек:
С= 2х12 + 2х1 х2 + х22, где х1, х2 – объемы выпуска товаров каждого вида.
Менеджеру фирмы требуется составить оптимальный план выпуска товаров, обеспечивающий максимальную прибыль.
Составим целевую функцию (прибыль):
F = 1000 x1 + 800 x2 – 2x12 - 2х1 х2 - х22 → max
Находим стационарные точки, т.е. составляем и решаем систему:
Пример 3.
Металлургический завод СЕВЕРСТАЛЬ реализует часть проката на внутреннем рынке, а другую часть поставляет на экспорт. Пусть х1, х2 – количество реализуемой продукции на внутреннем рынке и на экспорт, соответственно.
Известны функции спроса в обеих случаях, т.е. зависимости цен от количества продукции:
р1 = 500 – х1, р2 = 360 – 1,5 х2.
Функция издержек С= 50000 + 20(х1 + х2).
Коммерческий директор завода должен составить оптимальный план производства проката исходя из максимума суммарной прибыли.
Образуем функцию прибыли:
F = (500 – х1) х1 + (360 – 1,5х2) х2 – 50000 – 20(х1 + х2) → max
Находим стационарные точки, т.е. составляем и решаем систему:
§ 8 Игры двух лиц с нулевой суммой (theory of games).
В рассмотренных в предыдущих разделах задачах предполагалось, что оптимальное решение принимает отдельно взятый субъект, обладающий единственной целью (целевой функцией, критерием). Принципиально иная ситуация возникает, когда оптимальные решения принимаются несколькими субъектами, интересы которых прямо противоположны, конфликтны. Примерами подобных ситуаций служат отношения между продавцом и покупателем, кредитором и дебитором, налогоплательщиком и налоговой инспекцией и т.д.
Методы теории игр позволяют принимать управленческие решения в конфликтных ситуациях. Эта теория оказались весьма продуктивной для исследования многих практических задач. Начав с анализа карточных, спортивных игр, исследователи перешли к выбору эффективных стратегий в бизнесе, в теории инвестирования, в страховании, в психологии, медицине, в военном деле.
В 1994 году Нобелевская премия в области экономики былы присуждена американским ученым Джону Нэшу и Джону Хартшаньи в трудах которых был создан математический аппарат для некоторых классах игр. В 2005 году Нобелевская премия в области экономики присуждена американцу Томасу Шеллингу за обогащение на шего понимания природы конфликтов при помощи аппарата теории игр. Наконец, в 2007 году Нобелевскими лауреатами стали американские профессора Гурвиц, Маскин и Майерсон за создание теории рыночного механизма с помощью теории игр.
Конечной целью исследования (решения) любой игры является нахождение оптимальных стратегий игроков и выигрышей, соответствующих этим стратегиям. Многие методы решения игр предполагают применение моделей линейного программирования.
Наиболее изучены игры двух лиц с нулевой суммой. Это означает: